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1、怎样建立数学模型,石家庄经济学院数理学院 康 娜 2009年6月2日,现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。,一、 现代科技人员应具有的数学能力,* 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用.,*更重要的方面是数学的思维方式的确立.,21世纪科技人才应具备的数学素质与能力,数学运算能力,逻辑推理能力,数学建模能力,数据处理能力,空间想象能力,抽象思维能力,更新数学知识能力,使用数学软件能力,二、建模范例,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析
2、,问题,记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小,森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t
3、2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,问题分析,失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形,分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）,1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）,2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）,4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3,假设1）的解释,火势以
4、失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比,模型建立,目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求 x使 C(x)最小,结果解释, / 是火势不继续蔓延的最少队员数,其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数,模型应用,c1,c2,c3已知, t1可估计,c1, t1, x,c3 , x ,结果解释,c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度., ,可设置一系列数值,由模型决定队员数量x,为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？,例2 选课策略,要求至少选两门数学课、三
5、门运筹学课和两门计算机课,选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？,0-1规划模型,决策变量,目标函数,xi=1 选修课号i 的课程（xi=0 不选）,选修课程总数最少,约束条件,最少2门数学课，3门运筹学课， 2门计算机课。,先修课程要求,最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21,0-1规划模型,约束条件,x3=1必有x1 = x2 =1,模型求解（LINGO）,学分最多,多目标优化的处理方法：化成单目标优化。,两目标(多目标)规划,讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？,课程最少,以学分最多为目标，不管课程多少
6、。,以课程最少为目标，不管学分多少。,多目标规划,在课程最少的前提下以学分最多为目标。,最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总学分由21增至22。,注意：最优解不唯一！,LINGO无法告诉优化问题的解是否唯一。,可将x9 =1 易为x6 =1,多目标规划,对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。,最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它为0；总学分28。,一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后
7、扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？,分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.,联想：安全 、危险,问题的关键,*圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,新问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）,可利用的数据条件：,圆桶的总重量 W=527.327（磅）,圆桶受到的浮力 B =470.327（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08,可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：,方程的解为,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 ?,分析：考虑圆桶的极限速度,
8、713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,原问题得到解决了吗?,极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！,结论：解决问题的方向是正确的.,解决思路：避开求t0的难点,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度.,代入（1）得,两边积分得函数方程：,若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试),* 用数值方法求出v(300)的近似值为,v(300)45.41(英尺/秒)40(英尺/秒),* 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y = y(v),令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出,y= 238.4 (英尺)300(英尺),问题的实际解答：,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.,