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1、Mathematical Contest in Modeling,第3讲: 层次分析法(AHP)建模,1,层次分析法的基本步骤,一 般 的 思 维 过 程,例1:(假日旅游) 有P1,P2,P3三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据有:景色,费用, 饮食,居住和旅途.,要比较某一层n个因素x1,x2,xn对上一层一个因素Z的影响,可从x1,x2,xn中任取 xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重要性)大小.按照如下”19比例尺度”给xi/xj赋值.,某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的 比较矩阵如下:,得到:,A=(xij), xij0,xji=
2、1/xij,其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要.其他类同.,什么是权重(权系数)?,在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, , xn的线性组合:,其中 . 则 叫各因素对于目标Z的权重, 叫权向量.,做成对比较时得到,一般地,如果一个正互反矩阵A满足 aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, , n 则称A为一致性矩阵，简称一致阵.,一致阵的性质: A的秩为1,A的唯一非零特征根为n; A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量.,若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各
3、因素对上一层因素Z的权向量.,判断矩阵的一致性检验,判断矩阵通常是不一致的,但是为了能用它的对应于特征根的 的特征向量作为被 比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?,一致性指标,CI=0时A一致; CI越大,A的不一致性程度越严重!,一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围),随机一致性指标RI,当CR0.1时,A的不一致性程度在容许范围内,此时可用A的特征向量作为权向量!,判断矩阵的一致性检验,就是权向量,在”旅游问题”中已经得到了第2层(准则层)对于第1层(目标层)的权向量,记为,即,用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵,不妨设
4、为:,计算组合权向量,为什么是5个？, 最大特征根 ,以及一致性指标CIk如下表:,由于n=3时,RI=0.58,因此由CR=CI/RI,知A以及各Bk均通过一致性检验!,注意:若以上有没通过一致性检验者,则必须在返回重新构造判断矩阵(叫一致性改进)!,组合权向量: 由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量计算各方案 对目标的权向量,该向量就叫组合权向量.,方案P1在目标中的组合权重应为相应项的两两乘积之和,即:,同理可得方案P2,P3在目标中的组合权重分别为0.264和0.456,于是得到方案层对于目标层的权向量为:w(3)=(0.300,0.264,0.456)T,说明应以P3作为
5、第一选择地点,由上面的计算可得一般的计算步骤如下:,组合一致性检验,进行组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.,组合一致性检验可逐层进行.若第p层的一致性指标为 ,(n,是第p层因素的数目),随机一致性指标为 ,定义,则第p层的组合一致性比率为,第p层通过组合一致性检验的条件为,定义最下层(第s层)对第1层的组合一致性比率为,对于重大项目,仅当CR(*)适当地小时,才认为整个层次的 比较判断通过一致性检验.,旅游问题中: CI(3)=0.00176, RI(3)=0.58, CR(3)=0.003 已有CR(2)=0.016 于是CR*=0.019 通过一致性检验!, 最
6、大特征根 ,以及一致性指标CIk如下表:,由于n=3时,RI=0.58,因此由CR=CI/RI,知A以及各Bk均通过一致性检验!,注意:若以上有没通过一致性检验者,则必须在返回重新构造判断矩阵(叫一致性改进)!,Mathematical Contest in Modeling,新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-08,思考 CI（3）的计算中，0.003是方案层对第一个准则的一致性指标，而0.263又是第一个准则对目标层的权重，二者相乘实际上可以理解为第一个准则的一致性指标对目标层的实际贡献（加了权重），类似0.001与0.475乘积反应了第二个准则的一致性指标对目标层的实际贡献。五项
7、乘积之和，为所有准则的一致性指标对目标层加权和，也可理解为是对所有准则一致性指标的加权平均。,Mathematical Contest in Modeling,新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-08,例2. 干部选拔,有三个干部候选人Y1, Y2, Y3, 选拔的标准有5个:品德,才能,资力,年龄,群众关系.如何选择三人之一?,例3.科技成果的综合评价:,其他,总结:层次分析法的基本步骤,1. 建立层次结构模型,深入分析问题,将有关各因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次.同一层 诸因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响,同时又字陪下一层的因素或 受到下层因素的作用.同一层的因
8、素之间应尽量独立.,2. 构造成对比较矩阵,从层次结构模型的第2层开始,对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层因 素,用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵,只到最下层.,3. 计算权向量并做一致性检验,对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应的特征向量(见书本或用MATLAB), 利用一致性指标,随机一致性指标和一致性比率做一致性检验.若通过检验,特征向 量(归一化后)即为权向量;否则,重新构造.,4. 计算组合权向量并做一致性检验,略,练习,某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。,目标层,选一领导干部,准则层,方案层,建立层次结构模型,假设3人关于6个标准的判断矩阵为：,健康情况,业务知识,写作能力,口才,政策水平,工作作风,