三角形心的性质及应用.doc

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1、江山中学2015届数学专题复习平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1过等腰ABC底边BC上一点P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在ABC外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故点M是PBP的外心，点N是PPC的外心.有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 从而，P点与A，B，C共圆、即P在ABC外接圆上. 由

2、于PP平分BPC，显然还有 PB:PC=BP:PC.例2在ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以APS，BQP，CSQ的外心为顶点的三角形与ABC相似. (B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知 PO1S=2A， QO2P=2B， SO3Q=2C. PO1S+QO2P+SO3Q=360.从而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360 将O2QO3绕着O3点旋转到KSO3，易判断KSO1O2PO1，同时可得O1O2O3O1KO3. O2O1O3=KO1O3=O2O1K =(O2O1S

3、+SO1K) =(O2O1S+PO1O2) =PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3AD，BE，CF是ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在PAD，PBE，PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A，C，D，E，F. 易证AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF. 两

4、边各扩大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将ABC简记为，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差数列. 若ABC为正三角形，易证. 不妨设abc，有 CF=， BE=， AD=. 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =: =a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差数列. 当中abc时， 中CFBEAD.，()2. 据“三角形的三条中

5、线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5设A1A2A3A4为O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA

6、3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易证A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2， 故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例6H为ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的H交直线EF，FD，D

7、E于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圆半径为R，H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+b

8、c-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为ABC的内心，射线AI交ABC外接圆于A，则有A I=AB=AC.换言之，点A必是IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7ABCD为圆内接凸四边形，取DAB，ABC，BCD，CDA的内心O1， O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形. (1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4例8已知O

9、内接ABC，Q切AB，AC于E，F且与O内切.试证：EF中点P是ABC之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当ABAC，怎样证明呢？ 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在BAC平分线上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用内心等量关系之逆定理，即知P是ABC这内心.五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切

10、.例9在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周. (杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设RtABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c

11、)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例10M是ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是AMC，BMC，ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在ACB内部的旁切圆半径.证明：=.(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点； (2)AB+BC+CD+DE+

12、EF+FAAK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是ACE的三条内角平分线，I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一点两心.例12ABC的

13、外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G，G必为ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证：DG:GK=DC:()DC=2:1. DG:GK=DE:EFGEMF. OD丄AB，MFAB， OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易证OE丄CD.例13ABC中C=30，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，

14、作DAO平分线交BC于K. 易证AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用内心张角公式，有 AIB=90+C=105， DIE=360-1053=45. AKB=30+DAO =30+(BAC-BAO) =30+(BAC-60) =BAC=BAI=BEI. AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK， DO丄IE，即DF是DIE的一条高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE. 由DIE=IDO，易知OI=DE.例14锐角ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. 求证：1d垂+2d外=3d重.分析：这里用三角法.设

15、ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同样可得BH2CH3. 3d重=ABC三条高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同样可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲证结论，观察、，须证(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA

16、+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.练 习 题1.I为ABC之内心，射线AI，BI，CI交ABC外接圆于A，B，C .则AA+BB+CCABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.T的三边分别等于T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为ABC的内心.取IBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求证：O1O2O3与ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD为ABC内角平分线.取ABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.则OO1O2是等腰三角形.5.ABC中C

17、90，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)6.ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切O于B，C，过OA与BC的交点M任作O的弦EF.求证：(1)AEF与ABC有公共的内心；(2)AEF与ABC有一个旁心重

18、合.中学数学几何问题：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例1AD，BE，CF是ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在PAD，PBE，PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A，C，D，E，F. 易证AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF. 两边各

19、扩大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例2如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将ABC简记为，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差数列. 若ABC为正三角形，易证. 不妨设abc，有 CF=， BE=， AD=. 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =: =a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差数列. 当中abc时， 中CFBEAD.，()2. 据“三角形的三条中线围

20、成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.二、垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例3设A1A2A3A4为O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A

21、1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易证A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2， 故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例4H为ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的H交直线EF，FD，DE于

22、A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圆半径为R，H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-

23、(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.三、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例5过等腰ABC底边BC上一点P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在ABC外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故点M是PBP的外心，点N是PPC的外心.有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 从而，P点与

24、A，B，C共圆、即P在ABC外接圆上. 由于PP平分BPC，显然还有 PB:PC=BP:PC.例6在ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以APS，BQP，CSQ的外心为顶点的三角形与ABC相似. (B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知 PO1S=2A， QO2P=2B， SO3Q=2C. PO1S+QO2P+SO3Q=360.从而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360 将O2QO3绕着O3点旋转到KSO3，易判断KSO1O2PO1，同时可得O1O2O3O1KO3. O2O1O

25、3=KO1O3=O2O1K =(O2O1S+SO1K) =(O2O1S+PO1O2) =PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为ABC的内心，射线AI交ABC外接圆于A，则有A I=AB=AC.换言之，点A必是IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7ABCD为圆内接凸四边形，取DAB，ABC，BCD，CDA的内心O1， O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形. (1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4例8已知O内接ABC，Q切A

26、B，AC于E，F且与O内切.试证：EF中点P是ABC之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当ABAC，怎样证明呢？ 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在BAC平分线上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用内心等量关系之逆定理，即知P是ABC这内心.五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9在直角三角形

27、中，求证：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周. (杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设RtABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(

28、p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例10M是ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是AMC，BMC，ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在ACB内部的旁切圆半径.证明：=.(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+B

29、E+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是ACE的三条内角平分线，I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一点两心.例12ABC的外心为O，AB=A

30、C，D是AB中点，E是ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G，G必为ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证：DG:GK=DC:()DC=2:1. DG:GK=DE:EFGEMF. OD丄AB，MFAB， OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易证OE丄CD.例13ABC中C=30，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作DAO平分线交B

31、C于K. 易证AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用内心张角公式，有 AIB=90+C=105， DIE=360-1053=45. AKB=30+DAO =30+(BAC-BAO) =30+(BAC-60) =BAC=BAI=BEI. AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK， DO丄IE，即DF是DIE的一条高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE. 由DIE=IDO，易知OI=DE.例14锐角ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. 求证：1d垂+2d外=3d重.分析：这里用三角法.设ABC外接圆半径为

32、1，三个内角记为A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同样可得BH2CH3. 3d重=ABC三条高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同样可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲证结论，观察、，须证(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ c

33、osC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.练 习 题1.I为ABC之内心，射线AI，BI，CI交ABC外接圆于A，B，C .则AA+BB+CCABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.T的三边分别等于T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为ABC的内心.取IBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求证：O1O2O3与ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD为ABC内角平分线.取ABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.则OO1O2是等腰三角形.5.ABC中C90，从AB上M点

34、作CA，CB的垂线MP，MQ.H是CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)6.ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切O于B，C，过OA与BC的交点M任作O的弦EF.求证：(1)AEF与ABC有公共的内心；(2)AEF与ABC有一个旁心重合.1、重心到顶点

35、的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。证明：过E作EH平行BF。AE=BE且EH/BFAH=HF=1/2AF（中位线定理）又 AF=CFHF=1/2CFEG=1/2CG（CFGCHE）2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明二证明方法：在ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(BOC)=1/2h1a=1/21/

36、3ha=1/3S(ABC)；同理可证S(AOC)=1/3S(ABC)，S(AOB)=1/3S(ABC) 所以，S(BOC)=S(AOC)=S(AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3(x-1/3*(x1+x2+x3)2+3(y

37、-1/3(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。6、在ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为ABC的重心，反之也成立。7、设ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）8、相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。证明方法：D为BC中点，BD=CD,又hABD=hACD，hBOD=hCOD，SABD=S