一维插值方法ppt课件.ppt

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1、1,第5章 数值逼近模型,5.1节 一维插值方法,2,数值逼近,泛指数学计算问题的近似解法。 狭义的理解则专指对函数的逼近,即对于给定的较广泛的函数类F中的函数=(x),从较小的子类H中寻求在某种意义下的一个近似函数h(x)，以便于计算和处理。 切比雪夫和威尔斯特拉斯曾于19世纪中后期做了奠基性工作。,3,数值逼近,函数逼近的主要内容有，对于某些特定的被逼近函数类F与逼近函数类H，讨论逼近的可能性，最佳逼近的存在性、特征、惟一性、误差估计以及算法等。 它是现代数值分析的基本组成部分，除自身具有独立学科分支的意义外，还可用于构造数值积分、求函数零点、解微分方程和积分方程的近似方法。,4,5.1.

2、1 引言,5,5.1.1 引言,6,下一个数是几？,8 15 10 13 12 11 10 ( ) ( )找规律填数? 浏览次数：1190次悬赏分：10 | 解决时间：2008-2-4 17:02 | 提问者：kardon100 找规律填数,小学二年级问题,求解!问题补充： 请把规律写下吧!,8 15 10 13 12 11 10 ( 13) ( ) 8+15=10+13=12+11=10+13=23 所以第1空为13 所以第2空为8,题目有误吧,后一个10应为14 第1.3.5.7.9等单数位依次加2 第2.4.6.8等双数位依次减2,7,下一个数是几？,找规律说出下一个数是什么并说明理由：

3、1、2、10、42 浏览次数：461次悬赏分：5 | 提问时间：2010-6-3 19:51 | 提问者：_迷糊丫頭 答案：A：422 B：420 C 6 D 3,推荐答案 是几都对， 这种找规律的题就是垃圾题，没有讨论的价值 下面说明为啥是几都对 因为题目中已知的项一共有4个，所以 构造函数f(n)=a1 n4+a2 n3+a3 n2+a4 n+a5 a1,a2,a3,a4,a5都是待确定的常数,8,按题意带入 f(1)=1 f(2)=2 f(3)=10 f(4)=42 f(5)=?问号代表A,B,C,D选项中的任意一个 然后这5个式子组成了一个5元一次方程组 解这个方程组就可以知道a1,a

4、2,a3,a4,a5的值 对于A,B,C,D的每个选项都有一组a1,a2,a3,a4,a5和它对应 所以说A,B,C,D都对,下一个数是几？,9,5.1.1 引言,10,5.1.2 多项式插值,11,5.1.2 多项式插值,12,5.1.2 多项式插值,13,5.1.2 多项式插值,14,5.1.2 多项式插值,15,5.1.2 多项式插值,1线性插值 线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式 P1(x) = ax + b 使它满足条件 P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y

5、1 其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。,16,1线性插值,由解析几何，过两点A、B的直线方程可写为： （点斜式） 或改写成 （对称式） 容易验证，P1(x)就是所求的一次多项式，称为f(x)的线性插值多项式。,17,1线性插值,再研究对称式的结构。记 则前式可写为 由于,18,1线性插值,因此，l0 (x)与l1 (x)分别是适合函数表 和 的插值多项式。这两个插值多项式称作以x0, x1为结点的基本插值多项式。 上式说明，满足条件的一次插值多项式y = P1 (x)可以由两个基本插值多项式l0 (x)与l1 (x)的线性组合来表示。,19,拉格朗日插

6、值公式,设连续函数y = f(x)在a, b上对给定n + 1个不同结点： x0, x1, , xn 分别取函数值 y0, y1, , yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2, n 试构造一个次数不超过n的插值多项式 使之满足条件 i = 0, 1, 2, n,20,拉格朗日插值公式,类似地，同构造线性插值的方法，先求n次多项式lk (x) k = 0, 1, n，使 若作出这样的多项式lk(x)，则Pn(x)的次数n，另外，由上式，对i = 0, 1, 2, n 即Pn(x)满足插值条件。于是问题归结为具体求出基本插值多项式lk(x)。,21,拉格朗日插值公式,根据基性质

7、，xk以外所有的结点都是lk (x)的根，因此令 又由lk (xk) = 1，得：,22,拉格朗日插值公式,所以有： 即得Pn (x)的表达式 上式称为拉格朗日插多项式。,23,5.1.2 多项式插值,24,5.1.2 多项式插值,25,5.1.2 多项式插值,26,5.1.2 多项式插值,27,图5.1 拉格朗日多项式插值的基函数,28,图5.2,29,5.1.2 多项式插值,30,5.1.2 多项式插值,31,5.1.2 多项式插值,32,5.1.2 多项式插值,33,5.1.2 多项式插值,34,5.1.2 多项式插值,35,5.1.2 多项式插值,36,5.1.2 多项式插值,演示：使

