江苏省2016年高考数学模拟应用题选编五201708170161.wps

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1、20162016 年江苏省高考数学模拟应用题选编（5 5） 1 1、（20162016届高三年级海安、南外、金陵中学第四次模拟考试试卷 ）如图，一个角形海湾 AOB，AOB2（常数 为锐角）拟用长度为 l（l为常数）的围网围成一个养殖区， 有以下两种方案可供选择： 方案一 如图 1，围成扇形养殖区 OPQ，其中 PQl； 方案二 如图 2，围成三角形养殖区 OCD，其中 CDl； B B B Q D l l O 2 （第 18 题） A O 2 2 P O A A C 图 1 图 2 （1）求方案一中养殖区的面积 S1 ； l 2 （2）求证：方案二中养殖区的最大面积 S2 ； 4tan （3

2、）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由 2 2、（上海崇明县 20162016届高三二模）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB与地 面垂直，灯杆 BC与灯柱 AB所在的平面与道路走向垂，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线与平 2 面 ABC的部分截面如图中阴影部分所示已知 ABC ，ACD ，路宽 AD 24 米 3 3 设 BAC ( ) 12 6 C B （1）求灯柱 AB的高 h （用 表示）； （2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB与 灯杆 BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？ （结果精确到 0.01米） D A （第 2 题图） 3 3、（

3、上海奉贤区 20162016 届高三二模）如图所示， A, B 是两个垃圾中转站， B 在 A 的正东方向16 千米处， AB 的南面为居民生活区为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 AB 的北面建一个垃 圾发电厂 P 垃圾发电厂 P 的选址拟满足以下两个要求（ A, B, P 可看成三个点）： 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同； 垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大）现 估测得 A, B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨 设 PA 5x 0 1 (1)求 cosPAB(用 x 的表达式

4、表示) ； (2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ P 北 A B 居民生活区 第 3 题图 4 4、（江苏省镇江市 20162016 届高三年级第一次模拟考试）如图，某工业园区是半径为 10km的圆形 区域，离园区中心 O 点 5km 处有一中转站 P，现准备在园区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站， 公路 AB 把园区分成两个区域 (1) 设中心 O 对公路 AB 的视角为 ，求 的最小值，并求较小区域面积的最小值； (2) 为方便交通，准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD，求两条公路 长度和的最小值 (第 4 4 题图) 5 5、（江苏省扬州市

5、20162016 届高三上学期期末考试数学试题）某隧道设计为双向四车道，车道总 宽 20米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如 图所示建立平面直角坐标系 xoy . （1 ）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ （2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计 拱高 h 和拱宽 l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为 S 2 3 lh ） y O x h 4.5 20 l （第 5 题图） 2 6 6、（江苏省泰州市 20162016 届高三第一次模拟考试

6、数学理试卷）一个玩具盘由一个直径为 2 米的 半圆O 和一个矩形 ABCD 构成， AB 1米，如图所示小球从 A 点出发以v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点 E 处后，经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内， 落点记为 F 设 AOE 弧度，小球从 A 到 F 所需时间为T （1）试将T 表示为 的函数T()，并写出定义域； （2）求时间T 最短时 cos 的值 E A B O F D C 7 7、（江苏省苏、锡、常、镇 20162016届高三数学教学情况调查（一）数学试题） 如图是某设计 师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架 OA，OB，OC两两成 120

7、， OC=l，AB=OB+OC，且 OA OB现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB长成 正比，比例系数为 k（k 为正常数）：在AOC区域（阴影区域） 内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N,且 N 与AOC的 面积成正比，比例系数为 4 3 k设 OA =x，OB=y. (1)求 y 关于工的函数解析式，并写出 x 的取值范围； (2)求 N-M 的最大值及相应的 x 的值 8 8、（江苏省南通市海安县 20162016届高三（上）期末数学试卷）如图，扇形 AOB 是一个植物园的 平面示意图，其中AOB= ，半径 OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟

