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1、第 9 9 讲 平面直角坐标系及函数 【知识梳理】 （一）基本知识点 1.平面直角坐标系的概念 两条互相过原点且垂直的数轴构成平面直角坐标系。 2.平面直角坐标系的特征 原点坐标（0，0）； 第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）； x 轴的点（a，0）；y 轴的点（0，a）； 第一、三象限角平分线上的点（a，a）； 第二、四象限角平分线上的点（-a，a）； 3.平面直角坐标系中的点与实数对的关系 坐标系内的点与有序实数对是一一对应的，不同位置点的坐标特征不同； 在坐标系中由一个坐标可以确定一个点的位置，不同位置点的坐标也是不同的； 同一平面内一个点在不
2、同的坐标系中坐标也不相同。 4.特殊点的坐标 （1）平行于 x 轴直线上的点的纵坐标相等；平行于 y 直线上的点的横坐标相等.。 （2）点的坐标与线段长度 点到 x 轴的距离是该点纵坐标的绝对值； 点到 y 轴的距离是该点横坐标的绝对值； 由点到坐标轴的距离加上性质符号可得点的坐标。 （3）线段的中点坐标 x x y y 若 A（x1,y1）、B（x2,y2），则线段 AB 的中点坐标为（ 1 2 ， 1 2 ）。 2 2 5.坐标系中点的变换 （1）点的平移变换 图形的平移中对应点的坐标变化，：上下平移，纵坐标上加下减；左右平移，横坐标左减 右加。 （2）点的轴对称和中心对称变换 点 A（a
3、,b）关于 x 轴的对称点的坐标为（a,-b）； 1 点 A（a,b）关于 y 轴的对称点的坐标为（-a,b）； 点 A（a,b）关于原点的对称点的坐标为（-a,-b）； 点 A（a,b）关于直线 y=x 的对称点的坐标为（b,a）； 点 A（a,b）关于直线 y=-x 的对称点的坐标为（-b,-a）； (3)点的旋转变换 旋转改变的是位置而不是形状，明确旋转前后的对应关系，作垂直，求垂线段的长可得点 的坐标。 （4）位似变换后点的坐标 以点 A（a,b）所在图形以原点为位似中心，位似比是 m 时，点 A 的对应点坐标为（ma ， mb）。 6.函数的定义 在某一变化过程中，有两个变量 x 和
4、 y，给定一个 x 的值，就有唯一一个确定的 y 值与它 相对应，则 y 是 x 的函数，x 是自变量。 函数的基本特征：有两个变量 x 和 y ，y 随着 x 的变化而变化，给定一个 x 的值就有一个 y 与之相对应。 7.函数的表达形式 3 种函数表达形式以及其特点： （1）解析法：能准确反映整个变化过程中自变量和函数值的对应关系，但实际问题中，有的 函数关系不一定能用解析式表示； （2）列表法：能简单明了地表示自变量和函数值的对应关系，但有局限性； （3）图象法：能直观地反映出函数的性质和变化规律，画函数图象的一般方法：列表；描点； 连线。 8.函数自变量的取值范围 自变量的取值要使实际
5、问题或式子有意义。 确定自变量取值范围的方法： （1）当函数关系式是一个只含有一个自变量的整式时，自变量是全体实数； （2）当函数关系式表示实数时，自变量的取值必须使实际问题有意义； （3）当函数关系式是一个分式时，自变量的取值范围是使分母不为 0 的实数； （4）当函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于 0 的实数； （5）当函数关系式中自变量同时含在分式和二次根式中时，自变量的取值范围是它们的公共 2 取值范围。 9.函数中两个变量的变化规律 在某一变化过程中，变量 y 随 x 的变化而变化，x 是自变量，y 是因变量，y 随着 x 的增大 而增大，或 y 随着 x 的
6、增大而减小。， 【考点解析】 考点一. .平面直角坐标系的特点 【例 1 1】在平面直角坐标系中，点 P（m3，42m）不可能在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】D1：点的坐标 【分析】分点 P 的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解 【解答】解：m30，即 m3 时，2m6， 42m2， 所以，点 P（m3，42m）在第四象限，不可能在第一象限； m30，即 m3 时，2m6， 42m2， 点 P（m3，42m）可以在第二或三象限， 综上所述，点 P 不可能在第一象限 故选 A 考点二：坐标系中的距离 【例 2 2】如图，点 A（2，1）到 y 轴的距离为（ ）
7、A2 B 1 C 2 D 考点：点的坐标 分析：根据点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长度解答 解答： 解：点 A 的坐标为（2，1），则点 A 到 y 轴的距离为 2 故选 C 点评： 本题考查了点的坐标，熟记点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横 3 坐标的长度是解题的关键 考点三：几何图形中点的坐标 【例 3 3】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，ABC的三个顶点 的坐标分别为 A（3，4），B（5，2），C（2，1） （1）画出ABC关于 y 轴对称图形A1B1C1； （2）画出将ABC绕原点 O 逆时针方向
