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1、1,2.4 系统辨识的定义、内容和步骤,某些系统的数学模型很难用机理建模法来完成，这是因为这些系统大都是复杂的工业过程系统，其工艺过程、工况等都十分复杂，有些甚至是人们无法洞悉或了解的。,在这种情况下，我们可以用系统的输入输出历史数据来推测系统的数学模型。这种方法就是所谓的系统辨识技术。系统辨识也属于经典建模技术的一种。,2,3,系统辨识,参数辨识,结构辨识,一般来说，系统辨识算法只适用于线性系统。非线性系统的辨识算法目前很不成熟，对于某些特殊的非线性系统可能有一些特殊的辨识方法，但是没有统一的算法。,4,2.4.1辨识的定义,（1）L.A.Zadeh定义（1962）：辨识就是在输入和输出数据
2、的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。,（2）P.Eykhoff定义（1974）：辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统本质特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。,（3）L.Ljung定义（1978）：辨识有三个要素-数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。,5,2.4.2辨识的内容和步骤,（1）明确辨识目的。它将决定模型的类型、精度及辨识方法。,（2）掌握先验知识。对预选模型种类和辨识试验设计起指导作用,（3）选定系统模型种类，确定验前假定模型。,（4）试验设计。选择试验信号、采样间隔数据长度
3、等。,（5）数据处理。 直流、低频数据：零均值化（差分法和平均法等）。 高频成分数据：低通滤波。,（6）模型结构辨识。确定模型的阶次和纯延时等。,（7）模型参数辨识。,（8）模型校验。,6,2.4.3系统辨识的输入信号选择准则,持续激励：输入信号必须充分激励系统的所有模态； 输入信号的选择应能使给定问题的辨识模型精度最高。,在具体工程应用中，选择输入信号还应考虑以下因素： （1）输入信号的功率或幅值不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辨识精度； （2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。,7,2.
4、4.4白噪声序列及其产生方法,白噪声过程是一种最简单的随机过程。它是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳的随机过程。 白噪声过程没有“记忆性”。,定义：如果随机过程(t)的均值为0，自相关函数为： R(t)=2(t) 其中： 且 则称该随机过程为白噪声过程。,8,由于(t)的傅里叶变换为1，可知白噪声过程(t)的平均功率谱密度为常数2 ，即： S(t)=2，- 这表明，白噪声过程的功率在- 的全频段内均匀分布。基于这一点，人们借用光学中“白色光”一词，称这种噪声为“白噪声”。,服从正态分布（normal distribution）的白噪声过程称为正态分布（高斯分布）白噪声。,N(,2),N(0
5、,1),9,定义：如果随机序列(k)的均值为0，并且是俩俩不相关的，对应的自相关函数为： R(l)=2l l=0 ，1 ，2 ， 其中： 则称该随机序列为白噪声序列。,根据离散傅里叶变换可知白噪声序列的平均功率谱密度为常数2，即,10,白噪声序列产生方法,1) (0,1)均匀分布随机数的产生,在具有连续分布的随机数中， (0,1)均匀分布随机数是最简单、最基本的一种随机数，有了(0,1)均匀分布随机数，便可以产生其它任意分布的随机数。,因此，数学方法产生的 (0,1)均匀分布随机数叫做伪随机数。,计算机上产生 (0,1)均匀分布随机数的方法，最简单、最方便的是数学方法。本质上说就是实现递推运算
6、 每一个(0,1)均匀分布的随机数总是前面个时刻随机数的函数。,11,(1) 乘同余法,首先，用递推同余式产生正整数序列xi，即,M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数；,A3或A5（mod8），且A不能太小；,初值x0取正奇数。,再令,则i是伪随机数序列，循环周期可达2k-2。,12,(2) 混合同余法,首先，用递推同余式产生正整数序列xi，即,M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数；,A=2n+1， 其中2n34；,初值x0非负整数，C为正整数。,再令,则i是伪随机数序列，循环周期可达2k。,13,2) 正态分布随机数的产生,(1) 统计近似抽样法,设i是（0，1）均匀分布随机数序
7、列，则有,14,则有,15,(2) 变换抽样法,16,2.4.5辨识系统脉冲响应的相关法,17,这样，只要记录x(t),y(t)的值，并计算它们的互相关函数，即可求得脉冲响应函数g()。,18,具有正常输入时的系统辨识模拟方块图,19,2.4.6 M序列的产生方法,在进行系统辨识时，选用白噪声作为辨识输入信号可以保证获得良好的辨识效果，但工程上难以实现。 M序列是伪随机二位式序列的一种形式，它具有白噪声的性质，不仅可保证有较好的辨识效果，而且工程上又易于实现。,简单的四级移位寄存器经线性反馈产生周期的m序列。,20,X1、X2、X3、X4为四级移位寄存器，为模2加法器，移位寄存器的作用为在时钟
