第2章随机信号及其时域统计特性.ppt

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1、1,2,第 二章,随机信号(随机过程) 及时域统计特性,3,2.1 随机信号的基本概念及统计特性,2.2 连续时间随机信号的微分和积分,2.3 平稳随机信号的判定及其遍历性,目录,2.4 两个随机信号间的联合平稳和联合遍历,2.5 典型的随机信号,4,2.1,2.1 随机信号的基本概念及统计特性,基本要求：,深入理解随机信号的定义,了解随机信号的几种分类,理解平稳随机信号的概率分布,掌握平稳随机信号的时域统计特性,5,2.2.1 随机信号的定义,1、实验观察 接收机的噪声电压，对其多次采集 ， 各次所得电压波形xi(t)都 不一样，即呈现随机性,6,样本函数： ， ， ， ，都是时间函数，称为

2、样本函数。即每次所采集的电压波形。,7,2. 由实验角度对随机信号下定义,8,9,3.定义的理解 ：,随机信号的两种定义，从两个角度描述了随机信号。 作观测时，定义1:单次试验所得的样本，可得到随机信号的统计特性；（样本函数/时间函数） 理论分析时，定义2:多次试验多个样本。将n个样本中的t0时刻记录值，归拢为一个集合，则该集合=n 维随机变量。试验次数n越多，所得到的统计特性越准确。,10,随机变量,与时间无关 ，与次数有关,随机信号,与时间相关的一族随机变量,确定性信号：每一时刻的取值是固定数值 随机性信号：每一时刻的取值是随机变量,11,解：,(1) 固定时间t，X(t)是随机变量，,是

3、一族随机变量,(2) 对随机变量做一次试验得到一个结果，,是随时间变化的函数，即样本函数。,X(t)是一随机信号。,12,2.2.2 分类,2.2.2 随机信号分类,1. 按随机信号的时间和状态来分类,(1) 连续型随机信号：时间t取值连续，且对随机信号任一时刻 的取值 都是连续型随机变量。 即时间连续、幅度连续。,(2) 离散型随机信号：时间t取值连续，且对随机信号任一时刻 的取值 都是离散型随机变量。 即时间连续、幅度离散。,(3) 连续型随机序列：相当于对连续型随机信号的采样。即时间离散、幅度连续，,(4) 离散型随机序列：相当于对离散型随机信号的采样。 即时间离散、幅度离散。 （计算机

4、所处理的对象）,13,14,15,16,离散型随机序列,17,2. 按样本函数的形式来分类,不确定的随机信号：随机信号的任意样本函数的值不能被预测。例如：接收机的噪声电压波形。,确定的随机信号：随机信号的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。,18,离散型随机信号,不是确定性随机信号,19,例3 离散型随机信号的样本函数皆为常数， 即X(t)=C=可变常数，其中C为随机变量，其可能值 为C1=1，C2=2和C3=3，它们分别已概率0.6、0.3及0.1 出现。X(t)是确定性随机信号吗？,X(t)是确定性随机信号,20,3. 其他分类,按概率分布函数或概率密度函数： 正态随机信号

5、、泊松随机信号、马尔可夫随机信号,按平稳性：平稳随机信号、非平稳随机信号,按遍历性：遍历随机信号、非遍历随机信号,按功率谱密度特性： 宽带随机信号、窄带随机信号等,21,2.2.3 随机信号的概率分布,2.2.3 随机信号的概率分布函数与概率密度函数,1. 一维概率分布函数与一维概率密度函数,随机信号X(t)在任意ti T的取值X(ti)是一维随机变量。记为Fx(xi；ti)=PX(ti)xi为随机信号 X(t)的一维概率分布函数。,22,2. 二维概率分布函数和二维概率密度函数,若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，则,为随机信号X(t)的二维概率密度函数,23,3

6、. n维概率分布函数和n维概率密度函数,24,4. 概率分布函数和概率密度函数的性质,定义,单调递增性,概率分布与概率密度之间的关系：,取值范围：,随机序列,25,26,概率密度函数与概率分布函数的应用,产品质量控制(生产设备的工作稳定性) 图(a)：一批零件的加工尺寸 图 (b)、图 (c)可判断加工过程的质量高低，进而可评价或判断机床工具是否应该调整,27,利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱 振幅峰图 (a)：上升的峰值A 振幅频次图 (b)：横座标-振幅峰，纵座标-振幅峰在观测时间内出现的频次。即动态波形峰值出现的频次分布。 累计频次图(c)：对图(b)沿横坐标进行累计。 图 (

