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1、第十六章 二次根式16.1 二次根式(1)一、学习目标1. 能说出什么叫二次根式，注意“被开方数是非负数”. 2. 能记住二次根式在实数范围内有、无意义的条件.二、知识链接1. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？24的平方根是_；0的平方根是_.35的平方根是_；5的算术平方根是_.三、自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P2页思考至P2页例1前的内容，完成学习检测一.要求：1.完成课本中的思考及所提出的问题.2.认识什么叫二次根式，记住被开方数是非负数.【学习检测一】1.一个正数有 个平方根，它们是 ；0的平方根为 ；在实数范围内，负数 平方根；因此，开方时被开方数只能为 . 2.表示a
2、的 .(a 0).3、一般的，我们把形如 的式子叫做二次根式， 叫做二次根号.【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P2页例1内容，完成学习检测二.要求：1.注意例题的格式和步骤.2.记住二次根式在实数范围内有、无意义的条件.【学习检测二】当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【我的疑惑】四、合作探究【探究活动】当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?(1) (2) (3) (4) 【概括提炼】求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于0；分母中有字母时，要保证分母不为0.五、当堂达标1下列式子一定是二次根式的是
3、（ ）A B C D2在，中，一定是二次根式的有： .3若为二次根式，则m的取值范围为（ ）Am2 Bm2 Cm2 Dm24使式子无意义的x的取值范围是_.5当x_时，式子有意义.6求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1） （2） （3）（4） （5） （6）六、拓展延伸1无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 .2. .已知a、b为实数，且，求a、b的值. 16.1 二次根式(1)参考答案：五当堂达标1.C 2. ； ；3.A 4.x4 ； 5.3x5 ； 6. (1)x- (2)m为任何实数 (3)x0 ；(4)x3 ； (6)x1六、拓展延伸1.m9 ； 2.a=5 ；b=
4、-416.1 二次根式(2)一、学习目标1.能记住二次根式的性质：（1）是非负数 (0）；（2）()2=（0）；（3）=（0）.特别注意：当0时=-的意义.2. 会运用二次根的性质进行简单的计算和化简.二、知识链接1. 二次根式在实数范围内有意义的条件是 .2.根据算术平方根的意义填空.； ； ； .； ； ； .；.三、自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P3页至P3页探究前的内容，完成学习检测一.要求：记住是非负数 (0）性质.【学习检测一】1.当a0时，表示a的 ，因此 0；当a=0时，表示0的 ，因此 0.这就是说 (0）是一个 数.2.我们已学过的非负数形式有： .3. 若+1+
5、y=0，则x2+y2=_【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P3页探究至P4页例2内容，完成学习检测二.要求：记住()2=（0）性质.【学习检测二】1. ()2= （0）.2.计算.（1）； （2）； （3）； （4）.【我的疑惑】【学习指导】研读三 认真阅读课本P4页探究至P4页例3内容，完成学习检测三.要求：记住=（0）性质.【学习检测三】1. = （0）.2.计算.（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）； （7）.【我的疑惑】四、合作探究【探究活动】结合“知识链接2”请你谈一谈对和的认识.【概括提炼】1.当a0时， ；当a=0时， ；当a0时， ；2. 当时a0时
6、， .五、当堂达标1.下列各组数中，互为相反数的有（ ）.与；与-3； -3与； -3与A.1组 B.2组 C.3组 D.4组2.计算的结果是（ ）.A.0 B. C.4 D.33.若实数a、b满足a+2+=0,则 .4.计算：（1） （2） （3）（）2（4）（7）2 （5） （6） 5.若x、y满足，求2x-3y的值.六、拓展延伸1若2x-y+z2-z +=0，求x+y+z的值2 已知2x0）反过来，= （a0，b0）三.自主学习【学习指导】研读一：认真阅读课本p8至例4的内容，时间：5 分钟.要求：能熟练掌握二次根式除法的法则，进行化简与计算.【学习检测一】 计算（1） （2） （3）
7、（4） 【我的疑惑】【学习指导】研读二：课本P8例5的内容要求：能熟练逆用二次根式除法的法则进而进行化简与计算.【学习检测二】化简： （1） （2） （3） （4）【我的疑惑】【概括提炼】1.当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数.2.化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式.四.合作探究 ；阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简：(1) =_ （）=_() = () = 概括提炼：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分
8、母中不含二次根式.五.当堂达标：1.选择题 （1）计算的结果是（ ） A B C D （2）化简的结果是（ ） A- B- C- D-2、计算： （1） （2） （3） （4） 3.用两种方法计算：（1） （2） 4.若x、y为实数，且y=，求的值.六.拓展延伸已知，且x为偶数，求（1+x）的值 16.2 二次根式的乘除（2）参考答案1、选择题：A C3.解：(1)原式=(2)原式= (3)原式=2(4)原式= = 拓展延伸(1) 方法一:原式= = 方法二:原式=2(2) 方法一:原式= = 方法二:原式=16.3二次根式的加减（1）一.学习目标1. 能记住二次根式加减法的法则，知道什么样的
