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1、Review,The boundary conditions for static electric field Boundary between two media: the tangential component of the electric field is continuous; the difference of the normal component of the electric displacement vector equals the surface charge density; Boundary between two dielectric media; Boun
2、dary between dielectric and conductor,Review,Capacitor and capacitance: an isolated conductor, two insulated conductors, three or more conductorspartial capacitance Energy stored in electrostatic field, energy density.,Review,Current and current density Conduction current and convection current Elec
3、tromotive force The principle of the conservation of charges Stationary current density field: equation, boundary condition, Ohms Law, Joules Law, the similarity between electrostatic field and the stable current density field,电磁场理论第四周讲稿,2.8 静电场的能量 3.1 电流密度和电荷守恒定律 3.2 稳恒电流的电场 3.3 安培定律和磁感应强度 作业1：2-40
4、,41,42 作业2：3-4,6,8,2.8 静电场的能量,1、带电体系统的电场能量 2、电场的能量密度 例题,3.1 电流密度和电荷守恒定律,1、电流与电流密度 2、传导电流和运流电流 3、电动势 4、电荷守恒,3.2 稳恒电流的电场,1、导电媒质中稳恒电场的基本方程 2、稳恒电场的边界条件 例题 3、焦耳定律 4、欧姆定律 5、导电媒质中稳恒电场的静电比拟与电导 例题,3.3 安培定律和磁感应强度,1、安培定律 2、磁感应强度与毕奥萨伐尔定律 例题 3、洛仑兹力,带电体系统的电场能量,把每个带电体看作一个不可分割的整体，则将各带电体从无限远处移至现在位置所作的功等于它们之间的相互作用能（互
5、能）；而把某一个带电体上的各部分电荷从无限分散的状态聚集起来所作的功等于该带电体的固有能或自能。因此，带电体系统总的静电场能量应等于各带电体之间的相互作用能和每个带电体的固有能之总和。,带电体系统的电场能量,带电体系统的电场能量,Q1,Q3,Q2,i,组装导体i，有自能出现,带电体系统的电场能量,Q11,Q33,Q22,i,Q1,Q1,Q2,Q11,Q3,Q22,(1),(2),(3),(4),组装系统，牵涉到互能,带电体系统的电场能量,可以设想使各带电体到处的电荷密度从零开始按照 同一比例逐渐增加到其最终值。令此比值为 ，并 应满足 。若带电体最终的电荷密度为 、 电势为 、电荷面密度为 ，
6、则在达到这一分布 过程中的任一中间时刻，系统的电荷密度、电荷面密 度和电势分别为 ，这时若使系统的某一体积 元内的电荷密度 与面元 上的电荷面密度分别增加,带电体系统的电场能量,则外源所需作的功即电场能量的增加量为,将上式进行积分，便得到系统的电场总能量，即,带电体系统的电场能量,只有面分布(导体)时,只有体分布 (介质)时,当系统中只有带电导体时，其电场能量则为,带电体系统的电场能量,因此，,个导体系统的电场总能是为,式中，,是系统中所有电荷在,处产生的电势，,由于每一导体表面都是等势面，故对第,i个导体表面，有,带电体系统的电场能量,当系统中只有一个带电体时，例如孤立导体的情形，上式仅 给
