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1、课时跟踪检测（十九） 难点自选函数与导数压轴大题的 3大难点及破解策略1定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)ln xax1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0；所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，)上有2个零点所以等价于方程a在(0，)上有2个根所以等价于ya与g(x)(x0)的图象有2个交点g(x)，x(0,1)(1，)g(x)所以g(x)的最大值为g(1)1.因为x0时，g(x)；x时，由洛必达法则可知：lig(x)li li 0，所以0ag(1)，所以0a0.解：(1)f(x)ex，由f(0)0，得m1
2、，所以f(x)ex，f(x)ex0，又由f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0.所以函数f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明：依题意，f(x)ex.令f(x0)0，则ex00，且f(x)ex0，所以函数f(x)在区间(m，)上单调递增则当x(m，x0)时，f(x0)0，故函数f(x)在(m，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增所以f(x)minf(x0)ex0ln(x0m)又x0满足方程ex0，则f(x0)ex0ln(x0m)ln ex0x0x0mm2m2m0不等号取等号的条件是不等号取等号的条件是m2.由于不等号、不能同时取等号，故f(x0)0，即f(x)
3、min0，因此f(x)0.3已知函数f(x)axc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)试用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)恒成立，求a的取值范围解：(1)ba1，c12a.(2)题设即“a(x1)，或a(x1) 恒成立”用导数可证函数g(x)(x1)2(x1)xln x(x1)是增函数(只需证g(x)xln x10(x1)恒成立，再用导数可证)，所以g(x)g(1)0(x1)，当且仅当x1时g(x)0，得1)，li .所以若a(x1)恒成立，则a，即a的取值范围是.4(2019安徽二校联考)已知函数f(x)m(a，mR)在xe(e为自然对数的底数)时取得
4、极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：ln x1ln x22.解：(1)f(x)，由f(x)0，得xea1，且当0x0，当xea1时，f(x)0)，f(x)，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，f(e)m.又x0(x0)时，f(x)；x时，f(x)m，f(x)有两个零点x1，x2，故解得0m.所以实数m的取值范围为.(2)证明：不妨设x12，只需证ln x1x22，只需证m(x1x2)2，即证ln2.即证ln2，设t1，则只需证ln t.即证ln t0.记u(t)ln t(t1)，则u(t)0.所以u(t)在(1，)上单调
5、递增，所以u(t)u(1)0，所以原不等式成立，故ln x1ln x22.5(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明：不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.5