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1、培养数学建模思想，,完善建模培训方法,报告人：卢鹏,西南交通大学峨眉校区基础课部, ,如何培养数学建模思想？ 如何完善建模培训方法？ “教师” 与 “教练”, 他们激发客户自身寻求解决办法和对策的,能力 ；, 教练的职责是提供支持，以增强客户已有,的技能，资源 和创造力 ；,国际教练联盟定义教练：, 教练不是顾问，并不是某个领域的专家，,不提供解决问题的方案，而是支持你自己 去发现属于自己的最适合的答案；, 教练不是老师，甚至不比你懂得更多，并,不灌输概念和知识，但他能支持你发掘自 己的潜力和智慧；, 教练不是知识训练或者技巧训练，而是一,种拓展信念与视野的能力和习惯的培养；,采用形式多样的教
2、学方式， 自始自终启发数学建模思想,问题：树上有10只鸟，猎人开枪,打死了1只，树上还剩几只？,答案：, 10-1=9, 树上没有鸟，开枪后鸟受惊都飞走了,这样的回答是在什么条件下得到的？, 是无声手枪，还是其它没有声音的枪？,枪声有多大？ 能否使得鸟受惊？, 有没有残疾（比如鸟里有没有聋子？）或,饿得飞不动的鸟？, 有没有鸟智力有问题？呆傻到听到枪响不,知道飞的？, 有没有关在笼子里的？, 边上还有没有其它的树？树上还有没有其,它鸟？, 它们受到吓起飞时，会不会惊慌失措而互,相撞上受伤飞不走的？,可能的结论：在上面的情况都不存 在的情况下,打死的鸟要是挂在树上 没掉下来，那么就剩1只；如果掉
3、下 来，就1只不剩！,启发, 改变固有的思维习惯，养成爱思考、善于,思考的习惯；, 希望能理解哪怕对一个很小的问题的认,识，也是在其具有的条件下得到的结论。,完善数学建模的培训方式， 形成自己风格的教学特色,如何让学生更容易掌握各种数学建模方法？,运用已知物理定律,面对一个实际问题，你首先应想一想，你所 考虑的问题是否遵循什么规律或物理定律，建立 微分方程模型时应用已知物理定律，可起到事半 功倍的作用 在建模案例的挑选上，尽量从问题背景简单，容易入 手的题目开始，着重让学生了解建模的一般过程，然 后再由浅入深。,一、微分方程建模,问题,一名律师为其当事人辩护需要建立一个数 学模型他的当事人被控
4、嫌疑谋杀，人们怀疑 他曾为了逃避追捕从一个很高的窗户跳下 来辩护律师力图申辩的是：人的腿是虚弱 的，如果他从那扇窗户跳下来，就可能受伤,建立数学模型是为了估计他着地时的速 度，从而判断他能否当即站起来并逃走,首先弄清楚问题的实质，也就是要解决什 么？,问题表述：问题可明确为“如果一个人从一个,特定的高度下落，他触地时的速度是多少?”,研究一个物体下落问题！,这个问题还需要做进一步的分析，我们首先 要针对人体下落的情况对一些问题做出判断： 人体的下落是自由下落，还是需要考虑空 气阻力?,身体的尺寸对下落有影响吗?, 如果空气阻力是重要的因素，在我们的模 型中如何评估它？,d x,dt,假设该运动
5、是垂直下落，则是一个一维的 问题 应用牛顿运动定律(以竖直向下为正向)， 得到,（）,dv dx,mg R = m,= mv,2,2,这是我们建立的初步模型，还必须确定空,气阻力R,在人们的运动体验中，无论是跑步、骑车、 甚至于走路都会普遍感觉到空气阻力的影响， 直觉R不依赖于距离和时间，但却依赖于速 度，你运动得越快，受到的阻力越大所以我 们假定空气阻力及正比于速度v ，即将空气的 阻力表示为Rkv,mg kv = mv,也可以将R及与v的关系式假设成更复杂的形 式，比如,或更一般地，,如果取一般表达式，方程(）为：,（）,2 n,R = kv R = kv,dv dx,n,现在的问题是如何
6、确定n的值，确定依赖 于质量m的参数k的值?这对于求模型的解至关 重要可以做多种尝试，我们将利用从力学书 中得到的结论：,(1)对于小而坚实的物体，例如一块小石 头，空气阻力直接和速度成正比，即有n=1；,(2)对于一些较为庞大的物体，如人体， 空气阻力和速度的平方成正比，即n=2,对于律师所建立的人体下落模型，取n=2,较合理,g kv = v,g 0.00341v = v,接下来就是要确定模型中的参数k 查找力学书本可利用“极限速度”的概念 人体下降处于极限速度状态时，加速度为零(引 力与空气阻力平衡)，意味着微分方程,最终得到关于人体从窗户坠落问题的数学模型 是一个一阶微分方程,2,dv
7、 dx,= 0,dv dx,2,律师的辩护合情合理，但嫌疑人是否真的无 罪呢?,这里忽略了什么东西？,落地处的性质：是硬地还是柔软的泥地？问 题可以进一步深入。, 引导学生不断地思考，从而改变学生被动 学习知识的教学模式，养成自己去查阅大 量的书籍和资料来研究相关问题的能力。,实际问题中 的优化模型,Min(或Max ) z = f ( x), x = ( x1 , , x n )T s.t. g i ( x) 0, i = 1,2, , m,gi(x)0约束条件,x决策变量 数 学 规 划,f(x)目标函数 线性规划 非线性规划 整数规划,二、数学规划模型：,线性规划 一个经济、管理问题满足
8、以下条件：, ,目标函数能用数值指标来反映，且为线 性函数： 存在多种方案； 目标是在一定的约束条件下实现的，约 束条件可用线性等式或不等式来描述。,线性规划模型一般形式,max(min)Z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn,三要素：决策变量、约束条件、目标函数,建立线性规划模型的步骤, 建立问题的决策变量, 建立问题的约束条件, 确定问题的目标函数,现假定有一片森林，森林中的树木每年都要 有一批被砍伐出售，为了使这片森林不被耗 尽而且每年都有所收获，我们要求：每当砍 伐一颗树时，就在原地补种上一颗幼苗，从 而使得森林中树木的总数保持不变，请你找 出一种方案，使得在维持每年都