8、用函数interpgui和rungeinterp,37,图5.3,38,图5.4,39,5.1.3 分段线性插值,40,5.1.3 分段线性插值,41,5.1.3 分段线性插值,42,图5.5 分段线性插值的基函数,43,5.1.3 分段线性插值,44,5.1.3 分段线性插值,45,5.1.3 分段线性插值,46,5.1.3 分段线性插值,47,5.1.3 分段线性插值,48,图5.5 分段线性插值的基函数,49,图5.6,50,5.1.3 分段线性插值,51,5.1.4 三次样条插值,在生产和科学实验中，对所做的插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑，即所作的分段插值函数在分段上要求

9、多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数 我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。,52,5.1.4 三次样条插值,样条函数是在生产和科学技术实践中产生的。如用方砖砌圆井、条石筑拱桥，这些都是最初的“样条函数”。 但是现在因此得名的样条曲线并不是指折线而言，而是放样工人或绘图员借助样条（一种软木或塑料的长条）和压铁给出的那种曲线。 这种曲线，在数学上是分段三次多项式的典型代表，它具有良好的力学性质。推而广之，今天把分段多项式，甚至分段解析函数统称为样条函数。,53,5.1.4 三次样条插值,样条函数的应

10、用领域很广，早期在汽车、轮船、飞机制造方面的应和是手工放大样，在计算机的发展日前广泛深入后，它广泛地应用于各种制造业的计算机辅助设计（CAD），各种图形的绘制工作、地理信息系统、实验数据的拟合、以及现在“热门”的计算机动画制作。 在样条函数中，应用最广的是三次样条函数。,54,55,56,5.1.4 三次样条插值,57,5.1.4 三次样条插值,58,5.1.4 三次样条插值,59,5.1.4 三次样条插值,60,5.1.4 三次样条插值,在考虑样条插值问题的时候，首先一个问题就是满足条件的样条函数是否存在？ 令 i = 0, 1, 2, n 根据三次样条函数的定义， 在每一个小区间xi-1,

11、 xi i = 1, n 上都是三次多项式，所以S (x)在 xi-1, xi上的表达式为： 其中,61,5.1.4 三次样条插值,将S (x)两次积分得： 其中Ai和Bi为积分常数，,62,5.1.4 三次样条插值,由插值条件 Mi需满足方程：,63,5.1.4 三次样条插值,由此解得 所以,64,5.1.4 三次样条插值,只要知道了诸Mi，S (x)的表达式也就完全确定了。微分S (x)的表达式得 而,65,5.1.4 三次样条插值,于是 由一阶导数在节点处连续 得,各项除以hi + hi+1，并记 ， 则上式可写为 n 1个内点有n 1个方程，有n + 1个未知量Mi。为确定Mi (i

12、= 0, 1, n)还需加上两个端点条件（边界条件）。,67,5.1.4 三次样条插值,端点条件 端点条件形式很多，这里仅给出常用的两种。 1）给定 ，补充方程组的第一个和最后一个方程。 若取M0 = Mn=0，称为三次自然样条。,68,5.1.4 三次样条插值,2）给定两端点导数值 即有 整理得,69,方程组的求解,经补充后的方程组为 对端点条件（1），有,70,方程组的求解,对端点条件（2） 有,71,方程组的求解,最终得到的方程组是一个三对角方程组，可用追赶法求解，因为i+i = 1，i 0, i 0, 0 = i =1，故系数矩阵严格对角占优，从而存在唯一解。 求出了Mi (i = 0

13、, 1, n)，也就求得了S (x)在各个小区间的表达式Si (x)（i = 0, 1, 2, n）,72,5.1.4 三次样条插值,73,5.1.4 三次样条插值,74,5.1.4 三次样条插值,75,5.1.4 三次样条插值,76,5.1.4 三次样条插值,77,78,79,5.1.4 三次样条插值,80,5.1.4 三次样条插值,81,5.1.4 三次样条插值,82,插值问题的发展,直接使用多项式基 求解系数计算困难，求到系数后求值、微分、积分方便 使用拉格朗日插值基函数 求解系数简单，插值函数的求值、微分、积分复杂 两种方法的共同缺点：高次插值多项式在非插值点误差较大，不适宜做外推 原

14、因分析：所采用的基函数是全局的,83,插值问题的发展,解决的方法：采用分段低次插值多项式 分段线性插值多项式 构造简单 光滑性差 在每个分段使用较高次的多项式 三次样条函数,84,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,Cubic spline interpolation,85,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,86,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,clamped:夹紧的，夹持的,87,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,88,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,89,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,90,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,91,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,92,图5.7,93,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,94,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,95,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,96,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,97,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,98,图5.8,99,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,100,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,101,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,102,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,103,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,