8、在圆内铺设一条从入 口 A 到出口 B 的观赏道路，道路由弧 ，线段 CD，线段 DE和弧 组成，且满足： = ， CDAODEOB，OD ， （单位：km），设AOC= （1）用 表示 CD 的长度，并求出 的取值范围； （2）当 为何值时，观赏道路最长？ 9 9、（江苏省南通市 20162016届高三下学期第一次调研测试数学试题 ）如图，阴影部分为古建筑物 保护群所在地，其形状是以 为圆心，半径为 的半圆面。公路 经过点 ,且与直径 O 1km l O OA 1 垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ (点 P 在直径OA的延长线，点Q 在公路l 上),T 为切点. （1）按下列要求建

9、立函数关系： 3 设 OPQ (rad)，将 OPQ 的面积 S 表示为 的函数； 设OQ t(km)，将 OPQ 的面积 S 表示为t 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系，求 OPQ 的面积 S 的最小值。 10、（ ）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30m的围墙现有两种方案： 方案 多边形为直角三角形 AEB （ AEB 90 ），如图 1 所示，其中 AE EB 30m； 方案 多边形为等腰梯形 AEFB （ AB EF ），如图 2 所示，其中 AE EF BF 10m 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案 A B A B

10、 E F E 图1 图2 1111、（江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 20162016 届高三 1 1 月第二次调研数学试题 ）如 图，OA是南北方向的一条公路，OB 是北偏东 450 方向的一条公路，某风景区的一段边界为 曲线C 为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA,OB 垂直的两条道路 PM,PN PM,PN 5 40 ，且 的造价分别为 万元/百米， 万元/百米，建立如图所示的直角坐标 4 2 系 xoy ，则曲线符合函数 x 2 (1 9) 模型，设 ，修建两条道路 y x PM x PM,PN x 的总造价为 f (x) 万元，题中所涉及的长度单位均为百米.

11、（1）求 f (x) 解析式; （2）当 x 为多少时，总造价 f (x) 最低？并求出最低造价 1212、（江苏省常州市 20162016届高三年级第一次模拟考试数学试题 ）如图，直线 l 是湖岸线，O 4 是 l 上一点，弧 AB 是以 O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线 l 上一观景亭现规划在湖中建一 小岛 D，同时沿线段 CD 和 DP(点 P 在半圆形栈桥上且不与点 A，B 重合)建栈桥考虑到美观需 要，设计方案为 DPDC，CDP60且圆弧栈桥 BP 在CDP 的内部已知 BC2OB2(km)， 设湖岸 BC 与直线栈桥 CD，DP 及圆弧栈桥 BP 围成的区域(图中阴影部分)的

12、面积为 S(km2)，BOP . (1) 求 S 关于 的函数关系式； (2) 试判断 S 是否存在最大值，若存在，求出对应的 cos的值，若不存在，说明理由 (第 1212 题) 5 l 1、解：（1）设 OPr，则 lr2，即 r ， 2 1 l2 所以 S1 lr ，(0， ) 4 2 4 2 分 (2)设 OCa，ODb由余弦定理，得 l2a2b22abcos2，所以 l22ab2abcos2 6分 l2 所以 ab ，当且仅当 ab“”时 成立 2(1cos2) 1 l2sin2 l2 所 以 SOCD absin2 ， 即 S2 2 4(1cos2) 4tan l2 8 分 4ta

13、n 1 1 4 (3) (tan)，(0， )， 10 S2 S1 l2 2 分 sin sin2 令 f()tan，则 f ()( )1 cos cos2 12 分 当 (0， )时，f ()0，所以 f()在0， )上单调增，所以，当 (0， 2 2 )， 2 1 1 总有 f()f(0)0所以 0，得 S1S2 S2 S1 答：为使养殖区面积最大，应选择方案一(没有作答扣一分) 14 分 2、（1）三角形 ACD 中， ， CDA 6 AD AC 由 ，得 sin ACD sin CDA ADsin CDA AC 16 3 sin( ) .3 分 sin ACD 6 三角形 ABC中，

