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1、数字信号处理,航天学院,控制科学与工程系,金晶,内容回顾,第一章 绪论 数字信号处理系统的基本概念、发展及典型的数字信号处理系统介绍等。 第二章 离散时间信号与系统 离散时间信号的表示与运算、线性移不变系统、常系数线性差分方程、以及连续时间信号抽样等。 第三章 离散傅立叶变换DFT 傅立叶级数、周期信号的傅立叶分析、有限长序列的傅立叶变换及性质、z变换频域抽样理论。 第四章 快速傅立叶变换FFT 按时间抽取DIT的FFT、按频率抽取DIF的FFT、IDFT快速算法及FFT的软件实现。,接下来的内容,第五章 数字滤波器的基本结构 第六章 无限冲激响应数字滤波器的设计 第七章 有限冲激响应数字滤波
2、器的设计,5.1 引言 5.1.1 数字滤波器的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。 5.1.2 离散系统的描述： 差分方程描述： 系统函数描述：,5.1.3 组成离散系统（数字滤波器）的基本单元：,5.1.4 数字滤波器的基本形式： 按h(n)长度分： 无限长单位冲激响应滤波器(IIR)： h(n) 0n 有限长单位冲激响应滤波器(FIR)：h(n) 0nN-1,5.1.5 数字滤波器结构实现的考虑原则： 1) 滤 波 器 的 基 本 特 性( 如 有 限 长 冲 激 响 应 与 无 限 长 冲 激 响 应 ) 决 定 了 结 构 上 有 不 同 的 特 点。 2) 不 同 结 构
3、 所 需 的 存 储 单 元 及 乘 法 次 数 不 同， 前 者 影 响 复 杂 性， 后 者 影 响 运 算 速 度。 3) 有 限 精 度( 有 限 字 长) 实 现 情 况 下， 不 同 运 算 结 构 的 误 差 及 稳 定 性 不 同。 4) 好 的 滤 波 器 结 构 应 该 易 于 控 制 滤 波 器 性 能， 适 合 于 模 块 化 实 现， 便 于分时 复 用。,5.2 无限长单位冲激响应(I IR)滤波器的基本结构 5.2.1 IIR 滤 波 器 的 特 点 (1) 单 位 冲 激 响 应h(n) 是 无 限 长 的； (2) 系 统 函 数 H(z) 在 有 限Z 平
4、面 上 有 极 点 存 在，因 而 设 计不 当 会 引 起 不 稳 定； (3) 结 构 上 存 在 着 输 出 到 输 入 的 反 馈， 也 就 是 结 构 上 是 递 归 型 的； (4) 同样过渡带要求，滤 波 器 阶数可以比较低，结构相对 比 较简单； (5) 难以用FFT技术实现；,5.2.2 直接形式型,实现零点,实现极点,5.2.3 直接形式型,特点：延时单元最少，又称典范结构(Canonic form Network),直接形式结构主要特点： 1) I型需要N+M级延时单元，II型需要N个延时单元。 2) 系数 对滤波器的性能控制作用不明显。 3) 直接形结构对于系数的变化过
5、于敏感，尤其对于有限精度 情况下，会出现不稳定或较大误差。,5.3.4 级联形式 对 进行因式分解，表示成一系列二阶因子相乘的形式 。,注 意 以 下 几 点： (1) 一般情况下，分式的分子和分母可以由一阶因子和二阶因子组成，但是为了对该结构进行统一，均采用二阶因子，不足的可以用零系数补齐。统一用二阶节表示保持了结构上的一致性，有利于时分多路复用。 (2) 为什么二阶因子是最基本的?因为二阶因子是实系数，而一阶因子通常包含复系数。 (3) 级联能够单独调整滤波器的第k个零极点，而不影响其它零极点的配置。 (4) 对于分式中二阶节的配置有多种，同时若采用有限位字长，其不同配置所带来的误差也不相
6、同，存在优化问题。,级联结构二阶基本节,级联结构（M=N）,5.3.5 并联形式 对 进行因式分解，表示成 个一阶系统， 个二阶系统以及延时加权单元并联组合而成。,并联结构的二阶基本节,并联结构（M=N）,并联结构的一阶基本节,例子： 1、用直接I型及典范结构实现以下系统函数： 2、用级联型结构实现以下系统函数： 并考虑可以构成几种级联型结构。 3、给出以下系统函数的并联实现：,求解：,、分析：注意系统函数H(z)分母的,项的系数应该化简为1。,分母,的系数取负号，即为反馈链的系数。,解：,得：,、分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。,解：,得：,由此可得：采用二阶节实现，还