7、出它的固有能。由于孤立导体的电容,故它的电场能量可写为,同样地，两极板间电压为,的电容器所储存的电,场能量为,带电体系统的电场能量,对于由N个点电荷组成的系统，可以证明其电 场能量的表达式仍为,带电体系统的电场能量,r12,1,2,1,2,3,4,r12,r14,r13,r24,r34,r23,r23,r13,1,2,3,r34,r24,r14,1,2,3,带电体系统的电场能量,1,2,3,4,三角阵对称矩阵,电场的能量密度,由前面可知,考虑到：,导体系统，所以，S包含S和S0两部分,VS分别为带电体 的体积和表面积,电场的能量密度,电场的能量密度,由上图可知,前面一项积分为0，故：,在均匀、
8、线性和各向同性 的介质中，上式可写为,称作能量密度,电场的能量密度,由任意两个绝缘导体所组成的电容器，其电容可以通过它所储存 的电场能量来计算，即,或,式中,遍及有电场的全部区域。,例题,已知同轴线内外导体的半径分别为 和 ，其间填充介电常数为的介质 （如图)，并设内外导体单位长度的带电量分别为 和 。试求单位长同轴线中储存的电场能量与电容。,计算电容的方法小结： 1、设Q求U； 2、设U求Q； 3、场能法。,例题,例2.12 求填充两种介质同轴线的电容，已知两个极板间的电压为U。,故场强为 单位长的电容,电流与电流密度,电荷在电场的作用下有规则的运动形成电流。电流是单位时间内通过导体中任一横
9、截面的电荷量，即,I？,电流与电流密度,在导电媒质内部各点电流的分布一般是不同的。电流的分布可以用一个矢量场（即电流场）来描述，该矢量场在空间各点不仅规定了流动的强度，而且规定了它的方向。与流体力学中相似，我们可以设想有许多流线（电流线），它们在各处都与流动的方向相切。假定某一面积与流线正交，则对于面上某一点可以定义一矢量,其方向沿着通过该点的流线，大小则等于通过该点附近单位横截面积的电流，即,电流与电流密度,通过任一面积,的电流则等于电流密度,穿过该面的通量，即,ds,J,电流与电流密度,如果电流只分布于导电媒质的表面上，我们可用面电流密度,（即面电流线密度）来描写电流的分布，其方向仍为流线
10、方向，其值则等于通过单位长度横截线的电流，即,于是通过导电媒质表面上任一线段,的电流为,J,l,传导电流和运流电流,导电媒体中自由电子或空穴在电场的作用下定向移动所形成的电流叫传导电流。 真空或气体中的自由电荷在电场的作用下形成的电流称为运流电流（例如电子管、离子管或粒子加速器中的电流）。,电动势,稳恒电流是电流的大小及其正或负都不随时间而变化的电流，即直流电流。导体中要维持一个稳恒的电流就必须与直流电源相接。（why？） 亦即必须有外源作用。,电动势,在闭合电流的回路中，仅有静电场是不行的，这是因为：,而事实与此形成矛盾。,电动势,在闭合回路中，还有其他的力存在。单位电荷受到的这种力的效果和
11、电场一样，故称之为外场，附加场。另外，由于电荷在绕环路一周时，如果全部只有静电场，则静电场对他没有做功；但考虑到电子之间的碰撞必然损失能量，而这部分能量的由来也比较成问题。必然有非保守力存在。 电源的电动势可以用单位电荷绕闭合电路一周外源所做的功来表示，所以有：,电动势,如果电源内部是理想导体（完纯导体，,），即其内阻为零，,，故有,，于是,则,电荷守恒,在导电媒体内部任意取一个闭合的曲面S，可以计算单位时间内流出该曲面的电荷；则根据电荷守恒定律，曲面内部的电荷必然会减少相应的数目，用数学公式表达出来，即：,利用散度定理，很容易得到：,在稳恒电流的情况下，有：,（由此可以得到电路理论中的克希霍
12、夫第一定律）,电荷守恒,导电媒质中稳恒电场的基本方程,当导体构成的闭合回路中有直流电源时，回路中便会出现恒定电流(直流)。这个恒定电流是导体中的自由电荷在电场力作用下产生的定向运动，可见导体中存在电场，这个电场称为恒定电场。导体中的电场是导体所聚积的电荷产生的。在大多数情形下，电荷是分布在导体表面。但其分布和静电场不同，导体内部的电场不会互相抵消，其结果在导体内引起恒定电流。在恒定电流情形，导体表面电荷的分布和它产生的电场都不随时间改变、所以电场的性质和静止电荷的场(即静电场)是相同的，即它们都是位场。 谢处方 饶克谨 高等学校试用教材 电磁场与电磁波,导电媒质中稳恒电场的基本方程,导电媒质中
13、恒定电流是依靠外电源维持的。电源内部的非静电力将正电荷从负极移到正极，或将负电荷从正极移动到负极，电源两极积累起来的正负电荷形成电场。该电场在导电媒质中引起电流。虽然电源正负极积累起来的电荷是随电流不断移动的。但在稳定条件下，电源正负极上积累的电荷量以及它所产生的电场都是不随时间发生变化的，在这种动态平衡条件下，由不变电荷量产生的电场，同静止电荷产生的电场相同。所以恒定电场也是保守场，该电场的旋度及沿闭合回路线积分也为零。 焦其祥 王道东编 电磁场理论,导电媒质中稳恒电场的基本方程,在稳恒电流情况下，导体内各点的电流密度不随时间变化，这就要求电荷分布也不随时间变化。这种由稳恒流动的电荷产生的电
