《201922代数学基础有限域.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《201922代数学基础有限域.ppt（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、有限域的结构,有限域的子域：,定理: Fq是Fq的子域, 其中q=pm, q=pn, 那么m|n.,证明: pm-1|pn-1 m|n. 实际上（pm-1，pn-1）= p (m,n)-1,一般的,设a,b为整数，ab，a,b互素，证明： (am-bm, an-bn)=a(m,n)-b(m,n),有限域的唯一性,有限域的存在性和唯一性：,有限域的阶,定理: 任意有限域的阶都是pn, 其中p为素数.,证明: 假设Fq是有限域, 特征为p.,则Fp = 0, 1, 21, , (p-1)1为其子域.,Fq 可以看作域Fp上的向量空间.,假设向量空间的维数为n, 那么q = pn.,向量空间,有限域
2、的唯一性,定理: 阶相等的有限域同构.,证明思路: 找一个不可约g(x) 使得任意的FqFpxg,Fp,1) q = pm,2) F*q为循环群,Fp,Fp,Fpx/g(x),本原元为,g(x)为的极小多项式,引理1: 假设Fq是有限域, q=pm, 其本原元的极小多项式是g(x), 那么Fq与Fpx/g(x)同构.,证明: 同构映射: r() r(x) mod g(x),引理2: g(x)是Fpx上的不可约多项式, deg(g) = m, 那么 g(x) | xpm-x.,证明: Fpx/g(x)是一个pm阶有限域, =x是这个域的元素, g(x)是的极小多项式.,又 pm-1-1=0, 是
3、xpm-1-1的根.,因此g(x)|xpm-x.,因此任意阶为pm的有限域都有极小多项式g(x).,有限域的存在性,考虑xpm x在Fpx上的分解,有限域Fq(q= pm )的全部元素,构成 xpm x = 0全部的根.,不可约多项式g(x)| xpm x deg(g) | m.,记Fpx 上n次首1的不可约个数为N(n), 那么 n|m nN(n)= pm,Fpx上存在任意多次的不可约多项式,证明: n|m nN(n)= pm nN(n) pn .,mN(m)=pm - n|m, nm nN(n), pm - n|m, nm pn,= pm/2 (pm/2 - m/2), pm - m/2 pm/2,0,