1、2021年高考数学压轴题100题精选含答案一、立体几何多选题1如图,在棱长为2的正方体中,为边的中点,下列结论正确的有( )A与所成角的余弦值为B过三点、的正方体的截面面积为C四面体的内切球的表面积为D正方体中,点在底面(所在的平面)上运动并且使,那么点的轨迹是椭圆【答案】AB【分析】构建空间直角坐标系,由异面直线方向向量的夹角为与所成角的余弦值判断A的正误;同样设结合向量夹角的坐标表示,且由等角的余弦值相等可得,进而判断P的轨迹知D的正误;由立方体的截面为梯形,分别求,进而得到梯形的高即可求面积,判断B的正误;由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r,进而求内切球表面积,判断
2、C的正误.【详解】A:构建如下图所示的空间直角坐标系:则有:,故正确.B:若N为的中点,连接MN,则有,如下图示,梯形AMND为过三点、的正方体的截面,而,可得梯形的高为,梯形的面积为,故正确.C:如下图知:四面体的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积,而四面体的棱长都为,有表面积为,若其内切圆半径为,则有,即,所以内切球的表面积为.故错误.D:正方体中,点在底面(所在的平面)上运动且,即的轨迹为面截以AM、AP为母线,AC为轴的圆锥体侧面所得曲线,如下图曲线,构建如下空间直角坐标系,若,则, ,即,整理得,即轨迹为双曲线的一支,故错误.故选:AB【点睛】关键点点睛:应用向量的坐标表示求异面直
3、线的夹角,并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹,综合立方体的性质求截面面积,分割几何体应用等体积法求内切球半径,进而求内切球的表面积.2如图所示,正三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,其中AB8,把ADE沿着DE翻折至ADE位置,使得二面角A-DE-B为60,则下列选项中正确的是( )A点A到平面BCED的距离为3B直线AD与直线CE所成的角的余弦值为CADBDD四棱锥A-BCED的外接球半径为【答案】ABD【分析】作AMDE,交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AN.利用线面垂直的判定定理判定CD平面AMN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面B
4、CED的高AH,并根据二面角的平面角,在直角三角形中计算求得AH的值,从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到ADN就是直线AD与CE所成的角,利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A-BCED的外接球的球心为O,则ON平面BCED,且OA=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示,作AMDE,交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AN.则AMDE,MNDE, ,MN=M,CD平面AMN,又CD平面ABDC,平面AMN平面ABDC,在平面AMN中作AHMN,则AH平面BCED,二面角A-DE
5、B为60,AEF=60,正三角形ABC中,AB=8,AN=,AM=2,AH=AMsin60=3,故A正确;连接DN,易得DNEC,DN=EC=4,ADN就是直线AD与CE所成的角,DN=DA=4,AN=AM=2,cosADN=,故B正确;AD=DB=4,AB=,AD与BD不垂直,故C错误易得NB=NC=ND=NG=4,N为底面梯形BCED的外接圆的圆心,设四棱锥A-BCED的外接球的球心为O,则ON平面BCED,且OA=OC,若O在平面BCED上方,入图所示:设ON=x,外接球的半径为R,过O作AH的垂线,垂足为P,则HP=x,易得,解得,舍去;故O在平面BCED下方,如图所示:设ON=x,
6、外接球的半径为R,过O作AH的垂线,垂足为P,则HP=x,易得, 解得,故D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题,涉及二面角问题,异面直线所成的角,用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算,余弦定理等,属综合性较强的题目,关键是利用线面垂直,面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定,注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3在棱长为1的正方体中,P为底面ABCD内(含边界)一点( )A若,则满足条件的P点有且只有一个B若,则点P的轨迹是一段圆弧C若平面,则长的最小值为D若且平面,则平面截正方体外接球所得截面的面积为【答案】ABD【分析】选项A,
7、B可利用球的截面小圆的半径来判断;由平面平面,知满足平面的点P在BD上,长的最大值为;结合以上条件点P与B或D重合,利用,求出,进而求出面积.【详解】对A选项,如下图:由,知点P在以为球心,半径为的球上,又因为P在底面ABCD内(含边界),底面截球可得一个小圆,由底面ABCD,知点P的轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧,半径为,则只有唯一一点C满足,故A正确;对B选项,同理可得点P在以A为圆心,半径为的小圆圆弧上,在底面ABCD内(含边界)中,可得点P轨迹为四分之一圆弧.故B正确;对C选项,移动点P可得两相交的动直线与平面平行,则点P必在过且与平面平行的平面内,由平面平面,知满足平面的点P在B
