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1、第6章 近世代数基础,引子,抽象代数亦称近世代数, 是在初等代数基础上的推广, 从18世纪末萌芽到20世纪30年代, 逐步形成现代数学的主要分支之一. 抽象代数作为数学的一门学科, 主要研究对象是代数结构, 比如群、环、域、模、向量空间和代数等. 这一章介绍的近世代数基础知识, 目标是本科学生能理解高级加密标准即AES算法. 在介绍相关知识时, 会尽量减少概念的引入, 比如关于群的半群、子群、陪集、商群等, 关于环的子环、理想甚至商环等, 有限域部分也仅仅是给出了概念.,6.1 群,群是一种代数系统, 对群的理论研究是由法国的数学家伽罗瓦开创的, 是为了解决一般的高次代数方程是否存在二次方程那
2、样的求根公式, 即“为什么五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法？ 也就是说, 这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根.”这个问题而产生的.,二元运算,结合律,交换律,群的定义,交换群或者阿贝尔群.,伽罗瓦,阿贝尔,【人物传记】 尼尔斯亨利克阿贝尔（Niels Henrik Abel，18021829）, 挪威数学家, 以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名. 跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱, 现代有以他名字命名的阿贝尔奖。,群-例题,群-例题,群-例题,群-例题,群-例题,6.1.2 循环群,阶,阶-例题,阶-例题,阶-例题,生成元,生成元-例题,循环群-阶,循环群-生成元,群-生成元,群-生成元,6.1.3 同态与同构,同态-例题,同态-例题,同构-例题,循环群-性质,