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1、1,主要内容,第九讲 向量组的秩与向量空间,向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 等价定义；,基本要求,向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法；,向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.,理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.,知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.,2,一、向量组的秩与最大无关组,第三节 向量组的秩,定义, 向量组 线性无关；,设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 ，满足,
2、 向量组 中任意 个向量（如果 中有 个向量的话）都线性相关.,那么称向量组 是向量组 的一个最大线性无关 向量组，简称最大无关组，最大无关组所含向量 个数 称为向量组 的秩，记作 .,只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.,3,例如 设向量组, 线性无关；, 线性相关，所以,是向量组 的最大无关组， 且 .,另外， 也线性无关，所以,也是向量组 的最大无关组.,同理， 也是向量组 的最大无关组.,4,说明,这个定义是把秩的概念引申到向量组中来，给 秩的概念赋予几何解释.并且由于向量组可以含 无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔 的领域.,定义表明最大无关组就是含向量个数最多的
3、线 性无关的部分组.,向量组的最大无关组一般不唯一.若向量组 的 秩为 ，则向量组 中任意 个线性无关的向量 组成的向量组都是它的最大无关组.,5,二、向量组的秩与矩阵的秩的关系,1. 定理的引入,记,根据最大无关的定义，知,所以 中存在 阶非零子式，即矩阵 中含有 阶非零子式.,另一方面，如果 中有 阶子式 不为零，则,矩阵 中 所在的 列 线性无 关（因为矩阵 的秩为 ）.,设向量组 的秩为 ，且 是它的一个最大无关组.,这与 是 的列向量组的最大无关组矛 盾.,因此,即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.,6,2. 定理6,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也 等于它的行向量组的秩.,证,设,
4、并设 的 阶子式 .,由 知，在 中 所在的 列线性无关；,又由 中所有 阶子式均为零知， 中任意 个列向量都线性相关.,因此， 所在的 列是 的列向量组的一个最大无关组，,所以 的列向量组的秩为 .,类似可证矩阵的行向量组的秩等于矩阵的秩.,7,说明,根据上述定理，有限向量组的秩的记号与矩阵 的秩的记号不加区分.,向量组 的秩也记作,此定理给出了向量组的秩和最大无关组的求法.,向量组的秩等于它所构成的矩阵的秩；,最高阶非零子式所在的列向量，就是列向量组 的最大无关组.,由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现 的矩阵的秩都可该为向量组的秩.,8,例1 全体 维向量构成的向量组记作 ，求
5、的一个最大无关组及 的秩.,解,我们已经知道，维单位坐标向量组,析：此例的目的是熟悉向量组的最大无关组 和向量组秩的定义. 联系后面的向量空间的 概念，知 是一个 维向量空间， 是它的一个基，称为 的自然基.,是线性无关，,又 中的任意 个向量（ 维） 都线性相关，,因此向量组 是 的 一个最大无关组，且 的秩等于 .,显然， 的最大无关组很多，任何 个线性无关 的 维向量都是 的最大无关组.,9,三、最大无关组的等价定义,1. 结论的引入,问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？,设向量组 是向量组 的最大无关组，,显然，向量组 能由向量组 线性表示：,另一方面，因为向量组 是向量组 的最大
