《高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像教案北师大版必修420170825212.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像教案北师大版必修420170825212.wps（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、函数 y=Asin(x+)y=Asin(x+)的图像 整体设计 教学分析 本节通过图像变换,揭示参数 、A 变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数 y=Asin(x+)的图像与正弦曲线的关系,以及 A、 、 的物理意义,并通过图像的变化过程, 进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个 直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点. 如何经过变换由正弦函数 y=sinx 来获取函数 y=Asin(x+)的图像呢?通过引导学生对 函数 ysinx 到 yAsin(x+)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特 殊到一般的化归思想；
2、并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难 点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数 、A 的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,“”通过图像变换和 五点 作图法,正确找出函数 ysinx到 yAsin(x+)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在. 由 于 本 节 是 本 章 的 一 个 难 点 ,为 了 便 于 学 生 的 理 解 和 接 受 ,在 探 究 y=sinx 与 y=Asin(x+)的关系上,对 A、 对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.
3、 三维目标 1.通过学生自主探究,理解 对 y=sin(x+)的图像的影响, 对 y=sin(x+)的图像的影 响,A 对 y=Asin(x+)的图像的影响. 2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出 y=Asin(x+)图像的简图,并会用“五点法”画 出函数 y=Asin(x+)的简图. 3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会 合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓 主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生 渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.
4、重点难点 教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母 、A 变化时对函数图像的形状和位置的影 响,掌握函数 y=Asin(x+)图像的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线 y=sinx 到 y=Asin(x+)的图像的变换过程. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 1 课时 导入新课 思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(x+)的函数(其 中 A、 、 是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电流 y 与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出, 因此,我们有必要画好这些函数
5、的图像.揭示课题:函数 y=Asin(x+)的图像. 思路 2.(直接导入)从解析式来看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(x+)存在着怎样的关系?从图 像上看,函数y=sinx 与函数y=Asin(x+)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索 、 A 对 y=Asin(x+)的图像的影响. 推进新课 新知探究 提出问题 1 观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数 、 、A 对 y=Asin(x+)的图像的影响？ 分别在 y=sinx和 y=sin(x+ 3 )的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点 并观察其横坐标的变化,你能否从
6、中发现, 对图像有怎样的影响？对 任取不同的值,作出 y=sin(x+)的图像,看看与 ysinx 的图像是否有类似的关系？ 请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到 y=sin(x+)的图像. 你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数 对 y=sin(x+)的图像的影响吗？为了作图 的方便,先不妨固定为 = 3 ,从而使 y=sin(x+)在 变化过程中的比较对象固定为 y=sin(x+ 3 ). 类似地,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+ 3 )的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令 =2,= 3 .此时,可以对 A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中
7、 的图像,观察它们与 y=sin(2x+ 3 )的图像之间的关系. 可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？ 活动: :问题,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引 导学生观察 y=sin(x+ 3 )图像上点的坐标和 y=sinx 的图像上点的坐标的关系,获得 对 y=sin(x+)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变 化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差 3 的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结 出:先分别讨论参数 、A 对 y=Asin(x+)的图像的影响,然后再整合. 图 1 问题,由学生作出 取不同值时,函数
