浙大概率论与数理统计课件一二章.ppt

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1、数学与计算机学院,1,概率论与数理统计,教材：浙江大学 盛骤 谢世千 潘承毅编 高等教育出版社,2,概率论-研究随机现象统计规律性的一门学科。,序 言,概率论是研究什么的？,?,随机现象：不确定性与统计规律性,概 率 论,3,4,关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 古典概型 条件概率 事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,5,1 随机试验,确定性现象：结果可以预言。 不确定性现象：结果事先不能预言,自然界与社会生活中的现象按照结果能否预言分为 两类,一类是确定性现象； 一类是随机现象。,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“可导必连续”

2、,“水从高处流向低处”,实例,确定性现象的特征:,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.,2. 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.,实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点会各不相同”.,实例4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 “过马路交叉口时,

3、 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.,实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.,随机现象的特征:,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1 随机试验,随机试验的例子,E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；,E2: 掷两颗骰子，,E3: 记录110报警台一天接到的

4、报警次数；,在区间 上任取一点，记录它的坐标。,E6:,E5: 记录某物理量的测量误差；,E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；,观察出现的点数；,上述试验的特点： 1.试验的可重复性可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体 是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知的。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验， 简称试验。随机试验常用E表示。,13,2 样本空间随机事件,(一)样本空间 定义：随机试验E的所有可能结组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即为E的每个结果，称为样本

5、点,下面分别写出1上述各试验 所对应的样本空间,E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况,E2: 掷两颗骰子，观察出现的点数,E3: 记录110报警台一天接到的报警次数,在区间 上任取一点，记录它的坐标,E6:,E5: 记录某物理量的测量误差,E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命,14,(二) 随机事件 一般我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件， 简称事件.当且仅当这一子集所包含的一个样本点出现时， 称这一事件发生.,S0,1,2,；,例：观察221路公交车西华大学站候车人数，,如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。,记 A至少有10人候车10

6、,11,12, S，,A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。,我们把必然事件和不可能事件看成是随机事件的极端情况，则基本事件、复杂事件、必然事件和不可能事件就是随机事件。,由前面得知： （1）基本事件的全体组成了样本空间； （2）随机事件由若干基本事件构成，它是样本 空间的子集； （3）样本空间就是必然事件，都用表示； （4）空集为不可能事件，都用表示。,B,A,如右图：,A,B,A+B,如图所示:,A,B,如图所示：,AB,A-B,B,A-B,A,B,AB=,A,也称为对偶律,25,“和”、“交”关系式,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹

7、，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,3 频率与概率,1. 理解事件频率的概念，了解概率的定义；,2. 熟练掌握概率的性质；,3. 掌握古典概型的计算。,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？,我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子.,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额

8、.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,(一)频率的定义,频率：,34,* 频率的性质： 且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,抛掷钱币试验记录,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,（二）概率的定义,(三) 概率的性质,(三) 概率的性质,例,例,例,解,得,所求概率为,若某实验E满足： 1.有限性：样本空间含有有限个样本点; 2.等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的，即有 则称E为古典概型也叫等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称

9、为古典概型,4 等可能概型（古典概型）,古典概型中事件概率的计算公式:,根据概率的有限可加性知：,于是,对任意一个随机事件A,如果A是r个基本事件的和，即,则有,P(A)具有如下性质,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),也即,例1: 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概 率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,50,可解析为一个64人的

10、班上，至少有两人在同一天过 生日的概率为99.7%,有许多问题和本例具有相同的数学模型,例如：若取n64，N365,再如 ：一单位有5个员工，一星期共七天，让每位员工独立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的概率。 解：将5为员工看成5个不同的球，7天看成7个不同的盒子，记A= 无2人在同一天休息 ， 则由上例知：,51,例5: (抽签问题) 一袋中有a只红球，b只白球，个人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第i(i=1,2,k)人取到白球（记为事件B）的概率（k=a+b） 解(1)：放回抽样。显然有,52,解（2）不放回抽样,可设想将a+b=n个球进行编号，

11、其中前面a个 为白球,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。,-与k无关,解1：设 第k人取到白球 ，k1,2,a+b,53,解2 将第k次摸到的球号作为一样本点：,原来这不是等可能概型,红色,解3：记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S红色,白色，,55,解： 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.,例8： 某接待站在某一周曾接待12次来访，已知 所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问 是否可以推断接待时间是有规定的?,56,但是：切记：小概率事件是会

12、发生的， 小概率事件一旦发生后果“不堪设想” 比如：中彩票和车祸，人生的大喜大悲呀,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,例1：箱中有同型的7件产品，其中4件正品，3件次品，无放回地取两次，每次取1件。 (1)求第2次取到次品的概率； (2)已知第1次取到的是正品，求第2次取到次品的概率。,解:(1) 设A=“第1次取到的是正品” B=“第2次取到次品”,5 条件概率,(2) 因为已经知道第1次取

