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1、,2.2 向量组的秩和线性相关性,2.2 向量组的秩和线性相关性,一. 基本概念,列向量组: 1, 2, , s,矩阵A = (1, 2, , s),矩阵A的秩,向量组1, 2, , s的秩,r(1, 2, , s),第二章 n维列向量,行向量组: 1, 2, , s,矩阵A的秩,向量组1, 2, , s的秩,r(1, 2, , s),2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) = s,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,(linearly dependent),(linearly i
2、ndependent),1, 2, , s线性相关,1T, 2T, , sT线性相关,几个显然的结论:,(1),注意: 不要混淆:,“矩阵A的列向量组线性相关”,“矩阵A的行向量组线性相关”与,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,(2) 只含有一个向量的向量组线性相关, = 0.,(4) 含两个向量, 的向量组线性相关, , 的分量成比例.,(5) 当s n时, 任意s个n维向量都线性相关.,(3) 含有零向量的向量组一定线性相关.,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,例题2.2 求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。 （1） （2） （3）n维基本
3、单位向量组,解：(1)记,则因为 ，所以行列式的秩小于3，明显,的，A的2阶行列式,故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。,容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。,(3) 因为1, 2 ,., n 对应的矩阵是单位矩,阵, 从而其秩为n，故该向量组是线性无关的,(2)记,例题2.3 设 线性无关，且,证明： 线性无关。,解：只对列向量的情形证明。记,据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆,的，因此，r(A)=r(B)，因此,线性无关。,二. 向量组秩的性质,A: 1, 2, , r B: 1, 2, , s,若B组中的每个向量都能由A组中的向 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表
4、示.,1. 给定两个向量组,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,若向量组B能由向量组A线性表示，同时 向量组A能由向量组B线性表示, 则称这 两个向量组等价.,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,A: 1, 2, , r B: 1, 2, , s,4. 给定两个向量组,显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);,(2) 若A与B等价, 则B与A等价(对称性);,(3) 若A与B等价且B与C等价, 则B与A等价 (传递性).,定理2.1 如果向量组1, 2, ., t可以由1, 2,., s线性表示, 则,r1, 2, ., t r1, 2,., s,推论2.1
5、 如果向量组1, 2, ., t可以由1,2,., s线性表示, 且t s, 则向量组1, 2,., t一定线性相关。,推论2.2 如果向量组1, 2, ., t与向量组1,2,., s等价, 则,r1, 2, ., t =r1, 2,., s,推论2.3 如果向量组1, 2, ., t与向量组1,2,., s都线性无关且相互等价，则s = t,例2.4. 设有两个向量组,I: 1=1, 1, 2=1, 1, 3=2, 1,II: 1= 1, 0, 2= 1, 2.,即I可以由II线性表示.,即II可以由I线性表示.,故向量组I与II等价.,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,例2.5 设向量组 可以由向量组,线性表示，并且,证明： 线性无关的充分必要条件是,线性无关。,证明：由已知 可以由 线性表示,三个式子相加得,即 。因此,，同时由条件可以解出 ；将,所以 可以由 线性表示。因此两,个向量组是相互等价的。即,线性无关的充分必要条件 线性无关,