14、ACB 3 6 AB AC 由 ，得 sin ACB sin ABC AC sin ACB h 32 sin( ) sin( ) sin ABC 6 3 （2）三角形 ABC中， ( ) 12 6 .6 分 BC AC 由 ，得 sin BAC sin ABC AC sin BAC BC 32 sin( ) sin .9 分 sin ABC 6 所以 AB BC 32 sin( ) sin( ) 32 sin( ) sin 6 3 6 16sin 2 8 3 .11 分 2 因为 ，所以 12 6 6 3 所以当 时， 取得最小值 13 分 AB BC 88 3 21.86 12 制造路灯灯柱

15、 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小，最小值约为 21.86 米. .14分 PA 50 5 3、解：（1）由条件，得 1 分 PB 30 3 5 , 3 PA x PB x ， 3 分 (5x) 16 (3x) 2 2 2 则 6 分 cosPAB 2165x x 8 cosPAB 10 5x 8 分 2 x 8 （2） 9 分 sin 1 PAB 10 5x 所以点 P 到直线 AB 的距离 h PAsin PAB 10 分 x 8 h 5x 1 ( ) 10 5x 2 11分 1 x 17x 64 4 2 4 1 (x 34) 225 2 2 12 分 4 x 8 cosPAB 1

16、, 1,2 x 8 10 5x 所以当 x2 34 ，即 x 34 时， h 取得最大值 15 千米. 13分 即选址应满足 PA 5 34 千米， PB 3 34 千米. 14 分 4、【解析】(1) 如图 1，作 OHAB，设垂足为 H，记 OHd，2AOH， d 因为 cosAOH ，(1分) 10 要使 有最小值，只需要 d 有最大值，结合图像可得， 7 dOP5km，(3 分) 当且仅当 ABOP 时，dmin5km. 2 此时 min2AOH2 .(4 分) 3 3 设 AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为 S， 根据题意可得：Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6分)

17、 f()50(1cos)0 恒成立，f()为增函数，(7 分) 2 2 3 所以 Sminf(3 )50( 2)km 2.(8分) 3 2 2 3 答：视角的最小值为 3 ，较小区域面积的最小值是 50( 2)km 2.(9分) 3 (第 4 4 题图 1 1) (2 2) 如图 2 2，分别过 O O 分别作 OHABOHAB，OHOH1 1CDCD垂足分别是 H H，H H1 1， 记 OHOHd d，OHOH1 1d d2 2，由(1 1)可知 d d1 10 0，5 5 所以 d d21 21d d2 2OP OP2 22525，且 d d 2525d d (1010分) 2 2 12

18、12 因为 ABAB2 2 100100d d，CDCD2 2 100100d d， 所以 ABABCDCD2 2( 100100d d 100100d d)2 2( 100100d d 7575d d)，(1111分) 记 L L(d d1 1)ABABCDCD2 2( 100100d d 7575d d)， 可得 L L2 2(d d1 1)4 41751752 2 （100100d d）（7575d d）， (1212分) 由 d d21 210 0，25 25，可知 d d21 210 0，或 d d212125 25时，L L2 2(d d1 1)的最小值是 100100(7 74

19、4 3 3)， 从而 ABABCDCD的最小值是 20201010 3 3 km. km.(1313分) 答：两条公路长度和的最小值是 20201010 3 3 km. km.(1414分) (第 4 4 题图 2 2) 3 5、解：（1）设抛物线的方程为： y ax2 (a 0) ，则抛物线过点 (10, ) ， 2 8 3 代入抛物线方程解得： ， 3分 a 200 令 y 6，解得： x 20 ，则隧道设计的拱宽 l 是 40 米； 5 分 9 h 9 2 （2）抛物线最大拱高为 h 米， h 6 ，抛物线过点 (10,(h ) ，代入抛物线方程得： a 2 100 9 9 h l 2

20、100h l 2 100h 2 2 令 y h ，则 x2 h ，解得： x2 ，则 ( ) ， h 9分 100 2 l 400 9 9 2 h h 2 2 9 9 l l l 2 2 2 2 2 3 (20 40) 2 3 h 6 6 20 l 40 即 S lh l l l 400 3 3 l 400 l 400 2 2 2 12 分 9l (l 400) 3l 2l 3l (l 1200) 3l (l 20 3)(l 20 3) 2 2 3 2 2 2 S (l 400) (l 400) (l 400) 2 2 2 2 2 2 当 20 l 20 3 时， S 0；当 20 3 l 4