13、到正品，所以剩下的6件产品中有3件次品,例2 已知一个人活到60岁的概率为0.8，能活到90岁的概率为0.3。现在一个人已经60岁了，问他能活到90岁的概率 .,解：设A=“一个人能活到60岁” B=“一个人能活到90岁时”,则：B|A=“已活到60岁还能活到90岁”,“条件概率”是“概率”吗？,不难验证，条件概率符合概率定义中的三个条件， (1)非负性；对于每一个事件P(B|A) 0； (2)规范性；对于必然事件S，有P(S|A)1; (3)可列可加性：设B1，B2，, 是一列两两互不相容的事件，则有 P( B1 B2 |A ) P(B1|A) P(B2|A )+. 既然符合，则概率中的一些

14、重要结果都适用于条件概率 例如：,?,62,由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如：,二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时：,二、乘法公式（p16）,设，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). (5.3） 式(5.3）就称为事件A、B的概率乘法公式。,还可推广到三个事件的情形： P（AB）0 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An-1)0 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),例3 袋中有r只红球，t只白球,每次从袋中任取一只，观察颜色后放回，再放入a只与所取球颜色相同的球，若从袋中

15、连续取球4次,求第1、2次取到红球且第3、4次取到白球的概率。,解：设Ai为第i（i=1,2,3,4）次取球时取到红球，则,解： 设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=1,2,3 A= 这人通过考核 ，,65,例4：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,亦可：,66,例5：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与 不相容,（

16、1）若为放回抽样：,（2）若为不放回抽样：,解： 设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2 B=取2张恰是一红一黑,67,三、全概率公式与Bayes公式,定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件。若： 则称B1,B2,Bn为S的一个划分,即：B1,B2,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。,68,定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。 为S的一个划分， 则称：,为全概率公式,证明:,A,70,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为 80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；2) 若已知

17、乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,71,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症则有： 现在对自然人群进行普查，设被试验的人患癌的概率为0.005，即P(C)=0.005，试求,解：已知,由贝叶斯公式,此例说明1000个阳性反应的人中大约有87人确患有癌,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,73,6 独立性,例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设A=第1次取到正品， B=第2次取到正品,不放回抽样时

18、，,放回抽样时，,即放回抽样时，A的发生对B的发生概率不影响 同样，A的发生对B的发生概率不影响,定义1 设A，B是两事件，若,则称事件A与B相互独立.,一、两个事件的独立性,定理一 设A、B是两事件，P(A) 0,若A与B相互独立，则 P(B)P(B|A) 反之亦然,例2：甲、乙二人射击一目标，击中概率分别为0.8和0.9,今个射击一次，求目标被击中的概率。,解：设A=甲击中目标，B=乙击中目标， 则 A+B=目标被击中，且A与B相互独立。 p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB) =0.8+0.9-0.72=0.98,二、多个事件的独立性,注意：前三个等式不能推出第四个等式；这四个等式

19、必须同时满足，才能保证A,B,C相互独立。,1：如果从n个事件相互独立则其中任取k个事件（kn），都相互独立。,2：如果 n个事件相互独立，则其中任意k个事件（kn）换成它们的对立事件仍相互独立。,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的 ，具有等式、 则称n个事件 相互独立。,两个推论,79,例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。,80,例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 ， 问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立,81,总结：,82,第二章 随机变量及其分

20、布,关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,2.1随机变量的概念,定义. 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。,说 明,例1：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正反面 的情况，样本空间是,以X记三次投掷得到正面H的总数，那么，对于样本空间S=e中的每一个样本点e,X都有一个数与之对应。X是定义在样本空间S上的一个实值单值函数，它的定义域在样本空间S上，值域是实值函数集合0,1,2,3.使用函数记号可将X写成,随机变量的取值随随机试验的结果而定，而试验的各个结果出现有

21、一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率.这也显示了随机变量和普通变量有着本质的区别。,例如在例1中X取值为2，记成X=2对应于样本点的集合A=HHT,HTH,THH,这是一个事件，而且当且仅当事件A发生时有X=2 则：,例 盒中有5个乒乓球,其中2个白球，3个黄 球,从中任取3个,记X=“取到白球的个数”则 X是一个随机变量,且X的可能取值是0,1,2,且 有,例 上午 8:009:00 在某路口观察，令 Y：该时间间隔内通过的汽车数则Y 就是一 个随机变量它的取值为 0，1，,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；,表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件,关于

22、随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量 也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样 变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量.,随机变量的分类： 随机变量,对于随机变量，主要介绍常见的两大类： 离散型和连续型随机变量。,定义1 若r.v的所有可能取到值是有限个或可列无限个, 则称这样的r.v为离散型r.v.,对于离散型r.v，主要

