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1、第二章 分离变量法,齐次发展（演化）问题的求解 齐次稳定场问题的求解 非齐次问题的求解 多变量推广 本章小结,2.1 齐次发展方程的分离变量法,一 分离变量法简介,研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题,设,代入上述波动方程和边界条件得,方程、边界条件均齐次,用 遍除,两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作-,这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离,称为固有值（本征值）问题,1 、在0时，方程的解是,积分常数 和 由边界条件确定,由此解出 =0, =0，从而,2、=0 时方程的解是,则仍然解出,3、 0的情况,方程的解是,只
2、有 才能保证 ，方程有非零解,此时,再看关于T 的方程,于是 或,称为固有值， 称为固有函数,这个方程的解,分离变量的形式解,(n=1,2,3,),由叠加原理，一般解为：,现在要求出叠加系数 和,满足初始条件,方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得,，则可得原问题的解：,按上述公式计算出系数 和,注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。,如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。,分离变量流程图,固有值 （特征值） 问题,偏微分方程,【例题1】,磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的
3、核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题,【解】,设 并代入方程得,分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下,分离变量流程图,固有值 （特征值） 问题,现用 遍除各项即得,经讨论，当 时有解,于是得固有值问题,当 时有解,由定解条件得 任意，于是有固有值和固有函数,现确定积分常数，由条件知,由第一式可得,而 只有,，因此第二式变为,于是有固有值和固有函数,现在需要求解,综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为,当 时有解,当 时有解,其中 均为独立的任意常数。,由初始条件得,把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数，得,
4、由叠加原理，一般解为,【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件,试探解,代入方程和边界条件得 固有值问题,【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ,试求无热源时细杆上 温度的变化。,和常微分方程,分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下,分离变量流程图,固有值 （特征值） 问题,经讨论知，仅 时有非零解，且,只有,由 得,由 得,于是得固有值和固有函数为,由此得,下面求解,得,由叠加原理，得,确定系数 ,由初值条件知,于是,如取 ，则,从而下列问题,的解为,图形如下: (程序:my1),(a) 精确解图,(b)
5、 瀑布图,思考题：如何求解下面的波动问题,习题：习题1（1）、（3）；习题2；习题3（2）；,2.2 稳定场齐次问题的分离变量法,1 矩形区域上拉普拉斯方程,【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边 处于较高温度 ， 边处于冷却介质中而保持较低的温度 , 其他两边 ， 温度保持为零， 求解这横截面上的稳定温度分布 .,【解】先写出定解问题定解问题,方程齐次,这组边界条件齐次,用分离变量法,分离变量流程图,固有值 （特征值） 问题,设形式解为：,代入上述泛定方程,得到,得到固有值问题,和常微分方程,得固有值：,固有函数：,而,于是有,叠加得,为确定叠加系数，将 代入非齐次边界条件,将等式右边展开
6、为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得,联立求解得,故原问题的解为,小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件 是齐次的，则可使用分离变量法求解。,图形如下： （程序：my2）,(a) 精确解图,(b) 瀑布图,【例2】求解下列问题,特点：边界条件 均非齐次,则 ，而上面两个定解 问题分别用例1的方法求解。,称为定解问题的分拆。,【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。,【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴 ，,物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆,柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程,（
7、在柱外）,可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。,在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成,2 圆形区域问题,设分离变数形式的试探解为,代入拉普拉斯方程，得,令,此条件是根据电学原理加上的,移项、整理后得：,分离为两个常微分方程,（ 自然边界条件，附加）,得固有值和固有函数为,和,固有值问题,解得,将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程,作代换 则 ，方程化为 ：,于是通解是,解得,即,一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,即：,由此得：,由条件 得,主要部分是 项,可见在表达式中不应出现高次幂，于是,最后得柱外的静电势为：,由 知,结合前面系数关系，有,习题
8、6、8,2.3 非齐次方程的求解,设该问题的解为：,例1 求解有界弦的受迫振动问题（）,我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为,又设,因 已知，所以,固有函数展开法（又称傅立叶级数法）,代入非齐次方程和初始条件得：,用Laplace变换求解得：,方法总结：将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。,设：,【解】 对应齐次问题的固有函数系为,代入泛定方程，得,于是有,例2 求解有界弦的受迫振动问题（）,代入初始条件,于是：,当 时：,的解为,解释,设非齐次方程的特解为 ，解得,于是非齐次方程的通解为,由定解条件
9、,得,代入整理即得。,故原问题的解为,解释,【例题 3 】均匀细导线，每单位长的电阻为R通以恒定的电流I，导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。,其定解问题为：,对应的齐次问题的固有函数为： ，故令,而,其中,代入方程，比较系数得：,由常微分方程的知识：,的解为,知,其中,代入初始条件得：,于是：,从而原问题的解为,习题10（2）、（3）,2.4 非齐次边界条件问题,上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。 现在讨论非齐次边界条件下的情况。,【解】物理问题的定解问题,按照叠加原理，将 的定解问题分解为两部分之和，,满足定解
10、问题,即,解得,满足定解问题,解释为什么？,由分离变量法知，其解为,由初值条件知,故,小结：,满足定解问题,即可边界条件齐次化。,【例2】求下列定解问题,解：令,满足,解得,满足,方程也非齐次,则边界条件可齐次化。,【例题3】求解长为 的均匀杆的振动问题,【解】仍然要利用叠加原理，取,是一振动源，不防设,适当选取 ，使 满足下述方程和边界条件,注意,于是，得到了方程,解得,关于另一方程为：,用分离变量法，知,由初值条件，知,所以,从而,解的动画截取图形。注意级数解有无穷多项，计算时取有限项。这里取前100项。(程序：my5),解的瀑布图形,解：令,【例】求下列定解问题,设 满足,解得,满足,习
11、题：习题11（1）、（4）,2.5 固有值问题,常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。,用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数,些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。,的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题,中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这,固有值及固有函数：,一、,其固有值和固有函数分别为,三、,其固有值和固有函数分别为,其固有值和固有函数分别为,五、,其固有值和固有函数分别为,练习：习题14（2）、（4）,本章小结：,对演化方程：方程与边界条件均为齐次,对稳定场方程：在矩形区域上方程与一对边边界条件均为齐次；圆域
12、上的Laplace方程,用分离变量法,对演化方程：方程为非齐次，边界条件为齐次,用固有函数法,对演化方程：方程与边界条件均为非齐次,做函数变换，边界条件齐次化，得到前两种情形之一。,补充习题：,求解薄膜的限定浓度的扩散问题 薄膜厚度为 ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积 下杂质总量为 ，此外不再有杂质进入薄膜。对于较大 的 t 简化所得到的答案。 在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。,解：定解问题,由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故,代入初始条件：,此定解问题还可以写成：,由于：,代入边界条件得：,练习 求解两端固定弦的自由振动问题,其中,解为,其中,该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解 有无穷多项，计算时取有限项。,