21、0 时， S 0 ，即 S 在 (20,20 3) 上单调减，在 27 (20 3,40 S l 20 3 l 20 3 h 上单调增， 在 时取得最小值，此时 ， 4 27 答：当拱高为 米，拱宽为 20 3 米时，使得隧道口截面面积最小 15 分 4 6、解：（1）过O 作OG BC 于G ，则OG 1， OG OF EF 1 1 1 ， ， ， AAE sin sin sin A 1 1 AE EF 3 所以 ， 7 分 T() , 5v 6v 5v 6vsin 6v 4 4 （写错定义域扣 1 1 分） 1 1 （2） ， T() 5v 6vsin 6v 1 cos 6 sin 5co

22、s (2 cos 3)(3cos 2) 2 T ( ) 5v 6vsin 30vsin 30vsin 2 2 2 ，9 分 2 3 记 ， ， cos 0 , 0 3 4 4 ( , ) 0 4 0 3 ( , ) 0 4 - 0 + T ( ) T() A A 2 故当 时，时间 最短 14分 cos T 3 7、【解析】 （1）因为OA x,OB x, AB y 1， 9 x2 1 由余弦定理， x2 y2 2xy cos120 (y 1)2 ，解得 y ， 3 分 2 x x2 1 1 3 由 x 0, y 0 得 1 x 2 ，又 x y ，得 x ，解得1 x ， 6 分 2 x 2

23、 1 3 所以 OA 的取值范围是 (1, ) 7分 2 （2） M kOB ky ， N 4 3k S 3kx ， AOC x2 1 则 N M k(3x y) k(3x ) ，8 分 2 x 3 3 设 2 x t ( ,1) ， 2 (2 t) 1 2 则 N M k3(2 t) t 3 3 =k10 (4t ) k(10 2 4t ) (10 4 3)k .11 分 t t 3 3 3 3 2 3 当且仅当 4t 即 t ( ,1) 取等号，此时 x 取等号， 13 分 t 2 2 2 3 所以当 x 2 时， N M 的最大值是 (10 4 3)k .14 分 2 8、解：（1）AE

24、=EB，CDAODEOB， AOD= ， 于是在OCD 中，OC=1，AOB= ，AOC=COD= ， 由正弦定理可知： = = =2R， = = = ， OD= sin，CD= sin（ ）， OD ， ，即 sin ， sin ， 0 ， ， 故 CD= sin（ ）， （ ）， （2）由（1）可知，观赏道理长 L=2（ +CD）=2+ sin（ ）， （ ）， 10 L=2+2cos sin， L=22sin cos， =2 cos（ ）， L=0，得 cos（ ）= ， ，= ， 当 时， ， L=2 cos（ ）0， 当 = 时，L 取得最大值，即观赏道路最长 9、（1）由题设知，在

25、 RtO1PT中， OPT= ，O1T=1， 1 所以 O1P = sin 1 又 OO1=1，所以 OP = +1 sin 在 RtOPQ中， 1 1 sin OQ OP tan (1 ) tan sin cos 3 分 所以，RtOPQ的面积为 1 S= OP OQ 2 1 1 1 sin (1 ) 2 sin cos = (1 sin) 2 2sin cos (1 sin) 2 (0 ) 5分 sin 2 2 （取值范围不写或不正确扣 1 分） 由题设知，OQ= QT = t，O1T=1，且 RtPOQRtPT O1， OP TP OP t OP t 2 2 所以 ，即 ， OQ TO

26、t 1 1 2t 2 OP= (t 1) 化简，得 8 分 t 1 2 所以，RtOPQ的面积为 11 1 S= OQ OP 2 1 2t t 2 3 = t (t 1) 2 t 1 t 1 2 2 10分 （取值范围不写或不正确扣 1 分） (1 sin) 2 S (0 ) （2）选用（1）中的函数关系 sin 2 2 S 2(1 sin)cos sin 2 (1 sin) 2cos 2 2 (sin 2) 2 2(1 sin)cos sin 2 (1 sin) cos 2 (sin 2) 2 2(1 sin)sin(2 ) (1 2sin ) 2 (sin 2) 2 2(1 sin ) (