8、y=sin(x+)的图像,并探究它与 y=sinx 的图像 的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于 对 y=sin(x+)的图像影响 的经验.为了研究的方便,不妨先取 = 3 ,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1, 分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持 它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个 y 值,y=sin(x+ 3 )的图像上 的点的横坐标总是等于 y=sinx的图像上对应点的横坐标减去 3 .这样的过程可通过多媒体课 件,使得图中 A、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察
9、 A、B 的坐标、xB-xA、|AB|的 变化情况,这说明 y=sin(x+ 3 )的图像,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有的点向左平移 3 2 个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图像向左平移 3 使之与 y=sin(x+ 3 )的 图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取 =- 4 ,用同样的方法可以得到 y=sinx 的图像向右平移 4 后与 y=sin(x- 4 )的图像重合. 如果再变换 的值,类似的情况将不断出现,这时 对 y=sin(x+)的图像的影响的铺垫 已经完成,学生关于 对 y=sin(x+)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓
10、. 问题,引导学生通过自己的研究认识 对 y=sin(x+)的图像的影响,并概括出一般结 论: y=sin(x+)(其中 0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 0 时)或 向右(当 0 时)平行移动|个单位长度而得到.如图 2. 图 2 问题,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具 体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以 y=sin(x+ 3 )为参照,把 y=sin(2x+ 3 )的图像与 y=sin(x+ 3 )的图像作比较,取点 A、B 观察.发现规律: 图 3 如图 3,对于同一个 y 值,y=sin(2x+ 3 )的图像上点的横坐
11、标总是等于 y=sin(x+ 3 )的图像上对 应点横坐标的 1 2 倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程, 引导学生在自己独立思考的基础上给出规律. (2)取 = 1 2 ,让学生自己比较 y=sin( 1 2 x+ 3 )的图像与 y=sin(x+ 3 )图像.教学中可以让学生 通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把 y=sin(x+ 3 )图像上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),就得到 y=sin( 1 2 x+ 3 )的图像. 当取 为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+ 3 )的图像的关系,得出类似的结论.这时
12、 3 对 y=sin(x+)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于 对 y=sin(x+)的图像的影 响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳 y=sin(x+)的图像与 y=sin(x+)的图像之间的关系,得出结论: 函数 y=sin(x+)的图像可以看作是把 y=sin(x+)的图像上所有点的横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 01 时)到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到.如图 4. 图 4 问题,教师点拨学生,探索 A 对图像的影响的过程,与探索 、 对图像的影响完全一致, 鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+ 3 )的图像和y=sin(2x+ 3 )的图
13、像之间的关系.如图5, 分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横 坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x 值,函数y=3sin(2x+ 3 )的图像 上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+ 3 )的图像上点的纵坐标的3 倍.这说明,y=3sin(2x+ 3 )的 图像,可以看作是把 y=sin(2x+ 3 )的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) 而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生 得出一般结论: 图 5 函数 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图像
14、,可以看作是把 y=sin(x+)上所有点的 纵坐标伸长(当 A1 时)或缩短(当 0A1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数 y=Asin(x+)的值域是-A,A,最大值是 A,最小值是-A.如图 6. 4 图 6 由此我们得到了参数 、A 对函数 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图像变化的影 响情况.一般地,函数 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图像,可以看作用下面的方法得到: 先画出函数ysinx 的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|个单位长度,得到函数y=sin(x+) 的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 1 倍,得到函数 y=sin(x+)的