7、考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。,、解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得,将左式乘开并联立求方程组求得：,5.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 滤波器的系统函数： FIR 滤 波 器 的 特 点 ： (1) 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h(n) 是 有 限 时宽序列，可以 用 DFT 技 术； (2) 系 统 函 数H(z) 在|z|0 处 收 敛， 极 点 全 部 在 z=0 处 系 统总是稳 定的。 (3) 结 构 上 主 要 是 非 递 归 结 构， 没 有 输 出 到 输 入 的 反 馈 部 分， 但 有 些 结 构 中(
8、例 如 频 率 抽 样 结 构) 也 包 含 有 反 馈 的 递 归 部 分。 (4) 可以有严格的线性相位。,5.3.1 直接形滤波器结构：从 式中可 以直接推倒出直接形式的滤波器结构。,又称：横截型滤波器，卷积型滤波器。,FIR滤波器的横截型结构,5.3.2 级联形式结构：分解成实系数二阶因子的乘积形式,级联结构的基本节信号流图,FIR级联滤波器结构,特点：级联结构直接控制滤波器的零点；级联结构所需要的系数 个数要高于直接型；（直接型是N个，级联型是 个）,5.3.3 频率抽样型结构：,分析:,N点有限长序列的z变换 在单位圆上作N等分抽样，就得 到 ，其主值序列就等于 的离散傅立叶变换
9、。,N点有限长序列的z变换：,周期序列 的离散傅立叶级数 ：,比较上面两个式子得到：,可以看出：点有限长序列的变换在单位圆上的等分抽样 得到的主值序列即为点有限长序列的离散傅立叶变换。,) 利用离散傅立叶变换 表示 的内插公式：,有限长序列的z变换：,有限长序列的傅立叶反变换：,整理：,频率抽样结构的系统函数：,该滤波器由两部分级联构成： 梳状滤波器：有N个等间隔的零点 N个一阶网络的并联：有N个极点 N个极点与N个零点相互抵消，使得在N个频率抽样点 的频率响应就分别等于N个 的值。该滤波器结构很容易控制滤波器的频率响应，但是 运算比较复杂，极点易移到z平面单位圆外而不稳定。,一阶子系统的并联
10、(复系数),频率抽样结构流图:,1) 频率抽样结构的特点是它的系数 H(k) 就是滤波器在 处 的响应， 因此控制滤波器的频 率 响 应 很 方 便； 2) 结构复杂，但是高度模块化， 适用于时分复用； 3) 适用于窄带滤波器，或滤波器组的情况；,几点说明：,4) IIR部分，所有极点都在单位圆上， 当系数量化时， 这些极点会移动， 有些极点就不能被零点所抵消( 零点由延时单 元 决 定，不受量化的影响) ， 甚至有时极点移动到单位圆 外， 系统就不稳定了，因而对式(4.5.1)进行修正，用rz1(r1)替代z,如式(4.5.8), 以保证系统的稳定； (见p.185，式(4.5.8) 、(4
11、.5.9),5.3.4 快速卷积结构,两个有限长序列：,线性卷积：,和,由,得：,将序列补齐：,圆周卷积：,将 做L点周期延拓序列：,即：点圆周卷积 是线性卷积 以为周期的周期延拓 序列的主值序列。,FIR滤波器的快速卷积结构,步骤：1) 将 和 变成L点序列； 2) 求 和 各自的点DFT； 3) 将 和 相乘得L点的频域序列 ； 4) 求 的L点IDFT，得到输出序列 。,“时域序列的圆周卷积等效于频域的离散频谱的乘积”。,5.3.5 线性相位FIR滤波器的结构,什么是线性相位：,一个单一频率的正弦信号通过一个系统，假设它通过这个系统的时间需要t，则这个信号的输出相位落后原来信号wt的相位
12、。从这边可以看出，一个正弦信号通过一个系统落后的相位等于它的w/t；反过来说，如果一个频率为w的正弦信号通过系统后，它的相位落后delta，则该信号被延迟了delta/w的时间。在实际系统中，一个输入信号可以分解为多个正弦信号的叠加，为了使得输出信号不会产生相位失真，必须要求它所包含的这些正弦信号通过系统的时间是一样的。因此每一个正弦信号的相位分别落后，w1*t，w2*t，w3*t。因此，落后的相位正比于频率w，如果超前，超前相位的大小也是正比于频率w。从系统的频率响应来看，就是要求它的相频特性是一条直线。,1) FIR滤波器满足线性相位的条件： 单位冲激响应满足：偶对称 奇对称,推倒过程：,
13、的频率响应：,线性相位要求：,代入：,令等式两端实部和虚部分别相等，可得两个式子：,由此可得单位冲激响应满足的偶对称和奇对称条件。,2) 线性相位滤波器结构,N为奇数时：,N为奇数的偶对称序列,N为奇数的奇对称序列,N为奇数时线性相位FIR滤波器结构,如果序列是偶对称的，则 前是+号； 如果序列是奇对称的，则 前是-号；,共 个延时结构,N为偶数时：,N为偶数的偶对称序列,N为偶数的奇对称序列,N为偶数时线性相位 FIR滤波器结构,结论：线性相位的FIR滤波器结构比一般直接型结构节省一半 数量的乘法次数。,5.3.6 例子： 1)已知FIR滤波器的单位冲击响应为,试画出其级联型结构实现。,2) 设某FIR数字滤波器的系统函数为：,试画出此滤波器的线性相位结构。,