8、D上,则长的最大值为,则C不正确;对选项D,由以上推理可知,点P既在以A为圆心,半径为1的小圆圆弧上,又在线段BD上,即与B或D重合,不妨取点B,则平面截正方体外接球所得截面为的外接圆,利用.故D正确.故选:ABD【点睛】(1)平面截球所得截面为圆面,且满足(其中为球半径,为小圆半径,为球心到小圆距离);(2)过定点A的动直线平行一平面,则这些动直线都在过A且与平行的平面内.4如图,在棱长为2的正方体,中,为棱上的中点,为棱上的点,且满足,点,为过三点,的平面与正方体的棱的交点,则下列说法正确的是( )AB三棱锥的体积C直线与平面所成的角为D【答案】ABD【分析】面面平行性质定理可得出A正确;
9、等体积法求得B正确;直线与平面所成的角为,求其正切值不等于1即可得出C错误;利用面面平行性质定理和中位线求出长度即可得出D正确.【详解】解:对于A.在正方体中平面平面,又平面平面,平面平面,有平面与平面平行的性质定理可得,故正确;对于B.因为,所以,又为棱上的中点,所以,所以,故正确;对于C.由题意及图形可判定直线与平面所成的角为,结合B选项可得,故错误;对于D.同A选项证明方法一样可证的,因为为棱上的中点,为棱上的中点,所以所以,所以,故正确.故选:ABD【点睛】求体积的常用方法:(1)直接法:对于规则的几何体,利用相关公式直接计算;(2)等体积法:选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱
10、锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换;(3)割补法:首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算.5已知正方体的棱长为2,点O为的中点,若以O为球心,为半径的球面与正方体的棱有四个交点E,F,G,H,则下列结论正确的是( )A平面B平面C与平面所成的角的大小为45D平面将正方体分成两部分的体积的比为【答案】ACD【分析】如图,计算可得分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否,计算出直线与平面所成的角为后可得C正确,而几何体为三棱柱,利用公
11、式可求其体积,从而可判断D正确与否.【详解】如图,连接,则,故棱与球面没有交点.同理,棱与球面没有交点.因为棱与棱之间的距离为,故棱与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而,球面与正方体的棱有四个交点E,F,G,H,所以棱与球面各有一个交点, 如图各记为.因为为直角三角形,故,故为棱的中点.同理分别为棱的中点.由正方形、为所在棱的中点可得,同理,故,故共面.由正方体可得,故因为平面,平面,故平面,故A正确.因为在直角三角中, ,与不垂直,故与不垂直,故平面不成立,故B错误.由正方体可得平面,而平面,所以,所以在正方形中,因为分别为的中点,故,因为,故平面,所以为直线与平面所成的角,而,故直线与
12、平面所成的角为,因为,故与平面所成的角的大小为45.故C正确.因为分别为所在棱的中点,故几何体为三棱柱,其体积为,而正方体的体积为8,故平面将正方体分成两部分的体积的比为,故D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.6已知正方体棱长为,如图,为上的动点,平面.下面说法正确的是()A直线与平面所成角的正弦值范围为B点与点重合时,平面截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大C点为的中点时,若平面经过点,则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D已知为中点,当的和最小时,为的中点【答案】AC【分析】以点
13、为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断A选项的正误;证明出平面,分别取棱、的中点、,比较和六边形的周长和面积的大小,可判断B选项的正误;利用空间向量法找出平面与棱、的交点、,判断四边形的形状可判断C选项的正误;将矩形与矩形延展为一个平面,利用、三点共线得知最短,利用平行线分线段成比例定理求得,可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,则点、设点,平面,则为平面的一个法向量,且,所以,直线与平面所成角的正弦值范围为,A选项正确;对于B选项,当与重合时,连接、,在正方体中,平面,平面,四边形是正方形,则,平面,
14、平面,同理可证,平面,易知是边长为的等边三角形,其面积为,周长为.设、分别为棱、的中点,易知六边形是边长为的正六边形,且平面平面,正六边形的周长为,面积为,则的面积小于正六边形的面积,它们的周长相等,B选项错误;对于C选项,设平面交棱于点,点,平面,平面,即,得,所以,点为棱的中点,同理可知,点为棱的中点,则,而,且,由空间中两点间的距离公式可得,所以,四边形为等腰梯形,C选项正确;对于D选项,将矩形与矩形延展为一个平面,如下图所示:若最短,则、三点共线,所以,点不是棱的中点,D选项错误.故选:AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值