15、图像；最后 把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(x+)的图像. 教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后 平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细 节. 由此我们完成了参数 、A 对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探 究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. 讨论结果: : 把从函数 y=sinx的图像到函数 y=Asin(x+)的图像的变换过程,分解为先分别 考察参数 、A 对函数图像的影响,然后整合为对 y=Asin(x+)
16、的整体考察. 略. 图像左右平移, 影响的是图像与 x 轴交点的位置关系. 纵坐标不变,横坐标伸缩, 影响了图像的形状. 横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图像的形状. 可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移. y=sinx 的图像 纵坐标伸长 1)或缩短 (A (0 A 1) 为原来的A倍(横坐标不变) 得 y=Asinx的图像横 横坐标伸长(0 1) ( 1) 或缩短 (纵坐标不变) 1 到原来的 向左 或向右 ( 0) ( 0) 得 y=Asin(x)的图像 平移 个单位 得 y=Asin(x+)的图像. 规律总结: : 向左 或向右 ( 0) ( 0) 先平移后伸缩
17、的步骤程序如下:y=sinx 的图像 平移 个单位长度 得 y=sin(x+)的图像 横坐标伸长(0 到原来的 1)或缩短 ( 1) 1 (纵坐标不变) 得 y=sin(x+)的图像 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0 A 1) 为原来的A倍(横坐标不变) 得 y=Asin(x+)的图像. 先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例 例 1 画出函数 y=2sin( 1 3 x- 6 )的简图. 活动: :本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的 - 6 , 1 3 ,A2,鼓励学生根据本节所 5 学内容自己写出得到 y=2sin( 1 3
18、x- 6 )的图像的过程:只需把 ysinx的曲线上所有点向右平行 移动 6 个单位长度,得到 y=sin(x- 6 )的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵 坐标不变),得到 y=sin( 1 3 x- 6 )的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 坐标不变)而得到函数 y=2sin( 1 3 x- 6 )的图像,如图 7 所示. 图 7 (2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像 变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质. (3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数 y=2sin( 1 3 x-
19、6 )简图的方法,教师再进一 “步地启发学生能否利用 五点法”作图画出函数 y=2sin( ”点法 作图的要求完成这一画图过程. 1 3 x- 6 )的简图,“并鼓励学生动手按 五 解: :方法一:画出函数 y=2sin( 1 3 x- 6 )简图的方法为 6 右移 个单位 y=sinx y sin(x ) 6 1 y x 横坐标不变 sin( 3 纵坐标伸长到原来的3 倍 ) 6 1 横坐标不变 y 2 sin( x 3 纵坐标伸长到原来的2 倍 ) 6 方法二:画出函数 y=2sin( 1 3 x- 6 )简图的又一方法为 y=sinx 1 1 1 y=2sin 横坐标不变 右移 个单位
20、x y=2sin( x ) 2 sin (x ) 2 纵坐标伸长到原来的 6 3 2 3 倍 3 3 方法三:(“”利用 五点法 作图作一个周期内的图像) 令 X= 1 3 x- 6 ,则 x=3(X+ 6 ).列表: X 0 2 3 2 2 x 2 2 7 2 5 13 2 6 y 0 2 0 -2 0 描点画图,如图 8 所示. 图 8 点评: :学生独立完成以上探究后,“”对整个的图像变换及 五点法 作图会有一个新的认识.但教 师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点, 学生极易出错.“对于 五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小
21、值以及曲线 与 x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设 X=x+,再用方程思想由 X 取 0, 12 3 , 2 ,2 来确定对应的 x 值. 变式训练 1.(2007 山东威海一模统考,12)要得到函数 y=sin(2x+ ( ) 3 )的图像,只需将函数 y=sinx 的图像 A.向左平移 3 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.向右平移 3 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.向左平移 3 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变 D.向右平移 答案:C 3 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 1
22、 2 倍,纵坐标不变 2.(2007 山东菏泽一模统考,7)要得到函数 y=2sin(3x- 像( ) 5 )的图像,只需将函数 y2sin3x 的图 A.向左平移 5 个单位 B.向右平移 5 个单位 C.向左平移 答案:D 15 个单位 D.向右平移 15 个单位 2.将 y=sinx的图像怎样变换得到函数 y=2sin(2x+ 4 )+1的图像? 活动: :可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.由 y=sin2x 的图像向 左平移 8 个单位长度得到的函数图像的解析式是 y=sin2(x+ 8 )而不是 y=sin(2x+ 8 ),把 y=sin(x+ 4 )的