6、无关 组，所以向量组 中任意 个向量都线性相关，,特别地，对于 中任一向量 ，向量组,线性相关，因此,线性表示，,所以向量组与其最大无关组等价.,即向量组 能由向量组 线性表示.,10,2. 推论 （最大无关组的等价定义）,设向量组 向量组 的一个部分组，且满足, 向量组 线性无关；,向量组 的任一向量都能由向量组 线性表示，,（向量组 与 等价）,那么向量组 就是向量组 的一个最大无关组.,11,证,析：按所设，要证明向量组 是向量组 的 一个最大无关组，只要证明向量组 中任意 个向量线性相关.,设 是向量组 中任意 个向量，,按条件知， 能由向量组 线性表 示，从而有,（由定理3）,于是，
7、由定理4知，,线性相关，,因此向量组 是向量组 的一个最大无关组.,12,例2 设齐次线性方程组,的全体解向量构成的向量组为 ，求 的秩.,解,析：此题的目的是运用“最大无关组的等价 定义”求向量组的最大无关组和秩.,先解方程,13,得,所以方程组的通解为,再写出向量组 ，,14,把上式记作,则,即 能由向量组 线性表示，而 显然 是线性无关的.,因此根据最大无关组的等价定义知，,是 的最大无关组，从而 .,15,四、含无限个向量的向量组的结论,利用最大无关组和向量组的秩，可以把定理1、 2、3推广到含无限个向量的向量组：,16,定理2 设向量组 表示由向量组 与向量组 合 并而成的向量组，则
8、向量组 能由向量组 线性 表示充要条件是 .,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,证明,17,例3 设向量组 能由向量组 线性表示，且 它们的秩相等，证明向量组 与向量组 等价.,证,析：本例的目的是熟悉各种关系（矩阵与矩阵关系、向量组与向量组关系、向量组的秩与向量组的秩关系等）之间的转换.,用 表示由向量组 与 合并起来的向量组，,因 组能由 组线性表示，所以,又已知 ，故有,因此根据定理2的推论，知,组与 组等价.,18,说明,本例也可改述成下列两个命题：,设向量组 能由向量组 线性表示，则组 与 组等价的充要条件是 ；,设 ，则向量组
9、与向量组 等价的充 要条件是 组能由 组线性表示（或 组能由 组线性表示）.,必须注意，两个向量组的秩相等，这两个向量 组是不一定等价.,19,解,析：此例无论在理论上还是计算实践上都具 有重要意义. 此例的理论依据是：,则 与 的列向量 组各向量之间具有相同的线性关系.,主要依据是 矩阵 的行最简形.,20,可见,故 的列向量组的秩为3，,而矩阵 的行阶梯形的3个非零行的非零首元 在1、2、4三列，,故 为列向量组的一个最大无关组.,21,所以 的列向量组 与 有相同的线性关系，,而 是单位坐标向量，容易看出 有如下线性关系：,因此 也有如下线性关系：,22,说明,这是一道典型例题，具体方法
10、是：,用初等行变换将 化为行最简形 ；,由 的非零行数知， 的列向量组的秩；,若 ，则 中有 列为单位坐标向量 ， 中其余各列可以非常方便地写成 它们的线性组合；,根据 与 的列向量组有相同的线性关系， 的列向组中蕴含的复杂线性关系就随之而知：,中对应于 中 的列构成 的列向 量组的最大无关组；,中其余列向量用此最大 无关组线性表示的系数与 中对应列用 线性表示的系数依次相同.,23,五、小结,把秩的概念引入向量组后，使方程组、矩阵、 向量组三者之间的转换的几何意义更加深刻.,向量组的最大无关组是把有限向量组的结论推 广到无限向量组的“桥梁”.,最大无关组的两个等价定义：, 向量组 线性无关；
11、, 向量组 中任意 个向量都线性相关,设向量组 向量组 的一个部分组，且满足,那么向量组 就是向量组 的一个最大无关组.,24,一、向量空间的概念,第四节 向量空间, 不是空集；,（ 对于向量加法封闭）,（ 对于向量与数的乘法封闭）,那么称集合 为向量空间.,25,例如,因为3维向量的和仍然是3维向量，数乘3维 向量仍然是3维向量，另外， 显然非空.,一般地， 维向量的全体 也是一个向量空间.,是一个向量空间.,设,则,于是,另外， 显然非空，所以 是一个向量空间.,这是因为,26, 集合,不是向量空间.,这是因为,设,则有,而,不满足数乘的封闭性., 设 是两个已知的 维向量，集合,是一个向
12、量空间.,显然 非空；,这是因为,若,则有,线性组合的全体,27,二、向量组所生成的向量空间,定义,再例如, 齐次线性方程组,的解集为 .,因为,所以 是一个向量空间，称为解空间.,向量组 的线性组合的全体，称为由向量组 所生成的向量空间，记作,28,例5 （结论）设向量组 与向量组 等价，记,试证 .,（即等价的向量组所生成的向量空间相同）,证,析：要证 ，即证,又因为 能由 线性表示，,则 能由 线性表示，,所以 能由 线性表示，,设,即有,这就是说,因此,因此,29,三、子空间,1. 定义的引入,维向量的全体 是一个向量空间.,是一个向量空间.,这两个向量空间有什么关系呢？,显然这两个向