8、旋转 90得到的A2B2C2； （3）求（2）中线段 OA扫过的图形面积 【考点】R8：作图旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图轴对称变换 【分析】（1）分别作出各点关于 y 轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形A2B2C2即可； （3）利用扇形的面积公式即可得出结论 【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求； （2）如图，A2B2C2即为所求； （3）OA= =5， 线段 OA扫过的图形面积= = 考点四：坐标系中点的变换 4 【例 4 4】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2的直角边 OA1在 y 轴的正半轴上， 且 OA1=A1
9、A2=1，以 OA2为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3，以 OA3为直角边作第三个等腰 直角三角形 OA3A4，依此规律，得到等腰直角三角形 OA2017A2018，则点 A2017的坐标为 （ 0 ， （ ）2016）或（0，21008） 【考点】D2：规律型：点的坐标 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到 OA1=1，OA2= ，OA3=（ ）2，OA2017=（ ） 2016，再利用 A 1、A2、A3、，每 8 个一循环，再回到 y 轴的正半轴的特点可得到点 A2017在 y 轴的正半轴上，即可确定点 A2017的坐标 【解答】解：等腰直角三角形 OA1A2的直角边 OA1在
10、y 轴的正半轴上，且 OA1=A1A2=1，以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3，以 OA3为直角边作第三个等腰直角三角形 OA3A4， OA1=1，OA2= ，OA3=（ ）2，OA2017=（ ）2016， A1、A2、A3、，每 8 个一循环，再回到 y 轴的正半轴， 20178=2521， 点 A2017在第一象限， OA2017=（ ）2016， 点 A2017的坐标为（0，（ ）2016）即（0，21008） 故答案为（0，（ ）2016）或（0，21008） 考点五. .坐标系中图形的变换 【例 5 5】（2017宁德）函数 y=x33x 的图象如图所示，则以下
11、关于该函数图象及其性质的描述 正确的是（ ） 5 A函数最大值为 2 B函数图象最低点为（1，2） C函数图象关于原点对称 D函数图象关于 y 轴对称 【考点】E6：函数的图象；P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标；R6：关于原点对称的点的坐 标 【专题】532：函数及其图像 【分析】观察函数图象，得出正确的表述即可 【解答】解：观察图形得：函数没有最大值，没有最低点，函数图象关于原点对称， 故选 C 【点评】此题考查了函数的图象，关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，以及关于原点对称的点的 坐标，认真观察图形是解本题的关键 考点六：函数的定义及函数的表达形式 【例 6 6】小明从家到学校，
12、先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路 匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程 s（m）与时间 t（min）的大致图象 是（ ） A B C D 【分析】根据题意判断出 S 随 t 的变化趋势，然后再结合选项可得答案 【解答】解：小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此 S 随时间 t 的增长而增长， 等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S 不增长， 坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此 S 又随时间 t 的增长而增 长， 故选：C 6 【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，根据题意判断出两个变量的变化情 况 【中考热点
13、】 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容 器然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底 部则下面可以近似地刻画出容器最高水位 h 与注水时间之间的变化情况的是（ ） A B C D 【分析】根据题意判断出 h 随 t 的变化趋势，然后再结合选项可得答案 【解答】解：空玻璃杯注满前，水位越来越高；空玻璃注满后很长时间高度不变；当容器和空 玻璃杯水位相同时，水位继续升高。 故选：B 【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，根据题意判断出两个变量的变化情 况 【达标检测】 1. 在平面直角坐标系中，将点 A（x，
14、y）向左平移 5 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后 与点 B（3，2）重合，则点 A 的坐标是（ ） A（2，5） B（8，5） C（8，1） D（2，1） 考点： 坐标与图形变化-平移 分析： 逆向思考，把点（3，2）先向右平移 5 个单位，再向下平移 3 个单位后可得到 A 点 坐标 7 解答： 解：在坐标系中，点（3，2）先向右平移 5 个单位得（2，2），再把（2，2）向下 平移 3 个单位后的坐标为（2，1），则 A 点的坐标为（2，1） 故选 D 点评： 本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐 标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就