9、二次根式能够合并.2. 能利用法则准确进行二次根式的加减运算.二.知识链接1.什么是同类项？如何进行整式的加减运算？2. 计算：（1）2x-3x+5x （2）3. 化简下列二次根式， ， ， ， 3， -2三.自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P12页至P13页例1内容，完成学习检测.要求：掌握二次根式加减法法则，知道二次根式加减的步骤;会运用法则进行简单的加减计算.【学习检测一】1.二次根式加减时应先 ，再 。2. 观察下列各组式子，哪几组能够合并？（1） （2）（3） （4）3. 计算：（1）+ (2）+2+3（3）3-9+3 (4)【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P13
10、页例2，完成学习检测.要求：类比二次根式加减和整式加减，得出结论，熟练进行二次根式加减运算.【学习检测二】计算下列各题(1) (2) (3) （4）【我的疑惑】四.合作探究【探究活动】是否存在实数m，使最简二次根式 与 能够合并？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【概括提炼】二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）合并，同类二次根式相当于同类项，二次根式的加减实质是合并同类二次根式.五.当堂达标1二次根式：；中，与能合并的是（ ） A和 B和 C和 D和2. 下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ ）A与 B与C
11、与 D与3. 如果最简二次根式 与 能合并，那么a的值是 . 4.计算下列各题 （1） （2） （3）六.拓展延伸1已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值16.3 （1）二次根式加减参考答案当堂达标：1.C 2.D 3.a=2 ； 4.(1) ；(2) ； (3)拓展延伸：由4x2+y2-4x-6y+10=0可得x= y=3化简得：当x=y=3时，原式= 二次根式混合运算一.学习目标1. 能熟练运用二次根式运算法则进行二次根式的混合运算.2. 在二次根式混合运算中能准确运用乘法公式和多项式乘法法则进行计算. 二.知识链接1.回顾多项式乘法法则.2.写出我们已经
12、学过的乘法公式：（1） （2） 三.自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P14页例3内容，完成学习检测.要求：能运用二次根式加减乘除运算法则准确的进行二次根式的混合运算，在计算过程中体会乘法运算定律在计算中的运用.【学习检测一】计算:1.（+） 2.（4-3）23. 4. 【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P14页例4内容，完成学习检测.要求：能准确运用乘法公式和多项式乘法法则进行二次根式的混合运算.【学习检测二】计算1.（+6）（3-） 2.（+）（-）3. 4.【我的疑惑】四.合作探究【探究活动】母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一
13、个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？【概括提炼】 在二次根式的混合运算中要注意乘法公式和整式乘法中单项式乘多项式，以及多项式乘多项式法则的运用，最后的结果一定要化成最简二次根式.五.当堂达标 1当a=_时，最简二次根式与可以合并2若，那么ab=_，ab=_ 3（-3+2）的值是 . 4计算（+）（-）的值是 .5若x=-1，则x2+2x+1=_6已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_7下列计算正确的是( )ABCD8. 计算题下列各题（1） （2）（3）(4)|1| +（314
14、-）-六、拓展延伸1如图：面积为48的正方形四个角是面积为3的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和盒子的容积分别是多少？（精确到0.1）二次根式混合运算参考答案当堂达标：1.6 ； 2.；3 ； 3.； 4.1 ； 5 .2 ； 6.；7.D8.(1)；(2)；(3)；(4)拓展延伸底边边长为：容积为： 第十六章 二次根式一.选择题(每小题3分，共30分)1.下列各式中，不属于二次根式的是（ ）A.(x0) B. C. D. 2.若，则（ ）A B. C. D. 3.若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D
15、. 第四象限4.小明的作业本上有以下四题，做错的题是（ ）A BC D5.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. B.C. D.6.下列各数中，与的积为有理数的是（ ）A. B. C. D.7.下列计算正确的是（ ）；A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.设4的整数部分为a，小数部分为b，则a的值为（ ）A. B. C. D.9.化简得（ ）A.2 B C.2 D. 10.计算：的结果为（ ）A.3 B.9 C.1 D.二.填空题（每小题3分，共18分）11.要使代数式有意义，则x的取值范围是 .12.在实数范围内分解因式_.13.若最简二次根式与能合并，则a = .14.实数a、b在数