9、有收获的前 提下去砍伐树木，使得被砍伐的树木获得最 大的经济价值。,例,1 建模分析,目标函数：被砍伐树木的经济价值。,决策变量：被砍伐的树木的数量。,约束条件：持续收获，总数不变。,2 模型假设,按高度将树木分为n类：,第一类，高度为,幼苗，其经济价值,第 k 类，高度为,每棵树木的经济价值,第 n 类，高度为,每棵树木的经济价值,假设1,记,为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。,每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。,设,分别是第1，2，n类树木,在采伐时砍伐的棵数。,假设2,设森林中树木的总数是 s ，即,根据
10、土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。,假设3,假设4,每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一 年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即 第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。,设,是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则,是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。,3 建模,先看没有砍伐时树木生长规律,变形，矩阵形式,定义高度状态向量和生长矩阵：,则没有砍伐时树木生长方程为,再考虑有砍伐和补种时的情形,根据问题的要求，要维持持续收获，即 生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补 种的幼苗数应等于生长期开始的量,各式相加后，得,再记,则,所收获树木的价值,问题,
11、4 模型求解,在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木。,利用这一假设，设被砍伐的树木为第 k 类，则,根据所建模型，,根据所建模型，,得,结果表明：,森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。 从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。 因此，森林中没有高于或等于 k 类高度的树木。,问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？,由,当森林中各参数给定时，分别计算 f k 的值，再 比 较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。,5 算例,已知森林具有6 年的生长期，其参数如下。求 出最优采伐策略。,解得,故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。
12、,6 进一步思考,1 持续养鱼问题,2 企业持续发展问题,3 经济（社会）持续发展问题,三、综合评价方法分类：,常见的数学模型综合评价方法一般有四种：,(1) 传统的评判方法：总评分法 、加权评分法 。 (2)层次分析法。,(3)模糊综合评判方法：单层次模糊综合评判、 多层次模糊综合评判。 (4)数据包络分析法(DEA)。 (5)粗糙集方法。,四、预测方法分类：,(1)回归分析预测：多元回归、非线性回归。 (2)时间序列预测：移动平均法、指数平滑法、 趋势分析、AR模型、MA模型、ARMA模型、自回 归求和滑动平均模型ARIMA、季节性乘积模型 ARIMAz、门限自回归模型TAR。 (3)马尔
13、可夫预测。,(4)灰色预测：GM（1，1）模型、GM（1，1）残 差模型、灰色序列预测、拓扑预测，包络模型。,(5)神经网络预测：BP网络预测、Hopfield网络,预测、模糊神经网络预测。,(6)分形预测。 (7)遗传预测。 (8)混沌预测。,(9)组合预测：非线性规划模型、权重综合、区 域综合、最优加权法、最优加权模型、模型 综合的正权组合方法、方差倒数加权法、正 权综合方法的改进递归下权综合方法。,坚持以讨论班的形式完成对数模题 目的分析, 同学们可挑选合适的建模论文研读，了解 别人的工作，并将各自的认识看法报告给 其他同学听，互相讨论，加强对问题的认 识，在此基础上提出自己的一些看法和
14、改 进措施，从而更好地解决问题。,认真对待每一次的模拟练习, 精心挑选适合不同阶段模拟的题目，严格,按照竞赛要求完成答卷。, 对每一次的模拟竞赛论文提出意见，反复,斟酌建立的模型，经过十多次的反复修 改，到最后漂亮的、满意的论文成果。,规范科技论文的写作，,养成严谨的学术态度, 论文是数学建模的成果体现，容纳了参与 人的全部工作与心血。通过数模论文的撰 写与修订，能快速培养表述观点与结论的 层次性与清晰度。通过严格规范的写作培 训，也杜绝引文不规范、剽窃他人成果等 不良习惯，培养良好的科研素养。,培养学生坚强的意志和永不言败的 自信, 学生在培训过程中所经历的沮丧、对自我 能力怀疑、否定的痛苦，需要坚强的意志 和超强的抗压能力。而作为教练需要及时 地鼓励与肯定，以增加学生的自信。,