《高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例自主训练北师大版必修420170825351.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例自主训练北师大版必修420170825351.wps（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.72.7 向量应用举例 自主广场 我夯基 我达标 1.过点 A（2，3），且垂直于向量 a a=（2，1）的直线方程为（ ） A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 思路解析：利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点 P（x,y）的坐标，则 AP a a，又 AP =(x-2,y-3)，2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为 2x+y-7=0. 答案：A 2.(全国高考卷 ，理 8)已知点 A（ 3 ，1），B（0，0）,C（ 3 ，0）.设BAC 的平分线 AE 与 BC相交于 E，那么有 BC=CE ,其中 等于（ ） 1 1
2、A.2 B. C.-3 D. 2 3 AB =2，BE=2EC.| BC |=3| BE 思路解析：方法一：在ABC 中，AC=1,BC= 3 ,AB=2. AC EC CE |. |=3.又 BC 与CE 方向相反，0. =-3. 方法二：设 E(x,0)，则 AB =( 3 ,1)， AE =(x- 3 ,-1), AC =(0,1).AE平分BAC， AB AE BAE=BAC.又cos AB ,AE = | AB | AE | ,cos AC ,AE = AC AE | AC | AE | , AB AE | AB | AE | = AC AE | AC | AE | . AB AE
3、AC AE | AB | | AC | . 3 x ( 3) 1 2 1 ，解得 x= 2 3 3 . E( 2 3 3 ,0). BC =( 3 ,0), CE =(- 3 3 ,0). BC =-3CE .=-3. 答案：C 3.在ABC 中，C=90， AB =(k,1),AC =(2,3),则 k 的值是（ ） 1 A.5 B.-5 C. 3 2 D. 3 2 思路解析：由题意，得 BC =AC -AB =(2,3)-(k,1)=(2-k,2)，C=90， AC BC . AC BC =0.2(2-k)+32=0.k=5. 答案：A 4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为 v1、水速为
4、v2，已知船垂直到达对岸，则（ ） A.|v v1|v v2| B.|v v1|v v2| C.|v v1|v v2| D.|v v1|v v2| 思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量 v v1在水流方向上的分量与向量 v v2大小 相等，方向相反，由此即得|v v1|v v2|. 答案：B 5.(福建高考卷，理 11)已知|OA|=1,|OB |= 3 ,OAOB =0，点 C 在 AOC 内，且 AOC=30.设OC =mOA+nOB (m,nR R)，则 m n 等于（ ） A. 1 3 B.3 C. 3 3 D. 3 思路解析：由已知，不妨设OA=（1，0），OB =（0，
5、 3 ），OC =（x0，y0）. AOC=30,y0= 3 3 x0. OC =(x0, 3 3 x0).OC =mOA+nOB . (x0, 3 3 x0)=(m, 3n ). x0=m, 3 3 x0= 3n . m n =3. 答案：B 6.(四川高考卷，理 7)如图 2-7-8所示,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大 的是（ ） 图 2-7-8 A.P B. 1P P P 2 1 3 P1P P P C. 2 1 4 P D. 1P PP 2 1 5 P 1P P P 2 1 6 2 思路解析：设边长|P1P |=a a，则P2P1P3= 2 6 .|P1
6、P |= 3 a a, 3 P1P P P =a a 3 a a 2 1 3 3 2 = 3 a 2 2 ， P 2 P 1 P 4 = 3 , | P 1 P | = 2 a a , 4 P = a a 2 a a 1 P P P 2 1 1 2 =a a2, 0,数量积中最大的是P1P P P . 2 1 3 答案：A 7.(2006 东北三校二模，14)已知向量 a a=(6,2)，b b=(- 4, 1 2 )，直 线 l 过点 A(3,-1)且与向量 a a+2b b 垂直，则直线 l 的方程为_. 思路解析：由题意，得 a a+2b b=(-2,3)，则直线 l 的方程为(-2)(