15、问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.7已知棱长为1的正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,以下结论正确的是( )A四边形不一定是平行四边形B平面分正方体所得两部分的体积相等C平面与平面不可能垂直D四边形面积的最大值为【答案】BD【分析】由平行平面的性质可判断A错误;利用正方体的对称性可判断B正确;当为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C错误;当与重合,与重合时,四边形的面积最大,且最大值为,可判断D正确.【详解】如图所示,对于选项A,因为平面,平面平面,平面平面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形,故A错误;对于选项B,由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积
16、相等,故B正确;对于选项C,在正方体中,有,又,所以平面,当分别为棱的中点时,有,则平面,又因为平面,所以平面平面,故C错误;对于选项D,四边形在平面内的投影是正方形,当与重合,与重合时,四边形的面积有最大值,此时,故D正确;故选:BD.【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.8如图,点是正四面体底面的中心,过点的直线交,于点,是棱上的点,平面与棱的延长线相交于点,与棱的延长线相交于点,则( )A若平面,则B存在点S与直线MN,使平面C存在点与直线,使D是常数【答案】ABD【分析】对于选项A,根据线面平行的性质定理,进行推理判断即可;对于选项
17、B,当直线平行于直线, 时,通过线面垂直的判定定理,证明此时平面,即可证明,存在点S与直线MN,使平面;对于选项C,假设存在点与直线,使,利用线面垂直的判定定理可证得平面,此时通过反证法说明矛盾性,即可判断;对于选项D,利用,即可求得是常数.【详解】对于选项A,若平面,平面与棱的延长线相交于点,与棱的延长线相交于点,平面平面,又平面,平面,点在面上,过点的直线交,于点,平面,又平面,平面平面,故A正确;对于选项B,当直线平行于直线,为线段上靠近的三等分点,即,此时平面,以下给出证明:在正四面体中,设各棱长为,均为正三角形,点为的中心,由正三角形中的性质,易得,在中,由余弦定理得,则,同理,又,
18、平面,平面,平面,存在点S与直线MN,使平面,故B正确;对于选项C,假设存在点与直线,使,设中点为,则,即,又易知与为相交直线,与均在平面上,平面,即平面,与正四面体相矛盾,所以假设不成立,故C错误;对于选项D,易知点到面,面,面的距离相等,记为,记与平面所处角的平面角为,为常数,则也为常数,则点到的距离为,又 ,又,为常数,故D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理,考查了三棱锥体积的计算,考查了向量的运算,考查了转化能力与探究能力,属于较难题.9如图,正三棱柱中,、点为中点,点为四边形内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )AB若平面,则动点的轨迹
19、的长度等于C异面直线与,所成角的余弦值为D若点到平面的距离等于,则动点的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案.【详解】解析:对于选项A,选项A错误;对于选项B,过点作的平行线交于点以为坐标原点,分别为轴的正方向建立空间直角坐标系设棱柱底面边长为,侧棱长为,则,所以,即,解得因为平面,则动点的轨迹的长度等于选项B正确对于选项C,在选项A的基础上,所以,因为,所以异面直线所成角的余弦值为,选项C正确对于选项D,设点E在底面ABC的射影为,作垂直于,垂足为F,若点E到平面的距离等于,即有,又因为在中,得,其中等
20、于点E到直线的距离,故点E满足抛物线的定义,另外点E为四边形内(包含边界)的动点,所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确. 故选:BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应用.10半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则( )ABF平面EABB该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的表面积为8DPN与平面EBFN所成角的正弦值为【答案】
21、BCD【分析】用反证法判断;先补齐八个角成正方体,再计算体积判断;先找到球心与半径,再计算表面积判断;先找到直线与平面所成角,再求正弦值判断【详解】解:对于,假设对,即平面,于是,但六边形为正六边形,矛盾,所以错;对于,补齐八个角构成棱长为2的正方体,则该二十四等边体的体积为,所以对;对于,取正方形对角线交点,即为该二十四等边体外接球的球心,其半径为,其表面积为,所以对;对于,因为在平面内射影为,所以与平面所成角即为,其正弦值为,所以对故选:【点睛】本题考查了正方体的性质,考查了直线与平面所成角问题,考查了球的体积与表面积计算问题1(本小题满分 14 分)如图,设抛物线C : y = x 2
