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1、高中数学基本方法专题训练函数的对称性与周期性一、 相关结论 1关于轴、轴、原点、对称2周期性（内同） 若()，则为周期函数，为一个周期。 若()，则为周期函数，为一个周期。 若()，则为周期函数，为一个周期。 若()，则为周期函数，为一个周期。 3自对称性（内反）若，则的图像关于直线对称；特别地，若，则的图像关于直线对称；为偶函数。若，则的图像关于点对称；特别地，若，则的图像关于点对称；为奇函数。若，则的图像关于点对称。4互对称性函数与函数的图像关于直线对称；函数与函数的图像关于点对称；函数与函数的图像关于直线对称。5 对称性与周期性的关系若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期。
2、若的图像有两个对称中心和 ()，则为周期函数，为一个周期。 若的图像有一条对称轴和一个对称中心 ()，则为周期函数，为一个周期。6三角函数图像的对称性(kZ)函 数对称中心坐标对称轴方程y = sin x( k, 0 )x = k+/2y = cos x( k+/2 ,0 )x = ky = tan x(k/2 ,0 )无二、 基础练习1已知定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，若的内角满足，则角的取值范围是（ ）A B C D2定义在R上偶函数满足，当时，则（ ）ABCD 3设是以3为周期的奇函数，若，则下列结论正确的是（ ）A B C D 4定义在R上的函数满足：，且当时，则（ ）A B
3、 C D 5设是R上的偶函数， ，是R上的奇函数，且对于恒有，则_6对于定义在R上的函数，有下列三个命题：若是奇函数，则的图像关于直线对称；若对于任意有，则的图像关于点对称；的图像关于直线对称，则为偶函数。其中正确命题的序号为_7若存在常数，使得函数满足（），则的一个周期为_ 8.定义在上的偶函数，在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是_三、 补充练习1.设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为（ ）A18 B12 C9 D02.若的图象关于直线对称，则（ ）A B C D3.定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (
4、x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数4.设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.56.函数 y = sin (2x
5、+ )的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = (B) x = (C) x = (D) x =7.已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2），则的值为8.函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为。9.已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。参考答案：1D，2C，3D，4C；5.0；6.；7. ；8. 提示：3.4. ，5. ，即，即7. 令，则，8. 补充练习答案：1解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。2解：由得即 3解
6、：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)4解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x2) 反函数是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001，故f(4) = 2001,应选（C）5解：y = f (x)是定义在R上的奇函
7、数，点（0，0）是其对称中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为4的周期函数。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)6解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+x = ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = 故选(A)7解：由条件（2）知，令，则，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以8解：依条件，设，则，故9解当时，当时，1函数对称性与周期性知识归纳
8、：一函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2ax) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P（2ax，2by）也在y = f (x)图像上， 2by = f (2ax)即y + f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2b
9、y0 = f (2ax0) 。 故点P（2ax0，2by0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P关于点A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (x) = 0结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (bx)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。证明 ：已知对于任意的都有f(a+) =f(b)= 令a+=, b= 则（，），（，）是函数y=f(x)上的点显然，两点是关于x= 对称的。反之，若已知函数关于直线x = 对称，在函数y = f (x)上任取一点（）那么（）关于x =
10、对称点（a+ b,）也在函数上故f()=f(a+ b)f(a+(-a)=f(b-(-a)所以有f (a +x) = f (bx)成立。推论1：函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 推论2：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (x)结论3. 若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。 若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x =
11、b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且4| ab|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*），用2（a
12、b）x代x得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故y = f (x)是周期函数，且4| ab|是其一个周期。二 不同函数的对称性结论结论4. 函数y = f (x)与y = 2bf (2ax)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。结论5. 函数y = f (x)与y = f (2ax)的图像关于直线x = a成轴对称。函数y = f (x)与ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f (x)与xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a成轴对称。定理4与定理5中的证明留给读者，
13、现证定理5中的 设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线xy = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入y0 = f (x0)之中得x1a = f (a + y1) 点P（x1， y1）在函数xa = f (y + a)的图像上。同理可证：函数xa = f (y + a)的图像上任一点关于直线xy = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的成立。推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直
14、线x = y 成轴对称。三三角函数图像的对称性函 数对称中心坐标对称轴方程y = sin x( k, 0 )x = k+/2y = cos x( k+/2 ,0 )x = ky = tan x(k/2 ,0 )无注：上表中kZ举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)
15、是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x2) 反函数是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x)
16、, 有f(51) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _ 解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = (B) x =
17、 (C) x = (D) x =解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+x = ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = 故选(A)例5求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。证: 为奇函数 -=2=0即=0是方程=0的根若是=0的根，即=0由奇数定义得=0也是方程的根 即方程的根除=0外成对出现。方程根为奇数个。练习：1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定义在R上的奇函数，点
18、（0，0）是其对称中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)2知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为（C ）A、5 B、10 C、15 D、183是周期为2的奇函数，当时，则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，选D.4定义在上的函数是奇函数又是以为
19、周期的周期函数,则等于(B )A.-1 B.0 C.1 D.45用mina,b表示a，b两数中的最小值。若函数f(x)=min|x|,|x+t|的图像关于直线x=对称，则t的值为( )A-2 B2 C-1 D16定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2010）的值为 ( B ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2解析 由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2010）= f（6）=0,故选C.7定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A5B4C3D2解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故选择B。8设
20、函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于_y_对称。y=f(x)图象关于_x=1_对称。9设y=f(x)的定义域为R，且对任意xR，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于_对称，y=f(x)关于_对称。10设函数y=f(x)的定义域为R，则下列命题中，若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称；若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为_。1
21、1设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：012函数对于任意实数满足条件，若则_。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由得，所以，则。【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。13设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零
22、点. 答案：f(2k-1)=0，kZ. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，kZ. 所以至少有50个零点.14设f(x)=，又记f1(x)=f(x),k=1,2,则= 解：，据此，因2010为4n+2型，故选.15已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10中的根方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10共9个根16设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论【考点分析】本题
23、考查函数的奇偶性与周期性解析：由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.17定义域为R，对于任意x都有且问是否是周期函数？如是则周期是多少？解：如图可知M（1，0），N（4，0）是对称中心，设为的任意一点，它的关于M的对称点是则：设与关于N点对称则4=4，由题意即对于任意都有是周期函数，周期为6.结论：若函数的图象为对称中心在X轴上的中心对称图形，则为周期函数，周期为两对称中心距离的2倍。12