7、b)和(c) 即随机载荷谱。 随机载荷谱可用于判断材料所要具备的耐受程度,概率密度函数与概率分布函数的应用,28,概率密度函数用于机器状态判断 新变速箱噪声的概率密度曲线如图 (a)所示，旧变速箱噪声的概率密度曲线如图 (b)所示,概率密度函数与概率分布函数的应用,29,30,2.2.5 随机信号的数字特征,2.2.5 随机信号的数字特征,一般来说， 随机变量的数字特征:确定值； 随机信号的数字特征:确定性函数。,计算随机信号的数字特征； 1）先把时间t固定， 2）然后用随机变量的分析方法来计算。,31,1. 数学期望（一阶原点矩）,显然， 是某一个平均函数，随机信号的诸样本在它的附近起伏变化

8、，如图所示：,物理意义： 如果随机信号X(t)是输出电压，则其数学期望就是某瞬时t的输出电压的统计平均值。,均值(数学期望)-mx(t)/x(t),32,2. 均方值（二阶原点矩）和方差 （二阶中心矩）,33,物理意义：如果 表示噪声电压，则均方值 和方差 分别表示单位电阻上的瞬时功率的统计平均值；单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。,标准差或均方差：,方差：信号X围绕均值mx的波动程度,34,时域参数,(1) 均值,(2) 均方值,(3) 方差,三者间的关系,35,3. 自相关函数 注意有些书标为Rxx(t1,t2)/Rx(t1,t2),比较具有相同数学期望和方差的两个随机信号。,36,自

9、相关函数用来描述随机信号任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用 描述。,当时间间隔t1=t2时，自相关函数就是均方值。,37,38,39,自相关函数及其应用,几种常见信号的自相关函数,40,自相关函数及其应用,几种常见信号的自相关函数,41,自相关函数及其应用,寻找周期成分：信号的周期性分量在自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。 用噪声诊断机器运行状态： 正常机器的噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加而成，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。 异常机器的噪声则会包含周期性成分，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。 可在噪声的自相关函数中发现隐藏的周期分量，从而判断机器是否异常。

10、,42,自相关分析诊断的实例,汽车车身振动信号,43,自相关分析诊断的实例,自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置,44,4. 自协方差函数 注意有些书标为COVxx(t1,t2)/Cxx(t1,t2)/ Cx(t1,t2),若用随机信号的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用 表示，它反映了任意两个时刻的起伏变化量之间相关程度。,45,自协方差和自相关函数的关系,自协方差方差；自相关均方值,46,设两个随机信号 和 ，它们在任意两个时刻t1，t2的取值为随机变量 、 ,则定义它们的互相关函数为：,1、互相关函数,2.2.6 随机信号间的关系,2

11、.2.6 两个随机信号之间的关系,47,互相关函数 的性质如下,48,互相关分析的应用实例,利用互相关分析测定船舶的航速,49,互相关分析的应用实例,利用相关分析探测地下水管的破损地点,若max为正，则破损点在两端测量点中心靠传感器1的一侧。 若 max为负，则破损点在两端测量点中心靠传感器2的一侧,50,2、互协方差函数,随机信号 和 的互协方差函数定义为：,51,3、两个随机信号间的三种基本统计关系,1）统计独立,则称随机信号 和 相互独立。,若,52,t1, t2都具有 或 ，,53,(1) 相互独立(二阶矩都存在) 两者不相关。 (2) 正态随机信号：不相关=相互独立。,注：,54,举

12、例,例4：求随机相位正弦波 的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中， 为常数，是区间0， 上均匀分布的随机变量。,解： （1） 均值,同理,55,（2）方差,可知,例4：求随机相位正弦波 的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中， 为常数，是区间0， 上均匀分布的随机变量。,56,（3）自相关函数,57,例4：求随机相位正弦波 的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中， 为常数，是区间0， 上均匀分布的随机变量。,58,例5：设随机信号X(t)=A+Bt，其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量，求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维

13、概率密度函数。,（1）数学期望,（2）方差,59,（3）自相关函数,（4）自协方差函数,例5：设随机信号X(t)=A+Bt，其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量，求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。,60,（5）一维概率密度函数,因A和B都是正态分布随机变量，,所以，给定时间t，X(t)也是正态分布随机变量，且,例5：设随机信号X(t)=A+Bt，其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量，求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。,61,（6）二维概率密度函数,给定时间t1和t2，,X(t1) 和

14、X(t2)是两个正态分布随机变量，且,例5：设随机信号X(t)=A+Bt，其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量，求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。,62,例6(课堂练习)：设随机信号X(t)=Acosw0t，其中w0为常数，A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量， (1) 画出随机信号X(t)的几个样本函数图形； (2) 试求t=0、/(4w0)和3/(4w0)时， X(t)的一维概率密度函数。 (3)求X(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差函数,解：,t=0,X1=X(t=0)=A,t=/(4w0),X2=X(t= /(4w0)=A