15、是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长 度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或 向下）平移 a 个单位长度（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减 2. （2017 张家界）在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m（m0）与 y= （m0）的图象可 能是（ ） A B C D 【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象 【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定 m 的符号，再利用 m 的符号对一次函数图象 的位置进行判断，从而判断该选项是否正确 【解答】解：A、由反比例函数图象得 m0，则一次函数图象经过第二、三、
16、四象限，所以 A 选项错误； B、由反比例函数图象得 m0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以 B 选项错误； C、由反比例函数图象得 m0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以 C 选项错误； D、由反比例函数图象得 m0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以 D 选项正确 故选 D 3. 如图，点 P 在直线 AB 上方，且 APB 90 ， PC AB 于C ，若线段 AB 6， AC x ， S PAB y ，则 与 的函数关系图象大致是（ ） y x 8 A B C D 【答案】D 【解析】 试题分析：PCAB 于 C，APB=90， ACP=BCP=90， APC+B
17、PC=APC+PAC=90， PAC=BPC， APCPBC， PC BC ， AC PC AB=6，AC=x， BC=6x， PC2=x（6x）， PC= x(6 x) ， 1 (x 3)2 9 y= ABPC=3 x2 6x =3 ， 2 故选：D 考点：动点问题的函数图象 4. （2017齐齐哈尔）已知等腰三角形的周长是 10，底边长 y 是腰长 x 的函数，则下列图象中， 能正确反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A B C 9 D 【考点】F3：一次函数的图象；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质 【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边
18、之和大于第三边， 三角形的任意两边之差小于第三边求出 x 的取值范围，然后选择即可 【解答】解：由题意得，2x+y=10， 所以，y=2x+10， 由三角形的三边关系得， ， 解不等式得，x2.5， 解不等式的，x5， 所以，不等式组的解集是 2.5x5， 正确反映 y 与 x 之间函数关系的图象是 D 选项图象 故选 D 5. （20172017 宁夏）已知点 A（1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数 图象可能是（ ） A B C D 【分析】由点点 A（1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，可得 A 与 B 关于 y 轴对称，当 x0 时，y
19、随 x 的增大而增大，继而求得答案 【解答】解：A（1，1），B（1，1）， A 与 B 关于 y 轴对称，故 C，D 错误； B（1，1），C（2，4） 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故 D 正确，A 错误 这个函数图象可能是 B， 故选 B 10 【点评】此题考查了函数的图象注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键 6 （2017呼和浩特）函数 y= 的大致图象是（ ） A B C D 【考点】E6：函数的图象 【分析】本题可用排除法解答，根据 y 始终大于 0，可排除 D，再根据 x0 可排除 A，根据函 数 y= 和 y= x 有交点即可排除 C，即可解题 【解答】解：|
20、x|为分母，|x|0，即|x|0，A 错误； x2+10，|x|0，y= 0，D 错误； 当直线经过（0，0）和（1， ）时，直线解析式为 y= x， 当 y= x= 时，x= ， y= x 与 y= 有交点，C 错误； 当直线经过（0，0）和（1，1）时，直线解析式为 y=x， 当 y=x= 时，x 无解， y=x与 y= 没有有交点，B 正确； 故选 B 7. 在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点 A、B、C 的坐标分别为（1，1）、（1，1）、 （1，1），则顶点 D 的坐标为 （ 1 ， 1 ） 考点： 坐标与图形性质. 11 分析： 根据点的坐标求得正方形的边长，然后根据第三个点的坐标的特点将第四个顶点的坐 标求出来即可 解答： 解：正方形两个顶点的坐标为 A（1，1），B（1，1）， AB=1（1）=2， 点 C 的坐标为：（1，1）， 第四个顶点 D 的坐标为：（1，1） 故答案为：（1，1） 点评： 本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是弄清当两个点的横坐标相等时，其 两点之间的距离为纵坐标的差 12