27、2sin 1) 2 (0 ) (sin 2) 2 2 13 分 2(1 sin ) (2sin 1) 2 S =0 (0 ) = 由 ， 得 (sin 2) 2 2 6 列表 ( 0， ) 6 6 ( ， ) 6 2 S 0 + S 极小值 (1 sin 6) 3 3 2 所以，当 = 时，OPQ的面积 S的最小值为 （km2）16 分 = 2 6 sin 2 （ ） 6 t 3 （2）选用（1）中的函数关系 2 ( 1) S t t 1 S 3t (t 1) t 2t 2 2 3 (t 1) 2 2 t (t 3)(t 3) 2 (t 1) (t 1) 2 2 13 分 t (t 3)(t

28、3) 2 由 S 0 (t 1) ，得 (t 1) 2 2 t= 3 列表 t (1， 3) 3 ( 3， ) S 0 + 12 S 极小值 ( 3)3 3 3 所以，当t 3 时，OPQ 的面积 S 的最小值为 = （km2）16分 ( 3)2 1 2 10、解：设方案，中多边形苗圃的面积分别为 S1,S2 1 方案设 AE x ，则 3 分 S 30 x 1 2 x 30 x 2 1 2 2 225 x 15 （当且仅当 “时， =” 成 立 ） 5 分 2 方案设 BAE ，则 8 分 S 2 100sin 1 cos , 0, 2 由 得， （ 舍 去 ） 10 分 S cos 1 2

29、 cos 1 2 100 2 cos cos 1 0 2 因为 0, ，所以 ，列表： 2 3 0, 3 3 , 3 2 S + 0 - 2 S A 极大值 A 2 所以当 时， 12 分 S2 max 75 3 3 225 75 3 BAE 2 3 因为 ，所以建苗圃时用方案，且 答 ： 方 案 ， 苗 圃 的 最 大 面 积 分 别 为 225 2 ,75 3 2 ， 建 苗 圃 时 用 方 案 ， 且 m m 2 BAE 3 14分 4 2 11、(1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为 ， y=x+ 1 x9 PM x x 2 4 2 所以点 P 坐标为 ， x, x x

30、 2 13 直线 OB的方程为 x y 0 ， 2分 4 2 4 2 x x x x 2 2 4 则点 P到直线 x y 0 的距离为 ，4分 2 2 x 2 又 PM的造价为 5 万元百米，PN的造价为 40万元百米 4 32 则两条道路总造价为 8分 f x x x x ( ) 5 40 5 1 9 x x 2 2 4 32 (2) 因为 f x x x ， ( ) 5 40 5 x x 2 2 3 64 5(x 64) 所以 f (x)=5 1 ， 10 分 x x 3 3 令 f (x) 0 ，得 x 4 ，列表如下： x （ 1, 4（ 4 （ 4, 9（ f x 0 ( ) f (

31、x) 单调递减 极小值 单调递增 所以当 x 4 时，函数 f (x) 有最小值，最小值为 13 分 f 32 4 5 4 30 4 2 32 答：（1）两条道路 PM ,PN总造价 f (x) 为 ( ) 5 ； f x x 1 x9 x 2 （2）当 x 4 时，总造价最低，最低造价为 30 万元 14分 32 x x 32 （注：利用三次均值不等式 3 ， f (x) 5 x 5 5 3 8 30 x 2 2 x 2 2 x x 32 当且仅当 ，即 时等号成立，照样给分） x 4 2 2 x 2 12、【解析】(1) 在COP 中， CP2CO2OP22COOPcos106cos， 3 3 从而CDP 的 面积 SCDP CP2 (53cos) 4 2 1 3 又因为COP 的面积 SCOP OCOPsin sin，(6分) 2 2 14 1 5 3 所以 SSCDPSCOPS扇形 OBP (3sin3 3cos) ，00，所以当 0时，S 取得最大值(14分) 1 (或者：因为 00，所以当 0时，S 取得最大值) 35 此时 cos( ， 0 6) 6 1 105 cos0cos(0 ) .(16 分) 6 6 12 15