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1、四、三维势箱,一、一维势箱模型,二、薛定谔方程处理一维势箱模型,三、对本征值和本征函数的讨论,1-3 在一维势箱中运动的粒子,一、一维势箱模型求解Schrodinger方程的实例,1建立模型,1-3 在一维势箱中运动的粒子,势能函数：,物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维方向上被束缚在长度为 ，势能为零的箱内运动，箱外的势能无穷大。,应用范围：,1-3 在一维势箱中运动的粒子,1-3 在一维势箱中运动的粒子,二、用薛定谔方程处理一维势箱模型,用量子力学处理一个体系的一般步骤：,1体系的薛定谔方程,箱外：由于粒子在势箱外不出现，(x)=0,哈密顿算符：,1-3 在一维势箱中运动的粒子,
2、箱内：势能为零，,1-3 在一维势箱中运动的粒子,薛定谔方程：,2解微分方程的通解,1-3 在一维势箱中运动的粒子,上述方程是二阶常系数线性齐次方程,方程的通解：,1-3 在一维势箱中运动的粒子,3根据边界条件讨论微分方程的特解,必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有,1-3 在一维势箱中运动的粒子,的特解：,4用波函数的归一化条件,确定待定系数B,1-3 在一维势箱中运动的粒子,根据玻恩的统计解释即在整个空间找到粒子的几率必须是100%。要求波函数是归一化的，即：,于是得到量子化的本征值和本征函数。,1-3 在一维势箱中运动的粒子,三、对本征值和本征函数的讨论,1本征值E的讨论,(1) 能
3、量量子化,注：,一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。,在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即 增大），相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。,不能为零。,越大，对应的能级越高， 越大，能量越低。,1-3 在一维势箱中运动的粒子,(2) 零点能,(3) 相邻能级间的能差,零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零，,对于宏观质点， 较大，能量变化非常小， 完全可以认为能量的变化是连续的。,m越大， 越大, 越小,能量趋向于连续；,m越小， 越小, 越大，量子化越显著。,1-3 在一维势箱中运动的粒子,2一维箱中粒子的波函数 和几率密度,说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。,
4、箱中粒子的每一个 与一个 对应。,1-3 在一维势箱中运动的粒子,(2) 的图像,以 作图，范围,1-3 在一维势箱中运动的粒子,除边界条件 外其余各处 的点称为节点。,波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。,节点：,节点数：,一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。,当 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。,(3) 是正交归一化的,归一性：是指粒子在整个空间出现的几率为1,1-3 在一维势箱中运动的粒子,正交性：是指,1-3 在一维势箱中运动的粒子,正交性证明如下：,设有,当取前式复共轭时，得,由于,而,按共轭算符
5、的定义，上两式左边应相等，故,1-3 在一维势箱中运动的粒子,受一定势能场束缚的粒子的共同特征：,(a) 粒子可以存在多种运动状态，它们可由 来描述，没有经典的运动轨道，只有几率分布；,(b) 存在零点能；,(c) 能量量子化；,1-3 在一维势箱中运动的粒子,四、三维势箱,1模型,2建立薛定谔方程,需要将薛定谔方程用变数分离法分解成三个一维的微分方程，然后分别求解，最后由 分别求得体系的完全波函数和能级。,（2）写出薛定谔方程,薛定谔方程：,箱内，,1-3 在一维势箱中运动的粒子,边界条件：,1-3 在一维势箱中运动的粒子,3.解薛定谔方程，根据边界条件和归一化条件求出,1-3 在一维势箱中运动的粒子,对立方势箱：,1-3 在一维势箱中运动的粒子,1-3 在一维势箱中运动的粒子,4.简并态、简并度、简并能级,例：,1-3 在一维势箱中运动的粒子,定义：象这样一个能级有两个或两个以上的状态与之对应，则称此能级为简并能级，相应的状态（波函数）为简并态，简并态的数目为简并度。,三个波函数对应三种不同的运动状态，但对应同一个能量值，称三个状态为简并态，简并度为3。,