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1、,第一节 平面向量的概念及其线性运算,若把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，它们的终点组成什么图形？ 提示:以所给点为圆心，以1为半径的圆.,1.下列命题正确的是( ) (A) 与 共线， 与 共线，则 与 也共线 (B)任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 (C) 与 不共线，则 与 都是非零向量 (D)有相同起点的两个非零向量不平行,【解析】选C.由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即
2、可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否 命题入手考虑，假若 与 不都是非零向量，即 与 至少 有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有 与 共线，所以应选C.,2.已知O、A、B是平面上的三点,直线AB上有一点C,满足 则 等于( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.根据向量加法的平行四边形法则，,3. 是A、B、C为三角形三个顶点的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选B.若点A、B、C共线，则不是三角形，反之，若是三角形，则有,4.若 =“向东走8 km”，
3、 =“向北走8 km”，则 | + |=_； + 的方向是_. 【解析】根据向量加法的几何意义，| + |表示以8 km为 边长的正方形的对角线长，| + |= km + 的方向是东北方向. 答案： km 东北方向,5.已知3 +4 = ,2 -3 = ，其中 , 为已知向量，则向 量 =_， =_. 【解析】由已知得6 +8 =2 ，6 -9 =3 ， 两式相减，化简得 代入上面的任一式得 答案:,1.数学中研究的向量是自由向量 两个向量只要它们的模相等、方向相同，它们就是相等向量，而与它们的起点在哪里没有关系.这就为我们应用向量带来方便，可以任意选取有向线段的起点，可以把向量自由平移等.,
4、2向量的线性运算规律 向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行.加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”，用字母表示的向量进行线性运算时可以类比多项式加法和数乘多项式进行.,3共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“ ”，否则可能不存在，也可能有无数个. (2)应用共线向量定理时注意待定系数法和方程思想的运用. (3)利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意强调平面中这些元素的位置关系.,向量的概念 【例1】判断下列各命题是否正确. (1)零向量没有方向； (2)若| |=| |,则 = ； (3)单位向量都相
5、等； (4)向量就是有向线段； (5)两相等向量若共起点,则终点也相同； (6)若 = ， = ，则 = ； (7)若四边形ABCD是平行四边形,则 (8) = 的充要条件是| |=| |且 .,1,【审题指导】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确. 【自主解答】(1)不正确，零向量的方向任意；(2)不正确， = 说明它们的模相等,但 与 的方向不一定相 同，所以 与 不一定相等；(3)不正确，单位向量的模均 为1,方向任意；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形,式；(5)正确；(6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确, 如图 (8)不正确，当 且方向相反时，即使 也不能得到,【规
6、律方法】涉及平面向量的有关概念命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.,【变式训练】给出下列命题: (1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. (3) = (为实数),则必为零. (4),为实数,若 = ，则 与 共线. 其中错误命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点. (2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. (3)错误.当 = 时,不论为何值
7、, = . (4)错误.当=0时, = ,此时, 与 可以是任意向量.,向量的线性运算 【例2】(2010四川高考改编)设点M是线段BC的中点，点A 在直线BC外， 则 =( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 【审题指导】本题关键是从题中条件找出隐含的条件 进而利用向量加减法的几何意义和模的概念 求解.,2,【自主解答】选C.,【规律方法】三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；当M为BC中点时， 应作为公式记住.,【互动探究】试判断本例中ABC的形状. 【解析】设计算 时的平行四边形为 ACDB,则由 知平行四边形为矩形，
8、 ACAB，故ABC为直角三角形.,【变式训练】设P是ABC所在平面内的一点， 则( ) 【解析】选B.因为 所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.,【例】如图，两块斜边长相等的直 角三角板拼在一起，且其中一个三 角板ABC为等腰直角三角形，另一个 三角板DBE中DEB=30,若 则用 , 表示 【审题指导】本题中两个三角形的关系比较密切，充分利用边角的关系及向量的知识解决即可.,【规范解答】如图，作DFAB交AB延长线于F点， 不妨设 则BC=DE= 又DEB=30,BD= 又DBF=45, FD=BF=,【规律方法】在平面图形中进行向量的运算时，要充分利用平面几何的有关知识，注意图形中的