16、轴上的对应点如图所示，化简的结果是 .15.若，则_ ,_.16.比较大小：（1）3 2.（2） .（3） .三.解答题（共72分）17.计算(每小题4分，共16分) （）2+（3-）0-+-218.（6分） 若a=， b=,求a2b+ab2的值. 19.（6分）若a、b为实数，且，求的值.20.(7分)已知实数x,y满足，求（x+y)2015 的值.21.（7分）实数a在数轴上的位置如图所示，化简 .22.（7分）先化简，后求值：，其中.23.（7分）已知一块长方形木板，长为7.5dm，宽为5dm，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？24.（8
17、分）一个三角形的三边长分别为：.（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给出一个适当的的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值25.（8分） 观察下列等式：；回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：的值.十六章 二次根式单元测试题参考答案 1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 9.A 10.C 11.x ； 12.(a-)；2 ； 13.2 ；14.-2a ；15. 5；2 ； 16.(1)(2)(3) 17.106-4 ； 18. ； 19.3 ； 20.1 ；21.2 22. 解：当时，原式6 23. 解：从长、宽两个方面考虑： 大正
18、方形的边长为，小正方形的边长为， 由于5，小木板的宽够截取. 小正方形的边长和为7.5. 两个小正方形的边长和小于木板的长. 即可以用这块木板截出两个面积为8dm2和18dm2的正方形木板. 24.解：（1）周长=.（2）当时，周长.（答案不唯一，符合题意即可）25.（1）（2）原式 第十七章 有理数17.1 勾股定理（1）一、学习目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.2. 会用勾股定理进行简单的计算.二、知识链接直角三角形是三角形中的一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质，你能说出那些？三、自主学习【学习指导】研读一 认真阅读
19、课本P22至P22思考内容，完成学习检测，时间5分钟.要求：了解勾股定理的发现，数学来源于生活,并思考图中三个正方形面积之间的联系.【学习检测一】1.如图，A、B、C三个正方形边长分别为 ,那么正方形A的面积为= , = , = ,它们的面积的关系是 .2.由面积关系我们可以得出三者满足什么关系？【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P23探究至P23页的命题1，完成学习检测.要求：能够从探究中猜想出正方形边长之间的关系，.并且能记住命题1的内容.能求出已知两边长度的直角三角形的另外一条边.【学习检测二】1.在直角三角形中两条直脚边为3，那么这个直角三角形的斜边的长度为 .1.在直角三角
20、形中直角边为，斜边长为，请用表示，= ，= ，= .【我的疑惑】研读三 认真阅读课本P23证明命题1至P24内容，完成学习检测.要求：掌握如何证明命题1的方法，能理解“赵爽弦图”证明的刚才以及方法.【学习检测三】1.如图，四个全等的直角三角形直角边AG=、AB=和边长BC=的正方形拼成一个大的正方形，这个大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，所以 = ，将等式化简得 .2.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 【我的疑惑】四、合作探究【探究活动】已知，一个直角三角形中，一条边长为5，另一条边为3，那么第三条边是多少？【概括提炼】五、当堂达标1在直角ABC中，A=90，BC=
21、2.5cm，AC=1.5cm，第三条边长是（ ）A.3.5cm B.2cm C.3cm D.8.5cm2在直角ABC中，C=90. (1) 若BC=9，AC=12，则AB= ； （2）若BC=9，AB=41，则AC= ；（3）若AB=10，AC=7，则BC= .3如图是由边长为1的正方形地砖铺设的地面示意图， 小明沿图中所示的折线ABC所走的路程为 （结果保留根号）. 4在等腰三角形中，一直角边长为15，则斜边长为 ；在等腰三角形中，斜边长为100，则它的一直角边长为 .5ABC中，C=90，求ABC的面积.六、拓展延伸1如图1是用硬纸板做的两个全等的直角三角形，两直角边长分别是图2是以为直角
22、边的等腰三角形，请将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形.（1）画出这个图形. （2）用这个图形证明勾股定理.17. 1勾股定理（1）当堂达标1.A 2. 15 40 3. 4. 5. 24拓展延伸1.（1）如图.（2）因为 故 17.1 勾股定理（2）一、学习目标1.运用勾股定理解决实际问题. 二、知识链接1回顾上节勾股定理的命题在直角三角形中的应用三、自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P25例1，完成学习检测.要求：能够把现实实际问题，转移到数学思想之中.正确把门框构思成一个长方形，然后对角线即为最大通过长度.【学习检测一】1.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为1
23、2cm，吸管最大程度倾斜放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 cm【我的疑惑】 【学习指导】研读二 认真阅读课本P25例2，完成学习检测.要求：以墙角为直角，用勾股定理求出两次的直角边的长度.【学习检测二】1.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A. 米 B. 米 C.（+1）米 D.3米【我的疑惑】四、合作探究【探究活动】1. 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？【概括
