《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离学案苏教版必修2201707221105.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离学案苏教版必修2201707221105.wps（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.52.1.5 平面上两点间的距离 2.1.62.1.6 点到直线的距离 1理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用(重点、难点) 2熟练掌握中点坐标公式 3会求两条平行直线间的距离(易错点) 基础初探 教材整理 1 两点间的距离公式 阅读教材 P97P98，完成下列问题 平面上 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式 P1P2 x2x12y2y12.特别地， 当 x1x20，即两点在 y 轴上时，P1P2|y1y2|；当 y1y20，即两点在 x 轴上时，P1P2 |x1x2|. 1点(2,3)到原点的距离为_ 【解析】 d 202302 13. 【答
2、案】 13 2三角形三顶点为 A(1,0)，B(2,1)，C(0,3)，则ABC 的三边长分别为_ 【解析】 |AB| 212102 10， |AC| 012302 10， |BC| 2021322 2. 【答案】 10，10，2 2 教材整理 2 中点坐标公式 阅读教材 P99P100，完成下列问题 对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2的中点是 M(x0，y0)，则Error! 1已知 A(0,2)，B(3,0)，则 AB 中点 P 的坐标为_ 【解析】 设 P(x，y)，则Error! 1 3 P(，1 ). 2 3 【答案】 (，1 ) 2 2已知 A
3、(3,2)，B(7，8)，C(x，y)，若 B 为 AC 的中点，则 xy 的值为_. 【导学号：41292091】 【解析】 B 为 AC 的中点，Error! x17，y18，故 xy1. 【答案】 1 教材整理 3 点到直线的距离 阅读教材 P101P104，完成下列问题 1点到直线的距离公式 |Ax0By0C| 点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离为 d . A2B2 |kx0y0b| 2点 P0(x0，y0)到直线 l：ykxb 的距离 d . k21 3两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离 4两平行线间的距离公式 若两条平行直
4、线 l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)，则 l1，l2间的距离 d |C1C2| . A2B2 1判断(“正确的打”，错误的打“”) mn1 (1)点(m，n)到直线 xy10 的距离是 .() 2 (2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离() (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值() (4)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 P1P2 x1x22y1y22与两点的先 后顺序无关() 2原点到直线 x2y50 的距离为_ |Ax0By0C| |5| 【解析】 d 5. A2B2 5 【答案】 5 3两条平行线 l1：3x4y70
5、和 l2：3x4y120 的距离为_ |7 12| 【解析】 d 1. 3242 2 【答案】 1 小组合作型 两点间距离公式及其应用 如图 2112，ABC 的顶点 B(3,4)，AB 边上的高 CE 所在直线方程为 2x3y 160，BC 边上的中线 AD 所在直线方程为 2x3y10，求边 AC 的长 图 2112 【精彩点拨】 利用直线 AB，AD 的方程求交点 A.利用 D 是线段 BC 的中点，将点 C 的坐标 转化到点 D 上，再利用点 C 在直线 CE 上，点 D 在直线 AD 上解得点 C.然后利用两点间距离公式 求 AC. 【自主解答】 设点 A，C 的坐标分别为 A(x1
6、，y1)，C(x2，y2) 2 1 3 ABCE，kCE .kAB . 3 kEC 2 直线 AB 的方程为 3x2y10. 由Error!得 A(1,1) x23 y24 D 是 BC 的中点，D( . ， 2 ) 2 而点 C 在直线 CE 上，点 D 在直线 AD 上， Error! 解得Error!C(5,2)即|AC| 512212 17. 两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少， 常与其他知识综合考查 3 再练一题 1在 xy40 上求一点 P，使点 P 到点 M(2，4)，N(4,6)的距离相等 【解】 由直线 xy40 可得 yx4，因为
7、点 P 在此直线上，所以可设点 P 的坐标为 (a，a4)，已知 PMPN，由两点间距离公式可得 a 22a4 42 a42a462， 3 5 解得 a ，从而 a4 ， 2 2 3 5 所以点 P 的坐标为( 2). ， 2 点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用 (1)若点(2，k)到直线 5x12y60 的距离是 4，则 k 的值是_ 2 13 c2 (2)若两平行直线 3x2y10 和 6xayc0 之间的距离是 ，则 _. 13 a 【精彩点拨】 (1)由点到直线的距离公式得出 k 的方程，解方程即得 k 值 (2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得 a，c 的值 |5 212
8、k6| 【自主解答】 (1)由 4 ， 52122 17 解得 k3 或 k . 3 6 a c (2)由于两直线平行，所以 ， 3 2 1 解得 a4，c2， c |12| 2 13 又 ， 13 32 22 c2 故 c6 或 c2.从而 1 或1. a 17 【答 案】 (1)3 或 (2)1 3 1利用点到直线的距离公式要注意： (1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考 虑 4 2对于平行线间的距离问题一般有两种思路： (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直 线的距离 |C1C2| (2)直接用公式