9、线段是如何转化为向量的.,【变式备选】若 则AOB平分线上的向量 为( ),【解析】选B. 分别为 方向上的单位向量， 是以 为一组邻边的平行四边形过O点的一 条对角线，而此平行四边形为菱形，故 在AOB平 分线上，但AOB平分线上的向量 终点的位置由 决定.,共线向量定理的应用 【例3】设两个非零向量 与 不共线， (1)若 求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使 共线.,3,【审题指导】证明(1)时，可以考虑证明 共线，再说 明它们有一个公共点.解答(2)时，利用共线向量定理设出使 成立的实数，利用方程思想求k.,【自主解答】(1) 又它们有公共点B， A、B、D三点共线.,
10、、 是不共线的两个非零向量， k-=k-1=0， k2-1=0. k=1.,【规律方法】共线向量定理的条件和结论是充要条件，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数. 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点. 提醒：若 ， 是两个不共线的非零向量，则 的充要条件是=0.这一结论结合待定系数法应用非常广泛.,【变式训练】设 ， 是两个不共线向量，若 与 起点相同，tR，t为何值时， 三向量的终点在一条直线上？,【解析】 化简整理得： 与 不共线， 故 三向量的终点在一条直线上,平面几何知识应用不熟练 【典例】(2010湖北高考)已知ABC和点M满足 若存在实数m使得 成立， 则m=( )
11、 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【审题指导】利用 判断M的位置，再利用向量加法的平行四边形法则求m.,【规范解答】选B.设D为BC中点，由 得 D、M、A三点共线且M为AD的靠近D的三等分点，,【误区警示】解答本题易出现两点错误： 一是有两向量的和时想不到利用平行四边形法则， 二是共线向量定理应用不熟练，无法确定M的位置，导致最终无法求解. 解答本类题易犯的错误： 1.对平面图形中特殊的点、线段等的性质记忆不准确、不牢固. 2.向量关系式反映的平面图形的性质应用错误.,【变式训练】在正ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足 则PQR的面积与ABC的面积之比为( ) (A)12 (B)
12、13 (C)14 (D)15,【解析】选B.由 即 P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置， PQR的面积为ABC的面积减去三个小三角形面积，所以所求面积比为,1.(2011沈阳模拟)ABC中，向量 所在直线 ( ) (A)垂直于BC (B)平分BC边 (C)过ABC的内心 (D) 过ABC的外心,【解析】选C. 都是单位向量，由向量加法的平行四边形法则， 是一菱形的对角线的对应向量，必平分BAC. 所在直线必过ABC的内心.,2.(2011揭阳模拟)已知点O为ABC外接圆的圆心，且 则ABC的内角A等于( ) (A)30 (B)60 (C)90 (D)120 【解析】选A.由 由O
13、为 ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形 OACB为菱形，且CAO=60，故选A.,【解析】,4.(2011黄石模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 设向量 若 且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确 的是( ),【解析】选A.当=时，C点在对角线上任一位置均可，排除B、C.当=0时，C点在边OB上，排除D.,一、选择题(每小题4分，共20分) 1.(2011潍坊模拟)在四边形ABCD中， 且 那么四边形ABCD为( ) (A)平行四边形 (B)菱形 (C)长方形 (D)正方形 【解析】选B.由 知四边形ABCD为平行四边形且邻边相等,四边形ABCD为菱形.,2.已知向
14、量 其中 均为非零向量，则| |的取值范围是( ) (A)0, (B)0,1 (C)(0,2 (D)0,2 【解析】选D.由已知向量 是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，| |max=2，当这两个单位向量反向时， | |min=0.,3.(2011东城模拟)对于非零向量 是“ ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选A.“ +2 = ” “ ”，但“ ” “ +2 = ”，所以“ +2 = ”是“ ”的充分不必要条件.,【解析】,【解析】,二、填空题(每小题4分，共12分) 6.已知 且| |=| |=2，AOB=6
15、0，则 | + |=_. 【解题提示】先利用题目条件判断图形的形状，再求解. 【解析】由已知，以| |、| |为邻边的平行四边形是边长为2的菱形，| + |表示该菱形的较长对角线长， | + |= 答案：,7.(2011中山模拟)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足 则用 表示 =_. 【解析】 A为线段CB的中点. 答案：,8设O是ABC内部一点，且 则AOB与AOC的面积的比值为_. 【解题提示】先由条件判定O点的位置，再求面积比. 【解析】由已知，O为ABC的边AC上的中线的中点，AOB与AOC的面积的比值为 答案：,三、解答题(每小题9分，共18分) 9.如图所示，ABC中， DEBC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设 用 分别表示向量,【解析】,【解题提示】利用共线向量定理证明和求解.,【解析】,【探究创新】 (10分)证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍. 【解题提示】设ABC的重心为G,证明 【证明】如图，设,【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧 平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛： 利用共线向量定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形； 利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积. 在后续内容中，向量的应用将更广泛.,Thank you!,