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1、在发明中学习 - 线性代数 概念的引入,李尚志 中国科学技术大学,随风潜入夜:知识的引入,之一、线性方程组的解法 加减消去法方程的线性组合 原方程组的解是新方程的解 是否有“增根”？ 互为线性组合:等价变形 初等变换 高斯消去法,只用到系数的运算 行向量表示方程数组向量 矩阵表示方程组矩阵的初等变换 只用到系数的加减乘除数域,之二、线性相关与线性无关,一、方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个?,某个方程是其余方程的线性组合 线性相关,例1 如下向量 u，v，w 是否共面?,(1) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (3,2,6).,(2) u= (1,1,
2、1); v = (2,1,5); w= (1,-3,13).,(3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (1,-3,6).,有解 1 = - 7, 2 = 4, -7u+4v = w,解 (1) 易见 u+v =w, 这三个向量共面.,(2) 解方程组求实数1, 2 使,(3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w = (1,-3,6). 方程组 1 u+ 2 v = w无解。 还需解 1 u+ 3 w = v, 仍无解。 还需解 2 v + 3 w = u, 仍无解。 解三个方程太繁琐！ 只须解一个方程 1 u+ 2 v+ 3 w = 0 有(无)非零解
3、线性相(无)关,对任意向量 a, b, g 1 a+ 2 b+ 3 g = 0 有(无)非零解线性相(无)关 当3 不为 0, 当2不为 0, 当1不为 0,二、线性相关(无关)的定义,V是数域F上向量空间,u1,um 是V中向量. 如果存在 F 中不全为0的数 使,(2.1),就称向量组 u1,um 线性相关.,反之,如果(2.1) 仅当,成立,就称向量组 u1,um 线性无关.,可以看成关于未知数 的方程。 方程有(无)非零解 向量组线性相(无)关,例2. 求方程的实数解,则原方程为: u + v = w 我们有: -7u2+ 4v2 = w2 将原方程代入:-7u2+ 4v2 = (u+
4、v)2 整理得 - 8u2-2uv+3v2 = 0 分解因式得 (v-2u)(3v+4u) = 0 v=2u,解:令,方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank,三、极大线性无关组，秩,秩的唯一性,方程组(A1 , A2 , A3) 与(B1 , B2) 互为线性组合 A1= a11B1+a12 B2 A2= a21B1+a22 B2 A3= a31B1+a32 B2 x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 = 0 : (a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a
5、32x3)B2 = 0 未知数个数3 方程个数2 方程组有非零解 (x1, x2, x3) A1 , A2 , A3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立 抽象向量空间,四、线性相关(无关)的重要应用 - 基、坐标与维数,在3维几何向量组成的空间V中, 我们取3个不共面的向量1, 2, 3组成一组基, 将空间中每个向量u唯一地写成1, 2, 3 的线性组合: =x1+y2+z3 将3个系数组成的数组(x,y,z)称为的坐标, 用来代表.,为什么V中每个向量都能写成这三个向量1, 2, 3的线性组合? 为什么系数x,y,z是唯一的? 在任意域F的线性空间V
6、中能否类似地找到一组向量1, 2, n组成一组基, 使得V中的每个向量都能唯一地写成这组向量的线性组合, 从而可以将线性组合的系数组成坐标来代表这个向量? 如果能, 这组基1, 2, n应当满足什么样的条件?,例3 设V是数域F上线性空间, u1, u2, un 是V中的向量组成的向量组. 假如V中向量u能写成u1, u2, un 的线性组合 u = x1u1+x2u2+xnun (4.1) 在什么情况下, 由 u = x1u1+x2u2+xnun = y1u1+y2u2+ynun 可以推出 xi = yi, i = 1,2,n 从而线性组合式 (2.5) 中的系数x1,x2,xn由u唯一决定
7、?,解,当且仅当u1, u2, un线性无关时, 由 (4.3) 可得,x1u1+x2u2+xnun = y1u1+y2u2+ynun (4.2),(x1-y1)u1+(x2-y2)u2+(xn-yn)un = 0 (4.3),由此可知, 当且仅当u1, u2, un线性无关时, 凡是能由u1,u2,un线性组合出来的向量,u = x1u1+x2 u2+xnun,此线性组合表达式中的系数x1,x2,xn就由u唯一决定, 可以组成坐标(x1,x2,xn) 来表示向量u .,为了将V中所有的向量都用坐标来表示, 还需要 选取这样的线性无关向量组u1, u2, un, 使V中 所有的向量都能表示成u
8、1, u2, , un的线性组合.,定义 设V是数域F上的线性空间. 如果V上存在一组由有限个向量组成的线性无关向量组,=x11+x22+xnn, (4.4),B =1, 2,n,使 V 中每个 都能写成 B 中向量的线性组合,则V称为有限维线性空间, B称为V的一组基, B中向量个数 n 称为V的维数。表达式(4.4) 中的线性组合系数组成的数组(x1,x2,xn) 称为 在基B下的坐标。,例 4 已知向量组 u1,u2,u3线性无关.试判断 u1+u2,u2+u3,u3+u1线性相关还是线性无关,解法1 设数1 ,2 ,3满足条件,(4.5),(4.6),由于u1,u2,u3线性无关, (4.6) 成立仅当,(4.7),解法2 以u1,u2,u3为子空间的基, 将所要判断的向量写成坐标 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).,方程组(4.7) 只有零解. u1, u2, u3 线性无关。,五、齐次线性方程组的解集,齐次线性方程组,可写成 (5.2),(5.1),其中,齐次线性方程组的解集是子空间。 解空间维数 = 未知数个数 方程组的秩 dim VA= n rank A,都是,(5.2),的解.,X+Y 与 l X 也都是 (5.2) 的解。,谢谢 ！,