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1、第八章 数字滤波器, 8.1 数字滤波器概述 一、数字滤波器的特点 优点： 1、精度高 2、可靠性强 3、灵活性大 4、适用范围广 5、快速 缺点 （1）增加了系统的复杂性 （2）应用的频率范围受到限制 （3）系统的功率消耗比较大 数字滤波器设计在于确定系统函数。,二. 数字滤波器的概念 .滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装置。 , 对其进行傅氏变换得:,2、当输入、输出是离散数字信号， 滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（n）时， 这样的滤波器称作数字滤波器。,c,0,0,c,0,c,H(ej)为矩形窗时 的情形,三、数字滤波器的系统函数与差分方程,1、系统函数,2、差分方程 对上式进行

2、Z反变换，即得,3、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 进行一定的运算操作。 从而得到输出序列 实现滤波从运算上看,只需三种运算： 加法、单位延迟、乘常数。 因此实现的方法有两种： （1）利用通用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。,四、数字滤波器的分类 (一)IIR滤波器无限长冲激响应 1、单位冲激响应h（n）是无限长的。 2、系统函数H（z）在有限Z平面（ ） 上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。,h(n)为一个N点序列，Z=0处为（N-1）阶极点，,(二)FIR滤波器有限长冲激响应 1、h（n）在有限个n值处不为零。 2

3、、H（z）在,处收敛，极点全部在Z=0处。,3、非递归结构。,，有（N-1）阶零点。,按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通。,在模拟滤波器中的低通、高通、带通、带阻四种型状的频率特性，在数字滤波器中只在频率的一个周期内保留，在整个频率轴上有完全不同的形式，因此必须适当选择采样频率，才能防止要抑制的信号通过伪门输出。,五、数字滤波器设计内容,1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件或用硬件实现。,8.2 IIR滤波器的设计方法,一、借助模拟filter的设计方法 （1）将数字滤波

4、器（DF）的技术指标转换成模拟滤波器（AF）的技术指标（如果不是低通，则必须先将其转换成低通模拟滤波器的技术指标）。 （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的系统函数Ha(S)； （3）将低通滤波器的系统函数通过频率转换为所要的滤波器系统函数。 （4）将模拟滤波器的系统函数Ha(S) 转换成数字滤波器的系统函数H(Z)。,1、冲激不变法。 冲激响应不变法就是使h(n)正好等于h(t)的抽样值，即h(n)=h(nT) 其基本思想如下： 由H(s)h(t) h(kT) H(Z) 抽样信号的Z变换为,反变换,抽样,Z变换,由于DF的频响并不是简单的重复AF的频响，而是AF的频响的周期延拓，

5、根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内时，才能使DF在折叠频率内重现AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真。,以最简单的一阶巴特沃兹滤波器为例，其H(s)为1/(s+1)故 这个数字滤波器的幅频特性为 而相应模拟滤波器的幅频特性为,比较模拟滤波器的数字滤波器的幅频特性曲线可以看到，只有在的范围内，二曲线还大致差不多，但由于混叠效应，在2范围内，二曲线间有较大的差别。如果增大抽样率，使T=0.1，则所得曲线就十分接近模拟滤波器幅频特性曲线。 为了不产生混叠效应或使混叠效应可以忽略，可以采用两种办法： （1）增大抽样率； （2）维持抽

6、样间隔T不变，但增加模拟滤波器的阶次，使在=时，H(j)已几乎衰减到零。,总之，这种设计方法的缺点由于存在混叠，只能适用于有严格带宽限制的滤波器设计，如低通、带通等。,2、双线性变换 冲激不变法的主要缺点是由于混叠产生的频谱交叠。从数学上讲，这是因为从S平面到z平面的变换关系是多值对应关系。通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域， 将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用双线性变换法。这种方法的基本思想是，先将S平面中非带限的系统函数变换到P平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平面。,在S平面与

7、Z平面的映射关系中，我们知道，S平面中一条宽为2/T的横带就可以变换到整个Z平面。因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的P平面的一条横带里，再通过Z=esT将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。,为了实现第一步变换，令 通过这一变换，在S平面中从-到之间变化时p平面上的相应地从-/T变化到/T。因而实现把S平面中的全平面压缩到p平面中的从-/T到/T的一个条带内。将上式两侧都乘以j，得,将上述关系解析延拓到复平面P上得 再进行第二步变换。令ZepT得 上式的变换关系，把模拟滤波器中角频率从-到范围内的全部频率响应特性完全压缩到Z平面中从-/T到/T的范围内，因而避免

8、了数字滤波器的幅频特性中混叠现象的发生。,数字滤波器中的角频率与模拟滤波器中的角频率之间的关系是非线性的，只有在值满足tg T T的较低频率范围内才具有线性关系。频率越高则非线性越严重。因此，从双线性变换法得到数字滤波器的幅频特性与原型模拟滤波器相比将有畸变发生。,/T,0,-/T,|H(j)|,|H(ejT)|,变换式中的常数B可以是任意值。如果要求数字滤波器的低频特性尽可能地与模拟滤波器的低频特性相接近，也就是说在tg T T的范围内，要求=，则常数B的选择应该满足=BT/2，亦即令B=2/T。常数B的选择也可以使数字滤波器中某一频率与相应的模拟滤波器的某一频率严格对应，这样就可以较准确地

9、控制住截止频率的位置。,二、极、零点位置累试法,在阶次较低（一、二阶）的简单滤波器中，可以在Z平面上配置零点、极点的位置来获得需要的频率特性。如果在单位圆上 处设置了一对共轭零点，则频率相应曲线将在=0处出现零值。如果在单位圆内 设置了一对共轭极点，那么频率响应曲线中=1处就会出现一个峰值。,单位圆上设置一对共轭零点 时，滤波器的转移函数为 其频率响应函数的幅频特性为,在=0处设置零点后，显然=0能使幅频特性降为零。但在其他频率处，幅频特性也因此受到了衰减，频率越接近0受到的衰减也越大，因此，在单位圆上设置零点时，为了减少对其他频率处的影响，可以在设置零点的频率附近，再设置一对共轭极点。极点越