23、讨论它的所有可能取值以及取这些值的概率，即概率的分布情况。,2 离散型随机变量及其分布律,上述表中X值应该从小到大，没有重复,反之，具有以上性质的pk，一定可以作为某个离散型随机变量的分布律。,例2 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯禁止汽车通过的概率为p,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律.,同理可求得,1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，1 或,三、三种重要的离散型随机变量,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如

24、新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,例,200 件产品中,有 196 件是正品,则,服从参数为 0.98 的两点分布.,于是,4 件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定,定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重伯努利试验.,2.伯努利试验、二项分布,100,例： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，,2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验只有两个结果：,3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌 则每次只有两个结果：,设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，,二项

25、分布的图形特点:,例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽取20只,问20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率为多少？,记X为20只元件中一级品的只数,解,106,例4： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,107,三、Poisson 分布,若r.v.X的分布律为:,则称X服

26、从参数为的泊淞(Poisson)分布记为 XP(),例如：一本书一页中印刷的错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数，车流量，车站单位时间内到达的乘客数，商店的顾客等都服从poisson分布,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X服从泊松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的

27、电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，x是任意实数，函数 F(x)P Xx. 记为F(x)，即称为随机变量X的分布函数,0,x,x,X,几何定义：,对于任意实数,因此，若已知变量的分布函数，我们就知道变量落在任意区间上的概率，从这个意义上说，分布函数完整的描述了随机变量的统计规律.,分布函数的性质,(1),(3) F(x) 右连续，即,(2)对任意实数x，0F(x)1，且,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.,上题

28、分布函数的图形为：,其分布函数为,即，,一般的，对离散型随机变量,例,判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?,(2),不可能是分布函数.,所以,解,1. 概率密度定义 对于随机变量X的分布函数F(x)，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.,4 连续型随机变量及其概率密度,分布函数与密度函数几何意义,2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0，(-x)； (2)归一性,反之，满足以上两条性质的函数p(x)就可以作为某个连续型RV.的概率密度。,（3） 对任意实数 ，,127,与物理学中的质

29、量线密度的定义相类似,注：连续r.v.在任何一点的概率都为0, 但它不是不可能事件,三种重要的概率分布： 均匀分布、指数分布、正态分布.,1、均匀分布,例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站

30、。为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,（二）指数分布 定义：设X的概率密度为 其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。,指数分布的概率密度和分布函数图像如下,服从指数分布的随机变量X通常可解释为某种寿命,如果已知寿命长于S年,则再活t年的概率与年龄S无关,亦称指数分布具有“无记忆性” .,见P45,140,（三）正态分布,定义：X的概率密度为,其中,为常数，,称X服从参数为,的正态分布,或(Gauss分布),记为,可以验算：,正态概率密度函数的几何特征,正态分布的分布函数,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分

31、布的分布函数表示为,标准正态分布,标准正态分布的图形,标准正态分布具有如下特点,标准正态分布具有如下特点,例1,= 0.7517,= 1-0.9591= 0.0409,= 0.8925,= 2*0.975-1= 0.95,= 0.9591-1+0.7517= 0.7108,= 2*(1-0.9671)= 0.0658,一般正态分布与标准正态分布的关系,一般正态随机变量 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,（1）一般正态随机变量与标准正态随机变量的分布函数之间的关系,引理：若 ，则,证明：,令 ，得到,由此知：,（2）一般正态随机变量与标准正态随机变量之间 的关系,例,= 2*0.8

32、413-1= 0.6826,= 2*0.97725-1= 0.9544,= 2*0.99865-1= 0.9974,事件的发生几乎是必然的,服从正态分布 的随机变量X 落在区间 内的概率为0.9974，落在该区间外的概率只有0.0026.也就是说,X几乎不可能在区间 之外取值。,由3 原则知，,例,设,解 （1）,例,设,定义,设 ，,u,（查表）,为应用方便，下面引入标准正态分布分位数的概念：,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误 差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生 产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正 态分布.(第五章我们将进一步研究正态分布的重要性)

33、,正态分布的应用与背景,已知圆轴截面直径 d 的分布，,求截面面积 A= 的分布.,5 随机变量的函数的分布,分别就离散型随机变量和连续型随机变量进行讨论,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解,例1,二、离散型随机变量函数的分布,故 Y 的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.,离散型随机变量的函数的分布,Y 的分布律为,解,第一步 先求Y=2X+8 的分布函数,解,三、连续型随机变量函数的分布,解,例2,第二步 由分布函数求概率密度.,例3.,167,由此归纳出连续型随机变量函数的分布的一般求法.,注：连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,关键是找出等价事件。,下面我们仅对 ,其中是严格单调函数的 情况，写出一般的结果,169,170,合并(5.3)和(5.4)两式，(5.2)得证,注,证明,X 的概率密度为,例5,特别，在上例中取 得,上例说明服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布,这就是上一节引理的结论.,例5,解,由（5.2）式得 的概率密度为,若在上题中， ，因为此时 不单调，上述定理失效，应该用例3的方法来做.,