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1、2.72.7 向量应用举例 5 5 分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知点(a,2)(a0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 的值为（ ） A. 2 B.2- 2 C. 2 -1 D. 2 +1 解析: :指由点到直线距离公式得 | a 2 3 | | a 1 (1) 2 2 1| 2 , | a 1| 1 , 2 |a a+1|= 2 . 又 a a0, a a= 2 -1. 答案: :C 2.已知三个力 F F1=（3，4），F F2=（2，-5），F F3=（x，y）的合力 F F1+F F2+F F3=0，则 F F3 的坐标为 （ ） A.(5,-1) B.(
2、-5,1) C.(-1,5) D.(1,-5) 解析：由题设 F F1+F F2+F F3=0， 得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0）， 即 3 4 2 5 x y 0, x 0. y 5, 1. F F3=(-5,1). 答案: :B 3.已知两个力 F F1和 F F2的夹角是直角，如图 2-7-1所示，且已知它们的合力 F F 与 F F1的夹角是 60，|F F|=10 N，求 F F1和 F F2的大小. 图 2-7-1 解：|F1|=|F|cos60=10 1 2 =5 N， |F2|=|F|sin60=10 3 2 =5 3 N， F1的大小为 5 N，F2的大小为
3、 5 3 N. 4.如图 2-7-2所示，一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河 1 水的流速为 2 km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）. 图 2-7-2 解：设 AD 表示船垂直于对岸行驶的速度， AB 表示水流的速度，以 AD、AB为邻边作平行四 边形 ABCD，则 AC 就是船的实际航行的速度. 在 RtABC 中，|AB |=2，|BC |=2 3 ， 所以|AC |= | AB |2 | BC |2 =4. 2 3 因为 ta anCAB= = 3 CAB=60. 2 所以，船的实际航行速度的大小为 4 km/h，
4、方向与水流速间的夹角为 60. 1010分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列向量中，是直线 y=2的法向量的是( ) A.n n=（0，1） B.n n=（-1，0） C.n n=（1，1） D.n n=（-1，-1） 解析：直线 y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量. 答案: :A 2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量 知识加以解释. 解：设小孩的体重为 G，两胳膊受力分别为 F F1、F F2，且 F F1=F F2，两胳膊的夹角为 ，胳膊受力 分析如右图(不记其他因素产生的力)，不难建立向量模型：
5、 | G | |F F1|= ,0, 2 cos 2 | G | 2 当 =0 时，|F F1|= ;当 = 时，|F F1|=|G G|；又 (0, )时，|F F1|单调递增， 2 3 2 2 2 | G | 2 故当 (0, )时,F F1( ,|G|),当 ( ,)时，|F1|G|. 3 2 3 此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤. 3.某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为 2a时，感 到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向. 解：设 a a 表示此人以每小时 a a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a a， 2 设实际风速为 v
6、，那么此时人感到的风速为 v v-a a. 设OA=-a a,OB =-2a a. PO +OA=PA , PA =v-a a. 这就是感到由正北方向吹来的风速. PO +OB =PB , PB =v v-2a a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB .由题意知 PBO=45，PABO， BA=AO，可知POB 为等腰直角三角形， PO=PB= 2 a a，即|v|= 2 a a. 实际风速是 2 a a 的西北风. 4.已知两恒力 F F1=(3,4),F F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点 A(20，15)移动到点 B(7，0).试 求： (
7、1)F F1、F F2分别对质点所做的功； (2)F F1和 F F2的合力 F F 对质点所做的功. 解： AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W1=F F1AB =(3,4)（-13，-15）=-99（焦耳）. W2=F2AB =（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）. （2）W=FAB=（F1+F2）AB =（3，4）+（6，-5）（-13，-15）=（9，-1）（-13， -15）=-102（焦耳）. 5.如图 2-7-3所示，有两条相交成 60的直线 xx1、yy1的交点为 O.甲、乙分别在 Ox、Oy1上， 起初甲位于离 O 点 3km 的 A 处
8、，乙位于离 O 点 1km 的 B 处.后来两个人同时用每小时 4km 的速 度，甲沿 xx1 的方向，乙沿 yy1 的方向运动(如图 2-7-4 所示，三角形中有如下结论： b2=a2+c2-2accosB).试求： 图 2-7-3 图 2-7-4 (1)起初两个人的距离是多少? (2)什么时候两人的距离最近? 3 解：(1)起初两人分别在 A、B 两点，则|OA|=3,|OB |=1. | AB |=|OA|2+|OB |2-2|OA|OB |cos60=9+1-231 1 2 =7. | AB |= 7 km，即起初两人相距 7 km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q