23、图像的横坐标缩小到原来的 1 2 ,得到的函数图像的解析式是 y=sin(2x+ 4 ),而 不是 y=sin2(x+ 4 ). 7 解: :方法一: 把 y=sinx 的图像沿 x 轴向左平移 4 个单位长度,得 y=sin(x+ 4 )的图像；将 所得图像的横坐标缩小到原来的 1 2 ,得 y=sin(2x+ 4 )的图像；将所得图像的纵坐标伸长到原 来的 2 倍,得 y=2sin(2x+ 4 )的图像；最后把所得图像沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y=2sin(2x+ 4 )+1的图像. 方法二: 把 y=sinx 的图像的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y=2sinx的图像；将
24、所得图像的 横坐标缩小到原来的 1 2 ,得 y=2sin2x 的图像；将所得图像沿 x 轴向左平移 8 个单位长度,得 y=2sin2(x+ 图像. 8 )的图像；最后把图像沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y=2sin(2x+ 4 )+1的 点评: :三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生 理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练 1.将 y=sin2x的图像怎样变换得到函数 y=cos(2x- 4 )的图像? 解: :y=sin2x=cos( 2 -2x)=cos(2x- 2 ). 在 y=cos(2x- 2 )中以x-a 代 x,有
25、 y=cos2(x- a)- 2 =cos(2x- 2a- 2 ).根据题意,有 2x-2a- 2 =2x- 4 ,得 a=- 8 . 所以将 y=sin2x的图像向左平移 8 个单位长度可得到函数 y=cos(2x- 4 )的图像. 2.如何由函数 y=3sin(2x+ 3 )的图像得到函数 y=sinx的图像？ 解 法 一 :y=3sin(2x+ 3 1 纵坐标缩短到原来的 倍 ) y=sin(2x+ 3 3 ) 纵坐标缩短到原来的 2倍 y=sin(x+ 3 向右平移 ) 3 y=sinx. 解 法 二 :y=3sin(2x+ 3 )=3sin2(x+ 6 1 向右平移 纵坐标伸长到原来
26、的 倍 ) 6 y=3sin2x y=sin2x 3 纵坐标伸长到原来的 2 y=sinx. 倍 3.(2007 山东高考,4)要得到函数 y=sinx的图像,只需将函数 y=cos(x- 3 )的图像( ) A.向右平移 6 个单位 B.向右平移 3 个单位 8 C.向左平移 答案: :A 知能训练 3 个单位 D.向左平移 6 个单位 课本本节练习 1 1、2、3. 课堂小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新 的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出 y=Asin(x+ 3 )的图像,并分别观
27、察参数 、A 对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化 归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换. 作业 1.用图像变换的方法在同一坐标系内由 y=sinx的图像画出函数 y=- 1 2 sin(-2x)的图像. 2.要得到函数 y=cos(2x- 4 )的图像,只需将函数 y=sin2x 的图像通过怎样的变换得到? 3.指出函数 y=cos2x+1与余弦曲线 y=cosx的关系. 解答: :1.y=- 1 2 sin(-2x)= 1 2 sin2x,作图过程: 1 1 1 横坐标变为原来的 倍 纵坐标变为原来的 倍 y=sinx y sin
28、 2x 2 y sin 2x. 2 2 纵坐标不变 横坐标不变 2.y=cos(2x- )=sin +(2x- )=sin(2x+ 4 2 4 4 将曲线 y=sin2x向左平移 个单位长度即可. 8 3.y=cos2x+1, )=sin2(x+ 8 ), 将余弦曲线 y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的 即可得到曲线 y=cos2x+1. 设计感想 1 2 ,再将所得曲线向上平移 1 个单位长度, 1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母 、A 对函数及图像变化的影响.因此本 节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具, 从整体上探究参数 、 、A 对函 y=Asin(x+)图像整体
29、变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学 生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者. 2.对于函数 y=sinx的图像与函数 y=Asin(x+)的图像间的变换,由于“平移变换”与“伸 缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换 的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同. 3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变 量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部 变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习. 第 2 2 课时
30、 导入新课 思路 1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数 、A 对函数 y=Asin(x+)的图像 9 的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数 y=Asin(x+)( 其中 A0, 0,0)的图像变换及其物理背景.由此展开新课. 思路 2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数 y=4sin( 1 2 x- 3 )的简 图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所 学内容的基础上展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数 y=Asin(x+)的图像时,列表中最关键的步 骤是