8、脉冲驱动下，能将所暂存的“1”或“0”逐级向右移。图X3、X4输出的模二和反馈为x1的输入。X4的变化即输出序列。 假定移位寄存器的初始状态为1111，输出序列为111100010011010，在输出周期为24-1=15的码序列后，X1、X2、X3、X4又回到1111状态。在时钟脉冲的驱动下，输出序列做周期性的重复。因为15位为所能产生的最长码序列， 111100010011010既为m序列。,21,1111,0111,0011,0001,1000,0100,0010,1001,1100,0110,1011,0101,1010,1101,1110,1111,111100010011010,22
9、,2.4.7 M序列的性质,（1）由n级移位寄存器产生的M序列的最大周期为N=2n-1。,（2）M序列中，状态“0”或“1”连续出现的段称为游程。游程中“0”或“1”的个数称为游程长度。,由n级移位寄存器产生的M序列的游程总数2n-1，“0”“1”各一半;,并且长度为1的游程占总数的1/2，有2n-2个;,并且长度为2的游程占总数的1/4，有2n-3个;,以此类推，长度为i（1in-2）的游程占总数的1/2i，有2n-i-1个;,长度为n-1的游程只有1个，为“0”的游程;,长度为n的游程只有1个，为“1”的游程;,111100010011010,23,（3）所有M序列均具有移位可加性，即2个
10、彼此移位等价的相异M序列，按位模2相加所得到的序列仍为M序列，并与原M序列等价。,1111000100110101111000,1001101011110001001101,0110101111000100110101,24,在研究系统辨识问题时，将把待辨识的系统看作“黑箱”，只考虑系统的输入-输出特性，而不强调系统的内部机理。,在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法（LS）和极大似然法。本节主要讨论最小二乘法。,2.5 数学模型的最小二乘法辨识,25,最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。 最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而
11、令误差平方之和为最小。 最小二乘法通常用于曲线拟合。很多其他的优化问题也可通过用最小二乘形式表达。,最小二乘法是一种比较古老的数学优化技术，早在18世纪由Guass首先创立并成功应用于天文观测和大地测量工程中。此后近三百年来，它已广泛应用于科学实验与工程技术中。,最小二乘法是为了解决如何从一组测量值中寻求可信赖值的问题。最小二乘法的基本原理是：成对等精度地测得一组数据xi，yi (i=1，2，n)，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条拟合曲线上的各点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。,2.5.1 最小二乘法,26,2.5.1.1 最小二乘法基本思想,系统辨识的方法很多，其中最重要、最
12、常用的方法是最小二乘法。,最小二乘法的基本思想是使系统实际输出与估计输出（带有估计参数的系统的输出）的偏差（残差）的平方和最小。在这个原则下，通过残差平方和关于估计参数向量的偏导数等于零这一方法来最终求得估计参数向量。,27,28,29,我们可能不知道 的统计特性，在这种情况下，往往把 看作均值为0的白噪声,30,31,在测量 时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。,因此假定 不仅包含了 的测量误差，而且还包含了 的测量误差和系统内部噪声。假定 是不相关随机序列（实际上 是相关随机序列）。,32,则可写出N个方程，即,33,34,设,N维输出向量,2n+1维 参数向量,N维
13、噪声向量,N(2n+1)维 测量矩阵,35,（2.89）,36,从上式可以看出噪声 对参数估计有影响，为了尽量减小噪声 对估值 的影响，应取N(2n+1)， 即方程数目大于未知数数目。在这种情况下，不能用解方程的办法来求 ，而,37,要采用数理统计的办法，以便减小噪声对估值的影响。在给定输出向量y和测量矩阵 的条件下求系统参数 的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法或极大似然法来求 的估值，在这里讨论最小二乘法估计。,38,2.5.1.2 最小二乘辨识算法,式中,39,40,设 表示 与 之差，即,41,（2.93）,42,把 分别代入式（2.93）可得残差 ， ， 。,（2.94）,43,44,J为极小值的充分条件是,下面举例说明最小二乘法的计算过程。,45,例4.1已知某一单输入单输出线性系统的差分方程形式为,但其参数 ， ， 为未知数，且 为不相关的随机序列。经过辨识试验，测得5组输入输出数据为,46,试求出其最优参数估计。,47,测量矩阵为,48,该矩阵的转置为,两者之积为,49,的特征值为 ， ， 。,50,51,于是,52,最后求得,即最优参数估计为,53,本次课内容总结,最小二乘法,一种不需矩阵求逆的最小二乘法,递推最小二乘法,辅助变量法,