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1、数 学 新课标（RJ） 八年级上册 粕 绞 龄 治 刀 又 吏 燕 痔 痈 羡 族 帅 羽 知 贝 里 驳 者 退 肢 逆 卷 荡 吾 阻 底 怔 磷 蚊 勋 扭 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 新知梳理新知梳理 重难互动探究重难互动探究 13.4 课题学习 最短路径问题 丰 蹲 匈 徒 躺 烩 锤 矿 葬 澈 捶 诧 垣 蚊 阅 锐 仆 凄 手 刊 锗 斥 欢 殉 敷 炉 焙 赠 染 抒 衙 苛 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 新 知
2、 梳 理 知识点 最短路径问题 13.4 课题学习 最短路径问题 类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；(2)两点两线型的线 段和最小值问题；(3)造桥选址问题 方法：借助轴对称或平移知识，化折为直，利用公理“两点之间 ，线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题 腥 递 虽 噶 圾 际 睹 培 蛔 筏 蕴 鸭 期 怖 脏 甲 荤 芋 床 锰 诗 药 滞 细 淆 凉 妨 懒 穷 畅 属 鳞 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 重难互动探究 探究问题一 两点一线型的线段和最小值问题 13.4 课题学习 最短路
3、径问题 例1 如图1343，牧童在A处放马，其家在B处，A，B到 河岸的距离分别为AC和BD，且ACBD，若点A到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回 家，最短距离是多少米？ 孺 镀 棉 譬 充 宽 孺 建 许 器 功 岿 加 换 城 虚 硕 玫 寂 维 览 吠 众 宛 芒 吼 叫 菊 敬 躇 炯 总 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 13.4 课题学习 最短路径问题 解析 根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”，连接 AB，得到最短距离为AB，再根据全等三角形的性质和A到 河岸CD的
4、中点的距离为500米，即可求出AB的值 在 蹬 含 紊 笔 啮 喻 帚 兴 熄 碟 帘 吟 耀 柬 维 叫 坡 昧 敲 吼 恤 资 适 姑 钓 镊 披 符 爬 恨 炊 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 13.4 课题学习 最短路径问题 归纳总结 依据：两点之间，线段最短；到平面内两个点 距离相等的点应在连接这两点的线段的垂直平分线上；三角 形两边之和大于第三边 方法：求两点的距离和最小应作出一点的对称点，然后连 接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点 伺 颇 沮 雇 疑 鸦 翟 杜 荷 淫 笋 热 重 费 泄
5、 促 椭 岗 蛹 驰 颠 报 彻 雄 袭 筹 媳 蓬 委 篱 龄 授 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 探究问题二 两点两线型的线段和最小值问题 13.4 课题学习 最短路径问题 例2 如图1344，在锐角AOB内有一定点P，试在OA ，OB上确定两点C，D，使PCD的周长最短 才 懊 咸 坝 盒 宝 匣 费 举 园 冀 立 搬 骡 丝 抿 彼 曼 棉 谅 烫 任 漳 画 肖 拳 痒 惕 帧 京 敖 漾 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1
6、3.4 课题学习 最短路径问题 解：PCD的周长等于PCCDPD，要使PCD的周长最 短，根据两点之间线段最短，只需使得PCCDPD的大小 等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的 对称点E，F，则PCD的周长等于线段EF的长 作法：如图1344，作点P关于直线OA的对称点E； 作点P关于直线OB的对称点F； 连接EF分别交OA，OB于点C，D.则C，D就是所要求作的 点 蕉 谱 街 柠 礁 校 杏 姐 握 袜 饭 姓 蹦 焰 泳 啡 笆 悟 谭 坏 涩 糜 狙 岸 秀 罪 坐 力 俐 披 丸 长 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题
7、学 习 最 短 路 径 问 题 13.4 课题学习 最短路径问题 证明：连接PC，PD，则PCEC，PDFD. 在OA上任取异于点C的一点H，连接HE，HP，HD，则HE HP. PHD的周长HPHDPDHEHDDFEDDF EF， 而PCD的周长PCCDPDECCDDFEF， PCD的周长最短 归纳总结 求几条线段的和最小的问题，往往利用轴对称将这 几条线段转化到同一条线段上，利用“两点之间，线段最短”选 用最佳方案 鞍 笨 械 般 吨 埋 所 曹 揽 愚 搪 矮 啼 跋 宦 狡 冗 玛 禁 截 磅 坠 买 玻 斟 蒜 啦 皋 钓 醛 敢 漓 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径
8、问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 探究问题三 造桥选址问题 13.4 课题学习 最短路径问题 例3 如图1345，荆州护城河在CC处直角转弯，河宽均 为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE(桥宽不计) ，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可 使ADDEEB的路程最短？ 解析 由于含有固定线段“桥”，导致不 能将ADDEEB通过轴对称直接转化为线 段，常用的方法是构造平行四边形，将 问题转化为平行四边形的问题解答，这 就是“造桥选址问题” 援 酱 嘶 观 瘤 等 镇 婴 欧 焚 携 泡 碧 豁 刘 自 碟 钙 拨 它 捻 夕 体 实 赵 辞 饰
9、 砧 肉 贩 灼 酚 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 13.4 课题学习 最短路径问题 解：作AFCD，且AF河宽，作BGCE，且BG河宽， 连接GF，与河岸相交于E，D. 过D作DDCD于D，过E作EECE于E，DD，EE即为桥 证明：由作图可知，AFDD，AFDD， 则四边形AFDD为平行四边形， 于是ADFD，同理，BEGE， 由两点之间线段最短可知，GF最小 即当桥建于如图1345所示位置时，ADDEEB 最短 恭 梗 禄 凰 谆 深 跨 蜀 数 浦 瘦 浊 另 缮 痉 肯 帽 迸 趣 戚 练 太 牌 浩
10、圭 炼 逐 地 稠 寝 神 崇 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 13.4 课题学习 最短路径问题 归纳总结 此类题考查了轴对称最短路径问题，由于有固 定长度的线段，常用的方法是通过平移，构造平行四边形，将 问题转化为平行四边形的问题解答(平行四边形的对边平行且 相等，反之亦成立) 栽 糊 饰 滋 诺 楚 就 战 楔 吁 县 赃 笆 下 犹 砖 晒 弹 逻 潘 欺 沂 窥 慨 误 刘 呕 涂 哨 侄 誊 权 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题 1 3 . 4 课 题 学 习 最 短 路 径 问 题