13、量空间的元素都是 维向量， 并且有,30,2. 定义,设有向量空间 及 ，若 ， 则称 是 的子空间.,任何由 维向量所组成的向量空间 ， 总有,所以这样的向量空间总是 的子空间.,31,四、向量空间的基与维数,1.定义,设 为向量空间，,个向量 ，,若满足, 线性无关；, 中任一向量都可由 线性表示，,只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为0.,这样的向量空间称为零空间或0维向量空间.,那么向量组 称为向量空间 的一个 基； 称为向量空间 的维数，记作 并称 为 维向量空间.,32,说明,但是向量 组一般不是向量空间,向量空间 可以看作是一个向量组（ ），根据最大无关组的等 价定义知，,
14、的维数就是向量组的秩.,的基就是向量组的最大无关组，,向量空间的基也是不唯一的.,33,例如, 任何 个线性无关的 维向量都可以是向量空 间的一个基，由此可知 的维数为 .,称为 维向量空间., 向量空间,取 中如下 个向量：,显然 线性无关，且 中任一向量都有,因此 是的一个基, 且 是 维向量空间.,可以取其它的 个线性无关的向量,34, 向量空间,设 是向量组 的一个 最大无关组，,则 中任一向量可由 线性表示,因而 是 的一个基, 是 维向量空间.,35,2. 关于基和维数的有关结论：, 若向量空间 ，则 的维数不超过 ., 若向量空间 ,且 则, 若向量组 是向量空间 的一个 基，则
15、 可表示为,即 是基所生成的向量空间，这清楚地显示出了向量空间 的构造. 这就是基的涵义.,证明,36,五、向量的坐标,1. 向量的坐标,定义,设 是向量空间 的一个基，则 中任一向量 可由它惟一地表示为,数组 称为向量 在基 中的坐标.,特别地， 维向量空间 中的向量 ，,若 ,则,所以 在基 中的坐标为 .,即向量在自然基中的坐标就是向量的分量.,37,2. 过渡矩阵,定义,设 和 是 维向量空间 的两个基，根据基的定义知，它们是等价的.,若,则称矩阵 从基 到基 的过,渡矩阵.,38,说明,用 表示 的表示式 称为基变换公式.,向量在某个基中的坐标是唯一的；但是同一个 向量在不同中基的中
16、作表示不同的.,向量在两 个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式.,过渡矩阵是可逆矩阵.,39,解,要证 是 的一个基，只需证 线性无关，,即 证.,40,要求 在基 中的坐标，就是求下 面线性表示式的系数：,两式合起来即为,所以亦即要求解矩阵方程,41,可见,所以 是 的一个基，且,的解为,42,即,43,例7 设 中的两个基 和 ，其中, 求从基 到基 的过渡矩阵；, 设向量 在基 中的坐标为 ，求 在基 中的坐标.,解, 设从基 到基 的过渡矩阵 为 ，则,即,44,所以, 因为 在基 中的坐标为 , 所以,设 在基 中的坐标为 ，则有,45,因而,所以,46,六、小结,向量组的一个最
17、大无关组与向量空间的区别于 联系：,由定义知，除零空间外，任一向量空间作为一 个向量组必定是无限集；但向量组作为一个向量 的集合可以是有限集.,设 是向量空间，把 看作一个无限向量组， 则 中向量组 是 的一个基的充 要条件是 是 的一个最大无关组；向量空间 的维数就等于向量组 的秩.这是可以认为只是描 述的语言不同而已.,47,向量的维数与向量空间的维数：,向量的维数是指向量分量的个数；向量空间的 维数是指向量空间的基中所含向量的个数. 维 向量空间，“ 维”是指向量空间的维数.,设向量空间 是由向量组 所生 成的，即,这时， 与向量组 的联系特别紧密：, ，且向量组 与向量组 等价；, 向
18、量组 的任一个最大无关组是 的一个基；, 的维数等于向量组 的秩.,48,作业：,P109 13. 14.(2) 15. 16. P110 20. 21. P112 38. 39.,49,定理3的证明,证,设 并设向量组 和 的最大 无关组分别为,和,由于 组能由 组线性表示， 组能由 组线 性表示，所以 组能由 组线性表示；,又 组能由 组线性表示，因此,组能由 组线性表示，因而根据定理3，有,即,亦即,证毕,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,50,若向量空间 ,且 则,证,因为,所以 的基含有个向量，,故可设 是 的一个基，,又因为 ，所以,而 ,因此 也是 的一个基，,所以,证毕,