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1、第四篇,机械振动与机械波,机械振动,第十五章,阻尼振动受迫振动共振,15-1 机械振动的一般概念,机械振动：物体在一定位置的附近作来回往复的运动(周期性或非周期性),成因：物体的惯性和所受的回复力,简谐振动:物体距平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦(或正弦)函数变化,15-2 简谐振动,一.简谐振动的特征,1.动力学特征,胡克定律:物体所受弹性力与物体的位移成正比而反向,即,-简谐振动的动力学特征,2.运动学特征,令,速度,位移,-简谐振动表达式,加速度,即有,-简谐振动的运动学特征,说明：,-简谐振动的振幅，为物体离开平衡位置最大位移的绝对值,-简谐振动的初相位,-简谐振动的相位,-圆频
2、率(2秒内的振动次数),讨论： 由初始条件可确定A和 ：,设 t =0 时，,可得,固有频率和固有周期：,-周期和频率由振动系统本身的性质所决定，与A和无关,二.谐振动的旋转矢量表示法,t =0：,t 时刻,参考圆,振幅矢量,逆时针旋转,例1用旋转矢量法讨论质点初始时刻位移为以下情况时谐振动的初相位：A；-A；0，且向负方向运动；-A/2，且向正方向运动,解：,或,三.相位差和相位的超前与落后,设,相位差,同频率时,-初相差与t 无关,讨论：,-同相,-反相,-第二个谐振动超前第一个谐振动,例2如图的谐振动x-t 曲线，试求其振动表达式,解：由图知,设振动表达式为,t=0时：,即,又,即,旋转
3、矢量法,例3质量为0.01kg物体作周期为4s、振幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位移x=0.24m。求(1)谐振动表达式；(2)t=0.5s时,物体的位置和所受的力；(3)物体从初始位置运动至x=-0.12m处所需的最短时间,解：(1)设振动表达式为,其中,由旋转矢量法得,(2) t=0.5s:,或,(3),例4一弹性系数为k的轻弹簧,下挂一质量为m的砝码。开始时用手托住砝码,使弹簧为原长,放手后砝码开始振动。证明砝码作谐振动,并写出振动表达式,解：建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为 y0,在y处时,设,则,-得证,设振动表达式为,由旋转矢量法得,t=0时,例5如
4、图系统，已知物体质量为m，光滑斜面倾角为,自由转动的定滑轮半径为R,转动惯量为J,弹簧弹性系数为k。开始时物体静止,弹簧为原长,重物下滑后开始振动。(1)证明重物作谐振动,并写出振动表达式；(2)求重物下滑的最大距离,并用机械能守恒定律验证,设系统处于静平衡时弹簧伸长 x0,物体振动时,可得,-谐振动,其解为,其中,由旋转矢量法得,而,(2)物体下滑的最大距离为,由机械能守恒定律,三.角谐振动-单摆和复摆 1.单摆,由转动定律有,很小时有,可得角谐振动表达式,其中,2.复摆,为角振幅,由转动定律有,很小时有,角频率,周期,讨论： 单摆和复摆谐振动的频率由系统本身的性质决定,四.谐振动的能量 以
5、弹簧振子为例:,讨论: 弹簧振子的动能和势能是随时间(或位移)而变化的 总的机械能保持不变，即动能和势能相互转化 谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比,例6一水平放置的弹簧振子，质量为m，弹性系数为k，当它振动时，在什么位置动能和势能相等？它从该位置到达平衡位置所需的最短时间为多少？,解：(1),即,因此,(2),一.同方向同频率谐振动的合成 1.代数法,设有两个谐振动,15-4 同方向谐振动的合成,由,2.旋转矢量法,讨论: 合振动仍然是简谐振动，其频率与分振动相同 合振动振幅不但与两分振动的振幅有关，而且与相位差有关,例7已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程
6、,解：由图知,1振动在t=0时：,2振动在t=0时：,由旋转矢量法,二.同方向不同频率谐振动的合成 拍,设,讨论A1=A2=A的情况,时合振幅 随时间周期性缓慢地变化,而 作角频率近于 或 的谐振动,讨论：,振动出现时强时弱的拍现象,合振幅最大处,即两相邻振幅极大之间的相位差为, :振幅变化周期,拍频,A1追上A2,一.相互垂直的同频率谐振动的合成,设,15-5 相互垂直谐振动的合成,两式平方后相加得,-椭圆方程,讨论： 2- 1=0：同相,-直线,t 时刻质点离开平衡位置的距离为,-振幅为 的谐振动,2- 1=：反相,-直线,2- 1=/2：,-正椭圆,设某一时刻,则,t后,-质点在椭圆上顺时针旋转,2- 1=-/2：,-正椭圆,质点在椭圆上逆时针旋转,A1=A2时椭圆变为圆,二.相互垂直的不同频率谐振动合成,李萨如图形,