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1、4.2 空间图形的公理,学习目标,1.了解空间点，线，面的位置关系。能用数学符号语言表示 2.识记空间公理1-3.并能用符号语言以条件，结论的方式书写公理 3.了解公理的简单应用。,观察空间长方体，说说空间点与线，点与面，线与面的位置关系,阅读课本，如何用数学语言描述这些关系？,观察思考,例题,例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.,解：1） A，B，=l，a=A，a=B,2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P,阅读思考,1.什么叫公理？我们初中几何中学过哪些公理？ 2.公理一的内容是什么？生活中那些现象可以用公理一解释？能否用图形语言和数学符号语言叙述公
2、理？ 3.公理一的作用是什么？,公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这直线上所有的 点都在这个平面内(即直线在平面内).,图形语言表述:,条件：线上两点在一个平面内，,结论：线上所有点都在这个平面内；,作用：说明线在面内，或点在面内,阅读思考,1.公理二的内容是什么？生活中那些现象可以用公理二解释？能否用图形语言和数学符号语言叙述公理？ 2.公理二的作用是什么？,问题,我们知道，两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？,公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）,图形语言表述:,认识:(1)经过一点，两点或在同一直线上的三点可有无数个平面 (2)“有
3、且只有”指具有“存在性”和“唯一性：,1、经过一条直线和这条线外一点，可以确定一个平面吗？,2、经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？,3、经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？,思考交流,注意：公理二及其推论可用来确定平面。,1两个平面重合的条件是（ ） A有两个公共点 B有无数个公共点 C存在不共线的三个公共点 D有一条公共直线,巩固练习：,2下列命题中，真命题是（ ） A空间不同三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面 C两组对边相等的四边形是平行四边形 D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内,c,3空间有四个点，其中无三点共线，可确定 _ 个平面,一个或四个,D,阅读
4、思考,1.公理三的内容是什么，请用图形语言和符号语言叙述公理？ 2.公理三的作用是什么？,公理 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条通过这个点的公共直线,条件：两面共一点， 结论：两面共一线,符号语言表示：,作用（1）它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；,（2）它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。,证明：,（公理2）,同理可证：,点评：证明点共线证明这些点同时在两相交平面的交线上,A,B,C,P,R,Q,阅读思考,1.叙述公理四的内容 2.空间两条直线的位置关系
5、有哪些？ 3.什么是异面直线？,16,例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,17,例3.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?,在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补(如图1,AOA/O/,BCB/O/, AOB和A/O/B/相等, AOC和A/O/B/互补),定理: 空间中,如果两个角的 两条边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补.,符号语言表示： 若AOA/O/,BCB/O/, 则AOB=A/O/B/； 或AOC+A/O/B/=180。,思考1、正方体ABCDA1B1C1D1中，AC1平面A1BD=M，求作点M。,本题体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。,思考2：求作下列截面：,(1)正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别是棱的中点，是做出平面DMN和平面A1B1C1D1的交线， 试画出过D，M，N的平面截得正方体的截面形状。,(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。,