22、的焦点为 F,动点 P 在直线l : x - y - 2 = 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.(1)求APB 的重心 G 的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.解:(1)设切点 A、B 坐标分别为(x, x 2 )和(x , x 2 )(x x ) ,01110切线 AP 的方程为: 2x0 x - y - x = 0;02切线 BP 的方程为: 2x x - y - x 2 = 0;114(2n - 1)31(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点
23、求这三条曲线的方程;()已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.解:()设抛物线方程为,将代入方程得(1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为(2分)对于椭圆,(4分)对于双曲线,(6分)()设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为令(7分)(12分)2(14分)已知正项数列中,点在抛物线上;数列中,点在过点,以方向向量为的直线上.()求数列的通项公式;()若,问是否存在,使成立,若存在,求出值;若不存在,说明理由;()对任意正整数,不等式成立,求正数的取值范围.解:()将点代入中得(4分)()(
24、5分)(8分)()由(14分)3.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以, 点M的轨迹C的方程为.(4分)(2)设点, , 点N的坐标为,当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; (5分)设直线l: 由消去x, 得(6分),点N的坐标为.(8分)若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 舍去)
25、 由方程得又.(10分)若, 由得点N的坐标为, 射线ON方程为: ,由 解得 点E的坐标为.综上, 的充要条件是.(12分)4.(本小题满分14分)已知函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3)
26、 , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)5(12分)、是椭圆的左、右焦点,是椭圆的右准线,点,过点的直线交椭圆于、两点.当时,求的面积;当时,求的大小;求的最大值.解:(1)(2)因,则设 ,当时,6(14分)已知数列中,当时,其前项和满足,求的表达式及的值;求数列的通项公式;设,求证:当且时,.解:(1)所以是等差数列.则.(2)当时,综上,.(3)令,当时,有 (1)法1:等价于求证.当时,令,则在递增.又,所以即.法(2) (2) (3)因,所以由(1)(3)(4)知.法3:令,则所以因则,所以
27、 (5)由(1)(2)(5)知7 (本小题满分14分)第21题设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明:无论P点在什么位置,总有|2 = | ( O为坐标原点);(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;解:(1) 设OP:y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得:= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2
28、 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上,b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置,总有|2 = | . 4分(2)由条件得:= 4ab, 2分即k2 = 0 , 4b a, 得e 2分1. (本小题满分12分)已知常数a 0, n为正整数,f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性,并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n a时
29、 有:(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |,所以p( x)不满足题设条件.(2)分三种情况讨论:10. 若u ,v 1,0,则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |,满足题设条件;20. 若u ,v 0,1, 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|=
30、 |v u|,满足题设条件;30. 若u1,0,v0,1,则: |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|,满足题设条件;40 若u0,1,v1,0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x 1)的图象上,且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证:| ac | 4;(2) 求证:在(1,+)上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c |
