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1、2019年6月6日星期四4时4分22秒,1,2019年6月6日星期四4时4分22秒,2,年月,第五章 不可约张量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,3,4.1 不可约张量算符的定义 及其代数运算规则,Irreducible Tensor,2019年6月6日星期四4时4分22秒,4,引 言,坐标系转动时物理量各有一定的变换规律,按坐标系转动下的变换规律将物理量分类,标量，矢量（一阶张量），二阶张量,将物理量算符同样分类,标量算符，一阶张量算符，二阶张量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,5,引 言,算符的表示依赖于坐标系的选择,笛卡儿坐标系，球坐标系，,不同坐标系的基矢通过幺
2、正变换相联系,2019年6月6日星期四4时4分22秒,6,一、球基矢,在量子力学中为计算方便引入球基矢,与笛卡儿坐标系基矢的关系,逆变换,2019年6月6日星期四4时4分22秒,7,一、球基矢,性质,正交归一条件,练习：证明上式,2019年6月6日星期四4时4分22秒,8,二、球基矢上的向量算符表示,坐标向量,2019年6月6日星期四4时4分22秒,9,二、球基矢上的向量算符表示,在球基矢下坐标向量算符的分量为,在坐标系转动下按如下规律变换,2019年6月6日星期四4时4分22秒,10,二、球基矢上的向量算符表示,同理可得任一向量算符在球基矢上的表示,其中,在坐标系转动下的变换规律,2019年
3、6月6日星期四4时4分22秒,11,三、不可约张量算符的定义,如下变换的算符称为一阶不可约张量算符,进而定义 l 阶不可约张量算符,逆变换,2019年6月6日星期四4时4分22秒,12,四、不可约张量算符的代数运算规则,加法：两个 l 阶不可约张量算符之和 仍为 l 阶不可约张量算符,证明,2019年6月6日星期四4时4分22秒,13,四、不可约张量算符的代数运算规则,乘法和收缩,两个张量算符的乘法和收缩按下式定义,2019年6月6日星期四4时4分22秒,14,四、不可约张量算符的代数运算规则,乘法和收缩,2019年6月6日星期四4时4分22秒,15,四、不可约张量算符的代数运算规则,乘法和收
4、缩,2019年6月6日星期四4时4分22秒,16,五、零阶张量算符及张量算符的标量积,当,时可收缩得到零阶张量,左=常数零阶张量，在转动下不变右亦然,称式右为两个 l 阶不可约张量的标量积,记为,2019年6月6日星期四4时4分22秒,17,五、零阶张量算符及张量算符的标量积,一阶不可约张量熟知的标量积形式,例：两个坐标矢量的标量积,2019年6月6日星期四4时4分22秒,18,六、不可约张量算符的Racah定义,Giulio (Yoel) Racah (1909 - 1965) Israeli physicist & mathematician,满足下式的 2l+1 个算符为 l 阶不可约张
5、量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,19,六、不可约张量算符的Racah定义,两种定义的等价性,代入,2019年6月6日星期四4时4分22秒,20,六、不可约张量算符的Racah定义,代入,2019年6月6日星期四4时4分22秒,21,六、不可约张量算符的Racah定义,代入,2019年6月6日星期四4时4分22秒,22,六、不可约张量算符的Racah定义,综合以上结果得,2019年6月6日星期四4时4分22秒,23,六、不可约张量算符的Racah定义,另一写法 利用角动量算符在球基矢上的表示,于是,2019年6月6日星期四4时4分22秒,24,六、不可约张量算符的Racah定义,
6、而,又因,2019年6月6日星期四4时4分22秒,25,六、不可约张量算符的Racah定义,又,也可统一写为,2019年6月6日星期四4时4分22秒,26,4.2 不可约张量算符的实例,2019年6月6日星期四4时4分22秒,27,一、常见算符,可用拉卡定义判断是否不可约张量算符,、坐标算符 与球谐函数相关，后者既是 函数，又是不可约张量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,28,一、常见算符,将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约 张量算符,一阶,二阶,2019年6月6日星期四4时4分22秒,29,一、常见算符,、角动量及动量算符,角动量算符在球基矢上的表示,利用,可证,均为一阶不可约
7、张量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,30,一、常见算符,、角动量及动量算符,动量算符在球基矢上的表示,其分量,也是一阶不可约张量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,31,一、常见算符,以上各向量算符，若用符号,统一表示,则它们在球基矢上的分量,都是,一阶不可约张量算符，且具有如下性质,或,l 阶不可约张量算符,也具有这个性质,一般的为,2019年6月6日星期四4时4分22秒,32,二、不可约张量算符的厄米共轭,不可约张量算符满足,两端取厄米共轭,定义,若,自共轭张量算符,2019年6月6日星期四4时4分22秒,33,三、相互作用的位能算符,微观粒子间相互作用能都具有转动不变性,位能算符必为零阶张量算符，,或两个同阶张量算符的标量积, 标量力, 自旋力, 自旋轨道耦合力, 张量力,2019年6月6日星期四4时4分22秒,34,三、相互作用的位能算符,上式中,1) 2),又,2019年6月6日星期四4时4分22秒,35,4.3 Wigner-Eckart定理,2019年6月6日星期四4时4分22秒,36,一、定理的表述和证明,2019年6月6日星期四4时4分22秒,37,二、计算几个有用的矩阵元,零阶张量的约化矩阵元与阵元相同且只有对角元,