9、d ，但要注意两直线方程中 x，y 的系数必须分别相同 A2B2 再练一题 2(1)求与直线 l：5x12y60 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程 (2)已知直线 l 经过点 P(2，5)，且与点 A(3，2)，B(1,6)的距离之比为 12，求直 线 l 的方程 【解】 (1)与 l 平行的直线方程为 5x12yc0， |c6| 根据两平行直线间的距离公式得 3， 52 122 解得 c45 或 c33.所以所求直线方程为 5x12y450 或 5x12y330. (2)由已知条件可知直线 l 的斜率一定存在， 又直线 l 经过点 P(2，5)， 设直线 l：y5k(x2)， 即 k
10、xy2k50， |k322k5| |k3| A 点到直线 l 的距离 d1 ， k21 k21 |k62k5| |3k11| B 点到直线 l 的距离 d2 . k21 k21 d1d212， |k3| 1 ， |3k11| 2 即 k218k170， 解得 k1 或 k17. 直线 l 的方程为 xy30 或 17xy290. 探究共研型 对称问题 探究 1 若点 P(a，b)关于直线 AxByC0 的对称点为 P，那么 P的坐标如何求解？ B 【提示】 设出 P的坐标，利用线段 PP的中点在直线 AxByC0 上，和 kPP ， A 5 列方程组求解 探究 2 已知直线 l1关于直线 l
11、对称的直线为 l2，如何由 l1，l 的方程求出 l2的方程？ 【提示】 法一 先由 l1，l 的方程求出交点，交点在 l2上，再在 l1上任取一点，求该 点关于 l 的对称点，对称点在 l2上，由两点式即可求出 l2的方程 法二 设 l2上任意一点坐标为(x，y)，它关于 l 的对称点(x，y)在 l1上，利用对称 性质求出Error!代入 l1的方程即得 l2的方程 已知直线 l：x2y20，试求： (1)点 P(2，1)关于直线 l 的对称点坐标； (2)直线 l1：yx2 关于直线 l 对称的直线 l2的方程； (3)直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程 【精彩点拨】 点关于直
12、线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的 中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问 题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解 【自主解答】 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x0，y0)，则线段 PP的中点 M 在直 线 l 上，且 PPl. Error! 解得Error! 2 19 即 P点的坐标为( 5). ， 5 (2)法一 由Error!得 l 与 l1的交点 A(2,0)， 在 l1上任取一点 B(0，2)，设 B 关于 l 的对称点 B为(x0，y0)，则Error! 即Error! 12 14 Err
13、or!即 B( ， 5)， 5 14 5 l2 的斜率为 kAB 7. 12 2 5 l2的方程为：y7(x2)，即 7xy140. 法二 直线 l1：yx2 关于直线 l 对称的直线为 l2，则 l2上任一点 P1(x，y)关于 l 的对 称点 P1(x，y)一定在直线 l1上，反之也成立 由Error! 得Error! 把(x，y)代入方程 yx2 并整理， 得 7xy140， 6 即直线 l2的方程为 7xy140. (3)法一 取 l：x2y20 上一点 M(2,0)，则 M 关于点 A(1,1)的对称点 M的坐标为 (0,2)，且 M在 l 关于 A(1,1)对称的直线上， 又所求直
14、线与 l 平行， 设所求直线为 x2yC0. 又过点 M(0,2)， C4， 所求直线方程为 x2y40. 法二 设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l，则直线 l 上任一点 P2(x1，y1)关于点 A 的对称点 P2(x，y)一定在直线 l上，反之也成立 由Error!得Error! 将(x1，y1)代入直线 l 的方程得 x2y40， 直线 l的方程为 x2y40. 关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线 与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过两个条件列方 程组求解 再练一题 3已知直线 l：3xy10 及
15、点 A(4,1)，B(0,4)，C(2,0) (1)试在 l 上求一点 P，使 APCP 最小； (2)试在 l 上求一点 Q，使|AQBQ|最大 b0 1 a2 b0 【解】 (1)如图，设点 C 关于 l 的对称点为 C(a，b)，则 ，且 3 a2 3 2 2 10，解得 C(1,1)，所以直线 AC的方程为 y1.由Error!，得 l 与直线 AC的交点为 2 P(，1 )，此时 APCP 取最小值为 5. 3 n4 1 m0 n4 (2)如图，设点 B 关于 l 的对称点为 B(m，n)，则 ，且 3 1 m0 3 2 2 7 0，解得 B(3,3)所以直线 AB的方程为 2xy9
16、0，由Error!得 AB与 l 的交点为 Q(2,5)，此时|AQBQ|取最大值为 5. 1已知点 A(2，1)，B(a,3)，且 AB5，则 a 的值为_ 【解析】 |AB| a223125，解得 a1 或 a5. 【答案】 1 或5 2已知ABC 的三个顶点为 A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，则ABC 的形状为_ 【解析】 由两点间距离公式得AB 52，BC 104，AC 52易知ABAC且AB2AC2BC2， 所以ABC 是等腰直角三角形 【答案】 等腰直角三角形 3夹在两条平行线 l1：3x4y0 与 l2：3x4y200 之间的圆的最大面积为_ |020| 【解析】 因两
17、条平行线间的距离为 d 4，则圆的最大面积为 224. 5 【答案】 4 4在坐标平面内，与点 A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有_条. 【导学号：41292092】 【解析】 由题可知，所求直线显然不与 y 轴平行，可设直线为 ykxb， 即 kxyb0. |k2b| d1 1， k21 |3k1b| 5 d2 2，解得 b13，b2 ， k21 3 4 k10，k2 ，所以所求直线有 2 条 3 【答案】 2 5已知一条直线过点 P(2，3)，与直线 2xy10 和直线 x2y40 分别相交于点 A 和点 B，且 P 为线段 AB 的中点，求这条直线的方程 【解】 设点 A 的坐标为(t,2t1)， 因为点 P(2，3)是线段 AB 的中点， 所以点 B 的坐标为(4t，52t) 因为点 B 在直线 x2y40 上， 所以 4t2(52t)40， 解得 t2，于是点 A 的坐标为(2，5) 8 y3 x2 所以所求直线的方程为 ， 53 22 即 x2y80. 9