7、x-3)+3(y+1)=0，即 2x-3y-9=0. 答案：2x-3y-9=0 我综合 我发展 8.(2005 上 海 春 季 高 考 卷 ， 5) 在 ABC 中 ， 若 C=90 ， AC=BC=4 ， 则 BA BC =_. 思路解析：由于 AC=BC，C=90，则ABC 是直角三角形,|AB |=4 2 ， BA ， BC =45. 所以 BA BC =|BA |BC |cos BA ,BC =4 2 4cos45=16. 答案：16 9.已知三个力 F F1=（3，4），F F2=（2，-5），F F3=（x，y）的合力 F F1+F F2+F F3=0. 求 F F3的坐标. 思路
8、分析：把力看成向量，将 F F1+F F2+F F3=0 变为坐标的形式就可以得到结论. 解：由题设 F F1+F F2+F F3=0，得 （3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0）， 即 3 4 2 5 x y 0, 0. x y 5, 1. F3=（-5，1）. 10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点. 思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高 BE、CF 交于点 H，再证明 AH 与 BC垂直即证明 AH BC 可说明结论成立 证明：已知：如图 2-7-9所示.AD、BE、CF是ABC 的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点. 图 2-7-9 证法
9、一：设两条高 BE、CF交于点 H, 设 AB =a a， AC =b b, 3 则 BH AH -a a，CH AH -b b， BC =b b-a a. BH AC ，CH AB ， BH AC =0，CH AB =0. （ AH -a a）b b=0，（ AH -b b）a a=0. （ AH -a a）b b=（ AH -b b）a a. 化简得 AH （b b-a a）=0，即 AH BC =0. AH BC . AHBC, 即 AD、BE、CF交于一点. 证法二：如图 2-7-10 所示，以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设 B(c,0),C(m,n)
10、,H(m,y). 图 2-7-10 则有 BH =(m-c,y),AC =(m,n), BC =(m-c,n)， AH =(m,y),AB =(c,0). BH AC ， m(m-c)+ny=0. 解得 y= mc m2 n .AH=(m, mc m2 n ). AHBC=m(m-c c)+n mc m2 n =m(m-c c)+mc c-m2=0. AH BC .AHBC. 故 AD、BE、CF交于一点. 11.如图 2-7-11,有两条相交成 60的直线 xx1、yy1,交点为 O.甲、乙分别在 Ox、Oy1上,起初 甲位于离 O 点 3 km的 A 处,乙位于离 O 点 1 km的 B
11、处.后来两个人同时用每小时 4 km 的速度, 甲沿 xx1的方向,乙沿 yy1的方向运动. 问：(1)起初两个人的距离是多少? (2)什么时候两人的距离最近? 4 图 2-7-11 思路分析：把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人 t 时刻的位置和 O 三点形成三角形,通过 对三角形有关量的求解便可实现解题的目的. 解：(1)起初两人分别在 A、B 两点,则|OA|=3,|OB |=1. | AB |2=(OA+OB )2 =OA2+2OAOB +OB 2 =|OA|2+|OB |2-2|OA|OB |cos60 =9+1-231 1 2 =7. | AB |= 7 km,即起初两人相距 7
12、千米. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q， PQ =OQ -OP ，| PQ |2=(OQ -OP )2=|OQ |2-2OQ OP +|OP|2 =|OQ |2+|OP |2-2|OQ |OP |cosOP ,OQ . 当 0t 1 4 时，|OQ |=1-4t,|OP |=3-4t,OP ,OQ =60, |PQ |2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60=48t2-24t+7. 当 1 4 t 3 4 时，|OQ =|4t-1,| OP |=3-4t,OP ,OQ =120， |PQ |2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120=48t2-24t+7. 当 t 3 4 时，|OQ |=4t-1,| OP |=4t-3,OP ,OQ =60, |PQ |2=(4t-1)2+(4t-3)2-2(4t-1)(4t-3)cos60=48t2-24t+7. 1 综上得|PQ |2=48t2-24t+7=48(t- )2+4,t0,+). 4 1 当 t= ，即在第 15分钟末时， PQ 最短，两人最近，最近距离为 2 km. 4 5