31、什么？ (1)把函数 ysin2x 的图像向_平移_个单位长度得到函数 ysin(2x 3 )的图像；(2)把函数 ysin3x 的图像向_平移_个单位长度得到函数 y sin(3x 6 )的图像；(3)如何由函数 ysinx 的图像通过变换得到函数 ysin(2x+ 3 )的图 像？ 将函数 y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 2 个单位长度,所得到 的曲线是 y= 1 2 sinx 的图像,试求函数 y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示 各自 解法) 1 2 甲生:所给问题即是将 y= sin
32、x 的图像先向右平移 2 图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 个单位长度,得到 y= sin(x- )的 2 2 1 1 1 ,得到 y= sin(2x- ),即 y=- 2 2 2 2 cos2x 的图像,f(x)=- 1 2 cos2x. 乙生: 设 f(x)=Asin(x+), 将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 得到 y=Asin( x+)的图像,再将所得的图像向左平移 个单位长度,得到 y=Asin( x+ +)= 2 2 2 2 1 1 sinx,A= , =1, +=0, 2 2 2 2 1 1 1 即 A= ,=2,=- .f(x)= sin(2x
33、- )=- cos2x. 2 2 2 2 2 丙生:设 f(x)=Asin(x+),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( 2 x+) 的 图 像 , 再 将 所 得 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 , 得 到 y=Asin 2 (x+ )+=Asin( ( x ) 2 2 4 1 A= , =1, +=0. 2 2 4 1 2 sinx, 10 1 解得 A= ,=2,=- , 2 2 1 1 f(x)= sin(2x- )=- 2 2 2 cos2x. 活动: :问题,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并 回忆
34、 A、 对函数 y=Asin(x+)图像变化的影响.引导学生回顾“”五点作图法 ,既复 习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致 这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及 使用诱导公式的综合能力. 问题,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“”逆变换 ,即将 以上变换倒过来,由 y= 1 2 sinx 变换到 y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设 y=Asin(x+),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,
35、这种思路清晰,但值 得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将 y=Asin( 2 x+)的图像向左平移个 单位长度时, 把 y=Asin( x+) 函数中的自变量 x 变成 x+ , 应该变换成 y=Asin 2 2 2 (x+ )+,而不是变换成 y=Asin( x+ +),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是 2 2 2 正确的. 三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就 会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变 换是对自变量 x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误. 讨论结果: :
36、将 x+ 看作一个整体,令其分别为 0, 2 , 3 2 ,2. (1)右, 6 ；(2)左, 18 ；(3)先 ysinx的图像左移 3 ,再把所有点的横坐标压缩到原来的 1 2 倍(纵坐标不变). 略. 提出问题 回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的 函数关系吗？ 回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与 A、 有何关系. 活动: :教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、 、 与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函 数解析式有如下形式
37、:y=Asin(x+),x0,+),其中 A0,0.物理中,描述简谐运动 的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅, 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是 T= 2 ,这是做简谐 l 运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式 f= = 给出,它是做简 T 2 谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;x+ 称为相位; x=0 时的相位 称为初相. 讨论结果: :y=Asin(x+),x0,+),其中 A0,0. 11 略. 应用示例 例 1 图 1 是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题: (1)这个简
38、谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. 图 1 活动: :本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知 识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考 y=Asin(x+)中的参数 、A 在图像 上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清 、A 等参数在图像上是 如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完 成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数 y=Asin(x+)的图像的
