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1、3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 3.2.2 随机变量的独立性 3.2.3 条件分布,3.2 边 缘 分 布,设(X, Y)的联合分布函数F(x, y)则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:,3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度,( i = 1,2, ) ( j =1,2, ),例如,1. 离散型二维随机向量的边缘分布,( i =1,2, ) ( j = 1,2, ),设 (X, Y) 的联合分布列为 pij = PX=xi ,Y=yj, 则 (X, Y) 的边缘分布列为,FY(y) = F(+ ,y) =,FX(x) = F(x,+) =,(X, Y)
2、的边缘分布函数为：,即,1. 离散型二维随机向量的边缘分布,你只要把每列的概率相加放在该列的最下面，把每行的概率相加放在该行的最右面，就大功告成了。 把第一行和最后一行拿出来就是X的分布；把第一列和最后一列拿出来就是Y的分布。,例1 已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求关于X 和Y 的边缘分布。,边缘分布pi.和p.j分别是联合分布表中第i行和第j列各联合概率之和,设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 f(x,y),由于,所以,例2 设随机变量（X，Y）的密度函数为,试求参数k的值及X和Y的边缘密度。,通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函数或边缘密度。,2. 二维
3、连续型随机变量边缘概率密度函数,解 根据联合密度函数的性质，有,所以,X的边缘密度函数,当0x1时，,当0x或x1时,故,同理可得,解 令,可见 X N(1,12 ) , Y N(2,22 ).,例3 设(X，Y)服从N(1， 12； 2，22；)， 求边缘密度。,定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有,F(x，y) = FX(x) FY(y),PXx, Yy = PXx PYy,则称随机变量X与Y是相互独立的。,1. (X, Y)是离散型,若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, ), 则X与Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1,
4、2, , 有,PX = xi，Y= yj= PX= xi PY= yi,即,3.2.2 随 机 变 量 的 独 立 性,定理1 若(X, Y)的 f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是 f (x,y) = fX(x) fY (y),2. (X, Y)是连续型,证明 充分性：若 f (x,y) = fX(x) fY (y)，,则,必要性：若X、Y互相独立，则F(x,y)= FX(x) FY(y)，,故 f (x,y) = fX(x) fY (y),即,例4 如果二维随机变量的概率分布用下列表格给出 那么当 , 取什么值时，X与Y才能相互独立？,解 先写出联合分布的表格形式，并计算
5、边缘分布,联立以上两式求得,若与相互独立， 则对于所有的i, j，都有 pij = pi. p.j 因此,例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2和=1的指数分布，求,解 据题意，X的密度函数为,Y的密度函数为,因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：,于是,今向一个半径为r的圆内随机投点，则点落在圆内面积相等的不同区域内的概率相等，即落点坐标(X, Y)服从D：x2+y2r2区域上的均匀分布. （1）判断X与Y是否相互独立； （2）计算落点（X，Y）到原点的距离不超过a的概率(0 ar) .,例6(二维均匀分布) 设D为平面上面积为A的有界区域, 若(X,Y)所对应的点落在D内
6、面积相等的不同区域中的概率相等，则（X，Y）称在区域D上服从均匀分布. 类似于一维随机变量均匀分布的密度函数，二维均匀分布的密度函数为,解 把坐标原点置于圆心建立直角坐标系, 该圆域的面积为r2，则的联合密度函数为,（1）判断X与Y是否独立，即判断对于一切的，等式,是否成立. 先求边缘分布密度fX(x)和fY(y) ,当xr时,当xr时fX(x)=0, 即,（2）落点(X,Y)与原点的距离为,求落点(X,Y)到原点的距离不超过a的概率，即,同理，可求得Y的边缘密度函数,很显然 fX(x)fY(y) f(x,y) ，所以X与Y不独立.,(X, Y)的分布,(X, Y)的边缘分布,一般,F(x,
7、y)= PX x,Yy,FX(x) = PX x,Y + FY(y) = PX +,Yy,离散型,F(x ,y) =,PX=xi ,Y=y j= pi j,pi . = PX= xi =,p. j = PY= yj =,连续型,条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)0,称为在Y=yi的条件下，X的条件分布。,一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布,1. 定义 设离散型随机向量(X, Y)的联合分布列为,在已知Y=yj的条件下(PY=yj0)，X的条件概率,pij=pX=xi , Y=yj (i, j=1, 2, ),3.2.3 条件分布,类似地，当PX=xi0时,在X
8、=xi的条件下，Y的条件分布为,2. 条件分布的性质,（1）PX=xi | Y=yj0,（2）,3.2.3 条件分布,条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)0,一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布,1. 条件分布函数,设对于任意小的x0，有 Px 0,若,存在, 则称此极限为X=x的条件下Y的条件分布函数。,且有,PYy |X=x 或 FY |X(y|x),记作,二、连续型随机向量(X, Y)的条件分布,事实上，若f(x, y)在点( x, y) 处连续，fx(x)连续， 且 fx(x)0, 则有,对y求导，得到在条件X=x下Y的条件概率密度,类似地，在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概率密度为,例7 设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下表. 求Y在x=0和x=1条件下的条件概率分布.,解 (X, Y)关于X的边缘概率分布为,得在x=0和x=1条件下Y的条件概率分布为：,由公式,2,0,2,0,-1,-1,