31、 ) 1.证:(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 , c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 x1 x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1时,f ( x )单调递增.(3)(仅理科做)f ( x )在x 1时单调递增,| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) =
32、 +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4(本小题满分15分)设定义在R上的函数(其中R,i=0,1,2,3,4),当x= 1时,f (x)取得极大值,并且函数y=f (x+1)的图象关于点(1,0)对称求f (x)的表达式;试在函数f (x)的图象上求两点,使这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间上;若,求证:解:(1)5分 (2)或10分 (3)用导数求最值,可证得15分5(本小题满分13分)设M是椭圆上的一点,P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点,N为椭圆C上异于M的另一点,且MNMQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点
33、E的轨迹方程解:设点的坐标则1分 3分 由(1)(2)可得6分 又MNMQ,所以 直线QN的方程为,又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.13分6(本小题满分12分)过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点F(0,1),是否存在实数使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.解法(一):(1)设由得:3分直线PA的方程是:即 同理,直线PB的方程是: 由得:点P的轨迹方程是6分(2)由(1)得: 10分所以故存在=1使得12分解法(二):(1)直线PA、PB与抛物线相切,且直线PA、PB的斜率均存在且不为0
34、且设PA的直线方程是由得:即3分即直线PA的方程是:同理可得直线PB的方程是:由得:故点P的轨迹方程是6分(2)由(1)得:10分故存在=1使得12分7(本小题满分14分)设函数在上是增函数.求正实数的取值范围;设,求证:解:(1)对恒成立,对恒成立又 为所求.4分(2)取,一方面,由(1)知在上是增函数,即8分另一方面,设函数在上是增函数且在处连续,又当时, 即综上所述,14分8(本小题满分12分)如图,直角坐标系中,一直角三角形,、在轴上且关于原点对称,在边上,的周长为12若一双曲线以、为焦点,且经过、两点(1) 求双曲线的方程;(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双
35、曲线顶点的两点、,且,问在轴上是否存在定点,使?若存在,求出所有这样定点的坐标;若不存在,请说明理由解:(1) 设双曲线的方程为,则由,得,即(3分)解之得,双曲线的方程为(5分)(2) 设在轴上存在定点,使设直线的方程为,由,得即(6分),即(8分)把代入,得(9分)把代入并整理得其中且,即且 (10分)代入,得 ,化简得 当时,上式恒成立因此,在轴上存在定点,使(12分)9(本小题满分14分)已知数列各项均不为0,其前项和为,且对任意都有(为大于1的常数),记(1) 求;(2) 试比较与的大小();(3) 求证:,()解:(1) ,得,即(3分)在中令,可得是首项为,公比为的等比数列,(4
36、分)(2) 由(1)可得,(5分)而,且,()(8分)(3) 由(2)知 ,()当时,(10分)(当且仅当时取等号)另一方面,当,时,(当且仅当时取等号)(13分)(当且仅当时取等号)综上所述,()(14分)1(本小题满分14分)已知椭圆的左、右焦点分别是F1(c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足 ()设为点P的横坐标,证明; ()求点T的轨迹C的方程; ()试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M, 使F1MF2的面积S=若存在,求F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程
37、和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.()证法一:设点P的坐标为由P在椭圆上,得由,所以 3分证法二:设点P的坐标为记则由证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得,即由,所以3分()解法一:设点T的坐标为 当时,点(,0)和点(,0)在轨迹上.当|时,由,得.又,所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中,所以有综上所述,点T的轨迹C的方程是7分解法二:设点T的坐标为 当时,点(,0)和点(,0)在轨迹上.当|时,由,得.又,所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为(),则因此 由得 将代入,可得综上所述,点T的轨迹C的方程是7分 ()解法一:C上存在点M()使S=的充要条件是