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1、第二章 微积分的直接基础极限,第一节 数列极限,主要内容： 数列及数列极限的概念,早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想，公元前3世纪，我国的庄子就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼茨（Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步. 经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极限”是微
2、积分的基础.,阿基里斯追龟,一位古希腊学者芝诺（Zenon，约公元前496 约前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！,假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！,让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里
3、斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 10，1，0.1，0.01，102n， 这称为数列，an 102n 为通项，数列常简记为 an . 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为,所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！,第一天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,第二天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,第三天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,第四天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取
4、其半，万世不竭.,这样可以看出第n 天剩的长度为：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,于是得到了数列:,当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0. 再看一下整个过程.,举例:,这个数列的通项是:,这个数列的通项是:,数列极限的定义(定性描述):,若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列发散.,也称该数列收敛.,这个定义是在运动观点的基础上凭借几 何图像,直觉用自然语言作出的定性描述.,注： 中各项均为相同的数（常数) 1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值，每项都是1，因此该数列的极限是 1., 2, 4, 6, , 2n, , 1, 1, ,1, 1,这个数列的通项是:,这
5、个数列的通项是:,数列有以下几种变化趋势:,数列的变化 趋势,下面我们直观地看一下极限的定义,在数学中一定要力避几何直观可能带来的错 误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念， 必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式 化的数学语言表达的，超现实原型的理想化的 定量描述.,当 n 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么 小)，总存在着相应正整数N，使得满足nN的 一切n，,End,注：,该数列有一定的发展趋势趋向于无穷大，并不收敛，所以 2n 无极限.为叙述方便，可以说 2n 的极限是+.,因为n 时，2n 逐渐变得无穷大，并不趋近于 某个常数.但由于2n 的变化趋势是逐渐增大的， 所以又可认为该数列趋于无穷大.即,Back,