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1、第三章,非平稳序列的随机分析,本章结构,差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型,3.1 差分运算,差分运算的实质 差分方式的选择 过差分,差分运算的实质,差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法 Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息 差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息,差分方式的选择,序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以
2、较好地提取周期信息,例3.1,【例3.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用,差分前后时序图,原序列时序图,差分后序列时序图,例3.2,尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息,差分后序列时序图,一阶差分,二阶差分,例3.3,差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息,差分后序列时序图,一阶差分,1阶12步差分,过差分,足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息 但过度的差分会造成有用信息的浪费,例3.4,假设序列如
3、下 考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差,比较,一阶差分 平稳 方差小,二阶差分（过差分） 平稳 方差大,3.2 ARIMA模型,ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型,ARIMA模型结构,使用场合 差分平稳序列拟合 模型结构,ARIMA 模型族,d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q) P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q) q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d) d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model,ARIMA模型建模步骤,获 得 观 察
4、 值 序 列,平稳性 检验,差分 运算,Y,N,白噪声 检验,Y,分 析 结 束,N,拟合 ARMA 模型,例3.6,对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模,一阶差分序列时序图,一阶差分序列自相关图,一阶差分后序列白噪声检验,拟合ARMA模型,偏自相关图,建模,定阶 ARIMA(0,1,1) 参数估计 模型检验 模型显著 参数显著,ARIMA模型预测,原则 最小均方误差预测原理 Green函数递推公式,例3.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测,疏系数模型,ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+
5、q个独立的未知系数： 如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。,疏系数模型类型,如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零自相关系数的阶数 如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为 为非零移动平均系数的阶数 如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为,例3.8,对1917年1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模,一阶差分,自相关图,偏自相关图,建模,定阶 ARIMA(1,4),1,0) 参数估计 模型检验 模型显著 参数显著,季节模型,简单季节模型 乘积季节模型,简单季节模型,
6、简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系 简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下,例3.9,拟合19621991年德国工人季度失业率序列,差分平稳,对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下,白噪声检验,差分后序列自相关图,差分后序列偏自相关图,模型拟合,定阶 ARIMA(1,4),(1,4),0) 参数估计,模型检验,拟合效果图,乘积季节模型,使用场合 序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 构造原理 短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取 季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下,例3.10 :拟合19481981年美国女性月度失业率序列,差分平稳,一阶、12步差分,差分后序列自相关图,差分后序列偏自相关图,简单季节模型拟合结果,乘积季节模型拟合,模型定阶 ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12 参数估计,模型检验,乘积季节模型拟合效果图,