15、cos(/4),t=3/(4w0),X3=X(t= 3/(4w0)=Acos(3/4),63,例6(课堂练习)：设随机信号X(t)=Acosw0t，其中w0为常数，A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量，,64,2.1 .7 时域统计特性的小结,65,2.2 随机信号的微分和积分,基本要求： 理解随机信号的连续、微分、积分 掌握随机信号的数字特征的求微分 掌握随机信号的数字特征的求积分,66,一、连续性的定义,2.2 随机信号的微分和积分,一、 随机信号的连续性,1. 确定信号f(x)的连续性,67,2. 随机信号 的连续性,68,3. 随机信号 的相关函数连续，则 连续,4. 随机信号 均方

16、连续，则其数学期望连续,69,二、微分（求导数）,二、 随机信号的导数 （求微分）,1.确定信号的可导,70,2. 随机信号的可导, 通常意义下的导数,随机信号X(t)的导数（求极限）,71, 均方意义下的导数,72,随机信号X(t)在t处均方可微的充分条件为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏导数且连续，即存在,73,3. 数字特征,（1）随机信号导数的数学期望等于其数学期望的导数,（2）随机信号导数的相关函数等于可微随机信号的相关函数的混合偏导数,74,75,例2. 随机信号X(t)的数学期望为,求随机信号,的均值。,76,77,三、 随机信号的积分,1. 确定信号的积分,三、积分

17、,78,2. 随机信号的积分,定区间积分： 随机信号 在确定区间 上的积分Y是一个随机变量，即,即,则称 为随机信号 在 上的均方积分。,79,加权积分：,变上限积分：,a,a,80,3.定区间随机信号积分的数字特征,（1）积分的数学期望=数学期望的积分。,(2) 积分的均方值=自相关函数的二重积分；,(3) 积分的方差=自协方差的二重积分。,81,(1) 积分的数学期望 =数学期望的积分,4. 变上限随机信号积分的数字特征,(2) 积分的自相关函数=自相关函数的二重积分 积分的自相关积分的均方值,(3) 积分的自协方差函数=自协方差函数的二重积分 积分的自协方差积分的方差,82,积分的举例,

18、解：,(1)求X(t)的均值和自相关函数,83,(2)求Y(t)的均值、自相关函数和自协方差函数,84,85,基本要求：, 随机信号宽平稳性的判断。, 计算宽平稳随机信号的时域统计特性。, 随机信号遍历性的判断。,2.3 平稳随机信号的判定及其遍历性,86,1. 严平稳随机信号,(1) 定义,如果对于任意的n和 ，随机信号 X(t)的 n 维概率密度满足：,则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机信号 。,严平稳随机信号的统计特性与时间起点无关 。,一、平稳随机信号,87,(2) 一、二维概率密度及数学特征,严平稳随机信号的一维概率密度与时间无关,88,严平稳随机信号的二维概率密度只与 t1, t

19、2的时间间隔有关，而与时间起点无关,89,(3)严平稳的判断,按照严平稳的定义，判断一个随机信号是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机信号不是严平稳的，具体方法有两个：,(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 与时间t无关。,(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相同的统计特性。,90,若随机信号 X(t)满足,则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机信号。,严平稳与宽平稳的关系：严平稳随机信号的均方值有界，则此随机信号为宽平稳的，反之不成立。 正态随机信号：严平稳=宽平稳。,二、宽平稳随机信号,

20、91,例2. 设随机信号Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： Z(t)的均值和自相关函数； 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。,解：,因此，Z(t)是宽平稳的。,92,因此，Z(t)不是严平稳的。,例2. 设随机信号Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： Z(t)的均值和自相关函数； 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。,93,例2. 设随机信号X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且

21、EA=EB=0，DA=DB=10，EAB=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。,解：,X(t)不是平稳随机信号。,Y(t)是平稳随机信号。,94,95,96,97,性质1,某瞬间t的平均功率,性质2,偶对称性,性质3,极值性,三、平稳随机信号的自相关函数性质,瞬时功率,瞬时交流功率,98,性质4,若平稳随机信号含有平均分量(均值mX) ，则自相关函数也含有平均分量(均值mX), 即,则,若X(t)是非周期的，,99,平稳随机信号必须满足对所有 均成立。,性质5,相关函数（协方差）的典型曲线,100,例3：已知平稳随机信号 X(t)的自相关函数为 RX()=100e

22、-10| |+100cos10 +100 求X(t)的均值、均方值和方差。,RX()=（100cos10 ）+（100e-10| |+100）= RX1()+ RX2(),所以有,解：,101,严平稳随机信号,宽平稳随机信号,严平稳随机信号的统计特性与时间起点无关 。,一维概率密度 与时间无关,均值、均方值、 方差及 与时间无关,二维概率密度仅 与时间间隔有关,相关函数仅与时间间隔有关,均值mX为常数 自相关函数RX仅与时间间隔有关 均方值为有限值,102,此值在1，1之间。,相关系数,表示不相关,表示完全相关,表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号,很可能相同。,四、平稳随机信号的相关系数和相