10、接近零点，则受到零点影响的频率范围越窄，也就是幅频特性在零点附近下降越陡。,例8.4 要求设计一个数字滤波器，以抑制50Hz的工频干扰，已知系统的抽样率为600Hz。,如果要求抑制的不只是某单一频率的干扰，而是某一频带的干扰，则应适当地调节极点的位置。如果还要增大在截止频率附近幅频特性的陡度，还可以在适当的位置增设另一对零、极点，经累试的方法获得满意的结果。,IIR滤波器的优点： （1）可以利用模拟滤波器的成果，方便而有效地完成数字滤波器的设计； （2）可以用较低阶的系统函数得到尖锐的频率响应特性； IIR滤波器也存在一些问题，主要有： （1）IIR滤波器的设计往往是从幅频特性角度提出要求，对

11、相位特性不好控制，因此一般说IIR滤波器不能得到线性相位特性； （2）IIR滤波器一般采用递归结构来实现，在递推中包含反馈，因此量化、舍入和系数不准确所引起的误差较严重； （3）如果极点位置控制不好，容易引起系统的不稳定。,8.3 FIR滤波器的设计方法,FIR 滤波器的冲激响应h( k )的长度是有限的。这种滤波器的主要优点是它可以在幅度特性随意设计的同时，能保证精确的线性相位特性，此外这类滤波器的所有极点都位于 Z 平面的原点，因此没有不稳定的问题，误差也较小。 FIR 滤波器还可以采用快速付里叶变换的方法来实现信号的滤波，因而可以大大提高运算效率。,一、 FIR 滤波器的设计原理,根据所

12、要求的频率响应特性Hd(ejT)设计一个 FIR滤波器同样是要求寻找一个系统函数H(Z)，使它的幅频特性等于|Hd(ejT)|，但 FIR 要求冲激响应是有限长度的。因此，系统函数的形式必须是有限项的 Z 的正幕或负幂的多项式。所以 FIR 滤波器的设计，实际上就是要求寻找一个有限长度的冲激响应函数 h ( k ) ，使其幅频特性等于|Hd(ejT)| 。,当 hd( k )收敛得慢时，N 的值将要取得很大，在进行卷积运算时，运算时间很长，效率很低。因此，精确度与效率二者之间是有矛盾的，需要取一个适当的办法，其最简单的办法是规定一定的长度直接从 hd( k )中截取一段来作为 h ( k )。

13、假定规定的长度为 2N + 1 个点。也就是说令,只取有限项的 hd( k ) ，结果在幅频特性中将在间断点附近出现幅度的起伏振荡吉卜斯现象（因为将付里叶级数简单地截短所造成的）。因为这样做破坏了所得级数的收敛性，特别是在不连续点附近更为严重。怎样克服这一困难是 FIR 滤波器设计中的一个重要问题。,二、窗函数的引人和应用,在有限项之后把一个级数截短的过程可以看成无限长的冲激响应与有限宽的窗函数相乘的结果。在我们所讨论的例子里，把理想低通滤波器的冲激响应 hd( k )截短为 h ( k )的过程，可以看成是 hd( k )与另一函数 W ( k )相乘的结果，其中 W ( k )称为窗函数，

14、即,有限截断： 矩形窗函数 W(k)的 Z 变换为,其频谱函数为 矩形窗函数的频谱如图 8 . 3 . 1 所示，它是频率的周期函数。在一个周期中，在T =0左右两个过零之间的波峰称为主瓣（如图中阴影线所示）。主瓣以外的波峰称为旁瓣。,由于矩形窗频谱 W(ejT) 的波动性。使得卷积以后得到的频率特性不论在通带内或阻带内都出现了起伏波动。,由此可见，采用简单截短 hd( k )的办法并不能得到预期的频率特性；由于理想频谱与W(ejT)卷积结果，使滤波器频谱在阻带内的衰减特性变坏，也就是使原来（理想低通）的频谱在旁瓣范围内产生泄漏，特别是靠近主瓣附近的旁瓣影响最严重。 窗函数频谱的主瓣宽度影响着

15、过渡带的宽度，主瓣越宽，则过渡带也越宽。由于存在泄漏现象，导致频谱的扩展，有可能使得卷积后的频谱的高频端超过折叠频率，造成混叠。对于矩形窗，由于频谱尾部收敛不快，这种情况更为严重 。,为了克服这一缺点，就需寻求一种窗函数，使它与 Hd(ejT)卷积后得到的频率特性仍十分接近于Hd(ejT)。也就是说，理想的窗函数的频谱应该是()，要求W(ejT)= () ，就是要求 w ( k ) =1，由式（8.3.7）可知，这时N=，也就是(k)=hd(k) ，成为无限长度，才能满足理想滤波器的要求，因此设计的 W(k)只能希望它的频谱 W(ejT)尽可能接近() ，这就要求：,（1）主瓣宽度尽可能窄； （2）相对于主瓣的幅度，旁瓣幅度尽可能小。 但这两个要求往往不能同时满足。主瓣窄，可以得到较陡的过渡带，但这时旁瓣将不可能很小，因而在通、阻带中都将产生一些振荡波纹。旁瓣小，可以使幅度响应比较平坦，但常常要使主瓣加宽从而使过渡带的陡度减小。,51 点长度的各窗函数的取对数的幅频特性,(a)矩形窗；(b)三角窗；(c)汉宁窗；(d)海明窗,