24、提炼】五、当堂达标1为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）A .0.7m B.0.8m C.0.9m D.1.0m2假设电视机屏幕为矩形长为52cm，“某个电视机屏幕大小是65cm”的含义是矩形对角线BD长65cm，如右图所示，则该电视机屏幕的高CD为( )cmA.13 B.30 C.39 D.523如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米A.8 B.10 C.12 D.144如图所示，学校有一块长方形
25、花圃，有极少数人为避开拐角走“捷径”，在花圃内走出“一条路”他们仅少走了 步路，却踩伤了花草。（假设2步为1米）5如图，一座住宅楼发生火灾，消防车立即赶到距楼9米处（车尾到楼墙面），升起云梯到发生火灾窗口，已知云梯15米，云梯底部距地面2米，问发生火灾的住户的窗口距离地面有多高？六、拓展延伸1如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30，此人以每秒0.5米收绳。问：（1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？（2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）17. 1勾股定理（2）当堂达标1. A 2. C 3. B 4. 4 5. 14拓展
26、延伸1（1）10 m （2） m17.1 勾股定理（3）一、学习目标1. 能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题2运用勾股定理作无理线段. 二、知识链接勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用三、自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P26，完成学习检测.要求：能够利用勾股定理证明，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【学习检测一】1. 一只蚂蚁沿直角三家形的边长爬行一周需2s,如果将直角三角
27、形的边长扩大到原来的3倍,那么这只蚂蚁再沿爬行一周需几秒?【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P26探究至P27，完成学习检测.要求：运用勾股定理在数轴上表示无理线段.【学习检测二】1.在数轴上做长为的线段时，只要分别以长为 和 的线段作为直角边，作直角三角形，则这个直角三角形的斜边就是.2.在数轴上作出表示的点.（不写作法，保留作图痕迹）【我的疑惑】四、合作探究【探究活动】如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？【概括提炼】五、当堂达标1
28、下列各组数中，以下列数为边的三角形不是直角三角形的是（） A、1.5， 2, 3 B、7, 24, 25 C、6, 8, 10 D、3, 4, 52.若ABC中 , A，B， C的对边分别为, , ,下列叙述不正确的是（ ）A.如果C- B= A，则ABC是直角三角形B.如果,那么ABC是直角三角形，且C=90C.如果,那么ABC是直角三角形D.如果A：B： C=5：2：3，则ABC是直角三角形3. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米,梯子的上端到建筑物底部有( )米。A. 15 B. 25 C. 24 D. 284. 如图，消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只
29、能停在离大楼16 米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是 5. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？六、拓展延伸1如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B跑到C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，求树高AB. 17. 1勾股定理（3）当堂达标1. A 2. A 3. C 4. 30米 5. 120米拓展延伸1. 12米17.2
30、 勾股定理的逆定理(1)一、学习目标1. 学会用勾股定理的逆定理判断直角三角形2. 能写出一个简单命题的逆命题，并判断真假 二、知识链接1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b,斜边长为c，那么 文字叙述：2.工人师傅想要检测一扇小门两边AB，CD是否垂直于底边BC和门的上边AD，但它只带了一把卷尺，你能替工人师傅想办法完成任务吗？三、自主学习【学习指导】研读一 认真阅读课本P31页内容，时间：2分钟，完成学习检测.要求：知道勾股定理的逆定理【学习检测一】1. 用尺规画ABC，使其三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，观察你画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，
31、7.5cm，8.5cm再试一试，由此你能猜想到什么？2. 如果一个三角形的三边满足_，那么这个三角形是直角三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.【我的疑惑】【学习指导】研读二 认真阅读课本P31页至P32页内容，时间：3分钟，完成学习检测.要求：知道什么是互逆命题，能写出一个简单命题的逆命题，并判断真假.【学习检测二】1. 命题1：两条直线平行，内错角相等，此命题的题设是_结论是：_ 命题2：内错角相等，两直线平行，此命题的题设是_结论是：_ 命题1和命题2的题设和结论相反，我们把这样的两个命题叫做_其中一个叫做原命题，另一个叫做它的_.一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理_2. 原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？3. P33练习第1，2题【我的疑惑】