23、关时间,103,相关时间,当相关系数中的时间间隔大于某个值0，可以认为两个不同时刻起伏值不相关，这个时间就称为相关时间。,(1) 相关系数从最大值1下降至0.05时所经历的时间间隔 ，记做相关时间, 即:,(2)用钜形（高为 ,底为 的矩形）面积等于阴影面积( 积分的一半）来定义相关时间，即,104,解：,105,宽平稳随机信号的小结,106,平稳随机信号的小结,107,1、数字特征的分类,五、遍历性/各态历经性,108,2、时间意义上的数字特征,五、遍历性/各态历经性,109,3、 遍历性随机信号的定义,如果一个随机信号 X(t),它的各种时间平均（时间足够长）依概率100%收敛于相应的各种

24、集合平均,则称X(t)具有严格遍历性,并称它为严遍历随机信号。,严遍历性的定义,110,宽遍历性的定义,设X(t)是一个平稳随机信号，且满足：,则称X(t)为宽(或广义)遍历随机信号。,时间均值,均值遍历,时间相关函数,相关函数 遍历,依概率1成立,111,均方值和方差的遍历性,均方值遍历,方差遍历,112,4 遍历随机信号的实际应用,一般随机信号的时间均值是随机变量， 遍历随机信号的时间均值为确定值，因此可用任一样本函数的时间均值代替整个随机信号的统计均值(总集均值)。,5 遍历性和平稳性的关系,遍历随机信号必定是平稳的， 平稳随机信号不一定是遍历的。 （遍历性更严格）,113,解：,X(t

25、)是平稳随机信号。,(1),114,(2),X(t)是宽遍历随机信号。,115,解：,X(t)不是遍历性随机信号。,116,117,118,119,对于正态平稳随机信号，若均值为零，自相关函数 连续，则此随机信号具有遍历性的一个充分条件为,注意：判断一个平稳随机信号是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率100%等于统计平均。,6.,120,对于遍历性随机信号，样本函数的时间相关函数 =随机信号的总集相关函数。,六、相关函数的测量,121,方法1：按照实验数据确定,122,方法2：利用积分器，即连续型相关函数测量仪,利用电路实现下式,123,2.4 两个随

26、机信号间的联合平稳和联合遍历,基本要求：, 两个随机信号的互相关函数和互协方差函数 的定义。, 两个随机信号联合平稳的定义及判断。, 两个随机信号联合遍历的定义及判断。, 复随机信号的定义及数字特征的计算。,124,1.联合宽平稳,125,2. 互协方差与互相关系数,当两个随机信号联合平稳时，它们的互协方差,互相关系数,126,3. 联合宽平稳随机信号的互相关与互协方差,互相关函数的影像关系,(2),127,4、联合宽遍历,128,平稳随机信号 X(t)和Y(t)的互相关函数为：,故这两个随机信号是平稳相依的。,故KXY()仅在 时等于零，所以X(t1)和Y(t2)是相关的，因而它们不是统计独

27、立的。,解：,129,必须首先判断随机信号 X(t)和Y(t)的平稳性以及它们的联合平稳性。,解：,因此X(t)是平稳的。,因此Y(t)是平稳的。,因此X(t)和Y(t)是联合平稳的。,130,因此X(t)和Y(t)是联合遍历的。,131,理想的宽带信号脉冲信号（白噪声） 理想的窄带信号单频率的正弦波信号 正态随机信号 马尔可夫链,2.5 典型的随机信号,132,2.5.1 理想的宽带信号-脉冲信号,133,2.5.2 理想的窄带信号-正弦波信号,134,一、 正态随机信号的一般概念,如果随机信号X(t)的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机信号(高斯随机信号),2.5.3 正态随机

28、信号,正态随机信号的概率密度函数由它的一、二阶矩（均值、方差和相关系数完全决定）。,135,概率密度函数,式中,mX是n维向量，K是n维阵：,136,二 、平稳正态随机信号,2. 平稳正态随机信号的定义,若正态随机信号满足下列条件，则它是宽平稳（平稳）正态随机信号。,137,2. 平稳正态随机信号的n维概率密度,平稳正态随机信号一、二维概率密度表达式,138,三、 正态随机信号的性质,正态随机信号的n维概率密度完全由它的均值集合，协方差函数集合所确定。,性质1：,性质2：,正态随机信号的严平稳与宽平稳等价。,139,性质4：平稳正态随机信号与确定信号之和仍为正态分布。,推论： 正态随机信号的线性变换仍为正态随机信号。,140,解：,由题知Y是服从正态分布的随机变量。,141,142,时,143,时,