14、场，称为稳恒电场，它也不随时间变化，与静止电荷产生的电场(静电场)有相同的性质，也是保守场，因而也称静电场。它可以存在于稳桓电流通过的导体内部和导体外部的空间区域。 电磁场与电磁波 全泽松,导电媒质中稳恒电场的基本方程,微分形式,积分形式,稳恒电场的边界条件,采用与静电场相类似的办法，可以得到如下的边界条件,例题,设同轴线内外导体的半径分别为,和,其间介质是非理想的，具有电导率,试求单位长同轴线的漏电导。,例题,已知空气中有一根半径为 、电导率为 的直导线，其中通有电流 ，表面均匀分布着密度为 的电荷。试求导线内及导线表面的电场强度。,a,x,y,例题,且 故线外表面处的场 电场不再与导线表面
15、垂直。 求半径为 a 的半球形接地器的接地电阻和跨步电压,例题,孤立球的电容 球的电导 半球的电导 接地电阻 地中的电场,焦耳定律,在导电体中，在电场的作用下，自由电子定向移动，形成电流。从微观上看，每运动一定的距离 dl ，电子都可能和晶体结构相碰撞，损失动能，转化为热能。在这个过程中，电场所做的功为： ，对应的功率为： 所以，单位体积内的平均耗散功率为：,欧姆定律,如果该导体的横截面积为S，长度为L，电导率sigma，则；,导电媒质中稳恒电场的静电比拟与电导,导电媒质中稳恒电场的静电比拟与电导,可见恒定电场与静电场之间它们的场量存在着对应的关系：E一E，J一D、I一Q、一、CG互为对偶，利
16、用此对应关系，如果某一问题在静电场中已经有解，则可以直接利用静态场的解，置换其中有关量，就得到相应的恒定电场中的解，反之依然。实验中也是如此，如果测出了其中一种场分布，则另一种场的分布也完全相同，只要替换对应参量就可以了。,导电媒质中稳恒电场的静电比拟与电导,两个孤立导体之间的电阻，在两个电阻之间分布的是有耗介质。 其中，线积分的方向是从正极到负极；面积分的曲面是包围正极或负极的封闭曲面。,导电媒质中稳恒电场的静电比拟与电导,对于电容： 其中，线积分的方向是从正极到负极；面积分的曲面是包围正极或负极的封闭曲面。显然，有： 其中，R称作电阻，其倒数，即称作电导。,例题,求圆弧导体片的电阻 (1)
17、 静电比拟法 单位长电导,例题,厚度为 d 的圆弧导体片的电导 导体片的电阻 (2) 设电流 I 法,例题,电压 故 (3) 设电压 U 法,例题,由 得 于是 通过任一弧形截面 的电流 故,例题,(4) 积分法 按电阻公式，在任一圆弧面上 除上述求漏电阻或漏电导的方法外，其它还有类比法等。各种方法简繁难易不一，要注意掌握与应用简便的分析计算方法。,例题,电容 平行板 双根线 同轴线 球 形 孤立球 器的 电导 整个球或圆柱有 或 ，双根线为 ， 平行直板无 。部分球或圆柱换为 或 。,仿照上述做法，还可以得到其他电容器的 电导,安培定律,安培定律表明了真空中两个电流回路之间相互作用力的规律。
18、它是磁场的一个基本实验定律。如图，电流回路 中的任一电流元 对电流回路 中的任一电流元 的作用力可表示为,是真空中的磁导率。它等于,安培定律,对两个电流回路积分，可得电流回路,对电流回路,的作用力，即,磁感应强度与毕奥萨伐尔定律,是电流元,在电流元,处所产生的磁感应强度。,安培定律可以写为：,式中,磁感应强度与毕奥萨伐尔定律,于是，电流回路,中的任一电流元,在空间某一场点,处所产生的磁感应强度,可表示为,因此，整个电流回路,在,点所产生的磁感应强度为,磁感应强度与毕奥萨伐尔定律,如果电流以密度,分布在体积,中，由于电流元,于是上式变为,对于以面电流密度,分布在面积,上的情形，同样可得,磁感应强
19、度与毕奥萨伐尔定律,可用磁感应线（B 线）来描述磁场 直线电流 电流环 同轴线,例题,真空中有一长为L并通有电流I的细直导线。试求它在空间任一点P处所产生的磁感应强度B。,L,I,z,y,x,例题,例题,其中 无限长直线电流的场，因 故 绕直线电流的行星轨道场,例题,洛仑兹力,电流回路,在电流回路,的磁场中所受到的安培力即磁场力为,由此可见，磁场作用在任一电流元,上的磁场力则为,自由电荷在磁场中以速度 v运动 则，它所受到的磁场力为：,电荷对应的Idl应该为：,洛仑兹力,在既有电场又有磁场的空间，以速度v运动的电荷所受到的 洛仑兹力则为,单位体积的运动电荷在电磁场中所受到的力（即力密度）为,上式既适用于载流导体，也适用于运流电流。,