39、思想方 法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解: :(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为 2 cm;周期为 0.8 s;频率为 5 4 . (2)如果从 O 点算起,到曲线上的 D 点,表示完成了一次往复运动;如果从 A 点算起,则到曲线上 的 E 点,表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(x+),x0,+), 那么 A=2;由 2 =0.8,得 = 5 2 ;由图像知初相 =0. 于是所求函数表达式是 y=2sin 5 2 x,x0,+). 点评: :本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法 数形结合
40、的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函数 y=6sin( 1 4 x- 6 )的振幅是_,周期是_,频率是_,初相是 _,图像最高点的坐标是_. 解: :6 8 1 8 - 6 (8k+ 8 3 ,6)(kZ Z) 例 2 若函数 y=Asin(x+)+B(其中 A0,0)在其一个周期内的图像上有一个最高点 ( 12 ,3)和一个最低点( 7 12 ,-5),求这个函数的解析式. 活动: :让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为 y=Asin(x+)+B( 其中 A 0, 0),这是学生未遇到过的. 教师应引导学生思考它与 y=Asin(x+
41、)的图像的关系,它只是把 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图像向上(B0) 或向下(B0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的 x 的值之差的绝对值只 是半个周期.这里 的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例 1 那样 能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|,如不注明,就取离 y 轴最近的一 个即可. 12 解: :由已知条件,知 ymax=3,ymin=-5, 则 A= 1 2(y max-ymin)=4,B= 1 2(y max+ymin)=-1, T 2= 7 12 - 1 2 = 2. T=,得 =2. 故有 y=4sin(2x
42、+)-1. 由于点( 12 ,3)在函数的图像上, 故有 3=4sin(2 12 +)-1, 即 sin( 6 +)=1. 一般要求| 12 ,故取 6 += 2 . = 3 . 故所求函数的解析式为 y=4sin(2x+ 3 )-1. 点拨: :这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草 图,结合图像可直接求得 A、,进而求得初相 ,但要注意初相 的确定.求初相也是这节课 的一个难点. 变式训练 例 1 已知函数 y=Asin(x+)(其中 A0,0)一个周期的图像如图 2 所示,求函数的解析 式. 图 2 解: :“”根据 五点法 的作图规律,认清图像中
43、的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应 的方程 xi+=0, 2 , 3 2 ,2(i=1,2,3,4,5),得出 的值. 方法一:由图知 A=2,T=3, 由 2 =3,得 = 2 3 , y=2sin( 2 3 x+). “”由 五点法 知,第一个零点为( 3 4 ,0), 2 3 3 4 +=0 =- 2 , 故 y=2sin( 2 3 x- 2 ). 方法二:得到 y=2sin( 2 3 x+)同方法一. 13 “”由图像并结合 五点法 可知,( 3 4 ,0)为第一个零点,( 9 4 ,0)为第二个零点. 2 3 9 4 += =- 2 . y=2sin( 2 3 x- 2 )
44、. 点评: :要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用 x1+=0 或 x2+= 求出 . 2.(2007 海南高考,3)函数 y=sin(2x- 3 )在区间- 2 ,上的简图是( ) 图 3 答案: :A 知能训练 课本本节练习 2 1、2、3. 课堂小结 1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到 复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图像变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图像,这种题 目的解题的思路是:如果函数同名,则按两种变换方法的步骤进行即可；如果
45、函数不同名,则将 异名函数化为同名函数,且需 x 的系数相同.左右平移时,如果 x 前面的系数不是 1,需将 x 前面 的系数提出,特别是给出图像确定解析式 y=Asin(x+)的题型.有时从寻找“五点法”中的 第一零点(- 作业 ,0)作为突破口,一定要从图像的升降情况找准第一零点的位置. 把函数 y=cos(3x+ 4 )的图像适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图像,这种变动可以是( ) A.向右平移 4 B.向左平移 4 C.向右平移 12 D.向左平移 12 解析: :y=cos(3x+ 4 )=sin( 4 -3x)=sin-3(x- 12 ), 由 y=sin-3(x- 答
46、案:D 12 )向左平移 12 才能得到 y=sin(-3x)的图像. 14 点评:本题需逆推,教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的 4 -3x需写 成-3(x- 12 ),这样才能确保平移变换的正确性. 设计感想 1.本节课符合新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学生 层层深入,培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因素促 进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一. 2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下,让学生积极、主 动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的过程中,感受数学知识的魅 力,成为学习的主人.新课改