9、,则|AP |=4t,|BQ|=4t, 又甲沿 xx1的方向，乙沿 yy1的方向运动， 当 0t 3 4 时， |RQ |2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7; 3 当 t 时，|RQ |2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120=48t2-24t+7(t0), 4 1 综上,|RQ |2=48t2-24t+7=48(t ) 2+4,t0,+). 4 1 当 t= ，即在第 15 分钟末时，PQ 最短，两人最近，最近距离为 2 km. 4 6.在静水中划船的速度是每分钟 40 米，水流的速度是每分钟 20
10、 米.如果从岸边 O 点出发，沿 着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里? 解：用向量OA的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用OB 表示船行进的方向，它的长 度表示船的速度.以OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，连结 OC. 依题意 OCOA，BC=OA=20，OB=40， BOC=30，船应向上游与河岸夹角为 30的方向行进. 3030分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.过点 A（2，3）且垂直于向量 a a=（2，1）的直线方程为( ) A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 解析： 法向量 a a=(2,1)
11、, 直线的斜率为 k= 2x+y-7=0. 答案：A 1 .又直线过定点 A(2,3), 直线方程为 2 2.若 AB =3e e，CD =5e e，且|AD |=|BC |，则四边形 ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形 解析：由 AB =3e e，CD =5e e，可知 AB 与CD 平行.又|AB |CD |，故四边形 ABCD 为梯形. 由|AD |=|BC |，可得四边形 ABCD 为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以 利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问 题. 4 答案：C 3.某人用
12、 50 N 的力（与水平方向成 30角，斜向下）推动一质量为 8 kg 的木箱沿水平平面运 动了 20 m，若动摩擦因数 =0.02，g 取 10 m/s2，则摩擦力 f f 所做的功为( ) A.42 J B.-42 J C.22 J D.-22 J 解析：f=（80+50sin30）0.02 N=2.1 N，又 f 与位移所成的角为 180， fs=|f|s|cos180=2.120（-1）J=-42 J. 答案：B 4.某人向正东走 xkm 后，又向右转 150，然后朝新方向走 3 km.结果他离出发点恰好 3 km， 那么 x 的值等于( ) A. 3 B.2 3 C. 3 或2 3
13、D.3 解析：由分析知|a a+b b|= 3 ，a a2+2a ab b+b b2=3. x2+6xcos150+9-3=0，即 x2-3 3 x+6=0. 解得 x= 3 或 2 3 . 答案：C 5.已知ABC 满足 AB 2=AB AC +BA BC +CA CB ，则ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解 析 ： AB 2=AB AC +BA BC +CA CB ， AB 2=AB （ AC -BC ） +CA CB ， 即 AB 2=AB （ AC +CB ）+CA CB . CA CB =0，即CA CB .故ABC 为直角三角形.
14、答案：C 6.已知一物体在共点力 F F1=（lg2，lg2），F F2=（lg5，lg2）的作用下产生位移 s=（2lg5，1）， 则这两个共点力对物体做的功 W 为( ) A.lg2 B.lg5 C.1 D.2 解析：F1+F2=（1，2lg2），s s=（2lg5，1）， 共点力对物体做的功 W=（F F1+F F2）s s=2lg5+2lg2=2. 答案：D 7.有两个向量 e e1=（1，0），e e2=（0，1），今有动点 P，从 P0（-1，2）开始沿着与向量 e e1+e e2相 同的方向做匀速直线运动，速度为|e e1+e e2|；另一动点 Q，从 Q0（-2，-1）开始沿着
15、与向量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e e1+2e e2|.设 P、Q 在时刻 t=0秒时，分别在 P0、Q0处， 则当 PQ P 时，t=_. 0Q 0 解析：由题意知 P P 0 =t（e e1+e e2）=（t，t），故 P 点坐标为（t-1，t+2）. 5 Q Q 0 =t（3e e1+2e e2）=（3t，2t），故 Q 点坐标为（3t-2，2t-1）. RQ =（2t-1，t-3），P0Q =（-1，-3）.又 RQ 0 P0Q ，即 RQ 0 P =0， 0Q 0 -2t+1-3t+9=0.解得 t=2. 答案: :2 8.一艘船从 A 点出发以 v1的速
16、度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 v2，船实际航 行的速度大小为 4 km/h，方向与水流间的夹角是 60.求 v1和 v2. 解：v1=vsin60=4 3 2 km/h=2 3 km/h， v2=vcos60=4 1 2 km/h=2 km/h. v1的大小为 2 3 km/h，v2的大小为 2 km/h. 9.在ABC 内求一点 P,使 AP 2+BP 2+CP 2的值最小. 解: :如图,设CA =a a,CB =b b,CP =x, 则 AP =x-a a,BP =x-b b, AP 2+BP 2+CP 2=(x-a a)2+(x-b b)2+x2=3x2-2(a a+b b)x+b b2=3x- 1 3 (a a+b b)2+a a2+b b2- 1 3 (a a+b b)2. 根据向量运算的意义知,当 x= 1 3 (a a+b b)时, AP 2+BP 2+CP 2有最小值. 设 M 为 AB的中点,易知 a a+b b=2CM . 1 2 当 x= (a a+b b)时, CP = CM ,也即 P 为ABC 的重心时, 3 3 1 AP 2+BP 2+CP 2的值最小,为 a a2+b b2- (a a+b b)2. 3 6