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1、1,线性代数与空间解析几何,哈工大数学系代数与几何教研室,国家精品课,2,学时:64 +32学时 成绩: 100 分 平时: 30分，期末: 70 分.,线性代数与解析几何,序言,3,线性代数的应用:有很多实际问题,都 可以转成线性代数的方法去解决.在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、密码学、经济学和统计学中都有很多应用.,线性代数的重要性：线性代数与微积分是大学数学基础课.无论这样评价其重要性都不为过。而学好这些数学基础课程，将受益终生.,4,一、教学内容 线性代数 ( 抽象) 为了解决多变量问题 形成的学科. （代数为几何提供了便利 的研究工具, 几何为代数 提供了直观想象的空间)
2、 . 解析几何 ( 直观),5,二、课程特点,内容抽象 概念多，符号多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 应用广泛,6,掌握三基基本概念 ( 定义、符号) 基本理论 ( 定理、公式) 基本方法 ( 计算、证明) 提前预习体会思路 多动手，勤思考深入体会思想方法 培养自学能力，独立分析问题能力 和独立解决问题的能力,三、学习方法,7,线性代数与空间解析几何,第一章 n 阶行列式,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2007.9,8,本章主要内容,行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 Cramer法则,9,设二元线性方程组为,1.1.1 二阶和三阶行列式,其中,行列式是一种算式,是
3、根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.,1.1 n阶行列式,10,对方程组用加减消元法求出解:,此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解,如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：,+,11,当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:,12,解,则方程组的解为,例1 求解方程组,由于,13,如果定义三阶行列式如下(对角线法则） ：,那么对三元一次方程组,在系数行列式 D 0 时,方程组有唯一解,其解可表示为:,14,其中,例2,15,问题1：怎样定义n阶行列式?,定义 由1,2, , n 组成的有序数
4、组称 为一个 n阶 ( 全) 排列, 一般记为:,例如 自然数1 ,2 ,3 的排列共有六种.,例如 12 n 是一个n阶排列,叫自然排列.,1.1.2 全排列的逆序数、对换,16,在一个排列 中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构 成一个逆序.一个排列的逆序总数称 为逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为偶排列.,为奇数,则称为奇排列.,定义,如果,17,例3,因为,所以 23541 是一个奇排列.,例4,18,对换: 在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动).,对换改变排列的奇偶性.,需要进行 2s+1 次相邻对换.,证,(1)相邻对换,(2)不相邻对换,定理1.1,所以对
5、换改变排列的奇偶性.,19,奇排列 s 个,偶排列 t 个,(1,2)对换,(1,2)对换,证,全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半.,推论,20,用排列观点总结三阶行列式:,1.1.3 n 阶行列式的定义,21,定义,记一阶行列式,n阶行列式定义:,22,由 个元素组成; 为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.,归纳如下：,注 用定义只能计算一些简单的行列式.,23,证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积, 即,例5,24,以下三角行列式为例来证明.,先决定所有可能的非零项,其次决定非零项的符号
6、,证,25,其中 * 表示此处元素可以是任意的数.,例6,26,这个行列式的值一般并不等于,当 n=4,5 时:,当 n=6,7 时:,问题 2: 如何决定下面一般项的符号?,注意,27,根据这个结论,也可以把行列式表示为:,行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值,注,28,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.2 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,29,(换法)换行(列)换号,即,性质2,30,两行(列)同值为零,即,推论,31,(倍法)把行列式的某一行(列)的所 有元素同乘以数k, 等于用数k乘以 这
7、个行列式,即,性质3,32,如果行列式有两行(列)成比例， 则该行列式为零,推论1,例如,如果行列式某一行(列)有公因子k时, 则该公因子k可以提到行列式符号的 外面,推论2,33,(分拆)如果行列式某行(列)的所有 元素都是两数之和，则该行列式为 两个行列式之和,即,性质4,34,35,例如,36,(消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即,性质5,37,总结行列式性质,性质1,性质2,推论,性质3,推论,性质4,性质5,换行(列)变号.,两行(列)同，值为零.,某行(列)乘数 k=kD.,两行(列)成比例,值为零.,D可按某行(列
8、)分拆成两行列式之和.,D某行(列)乘数 k 加至另行(列), 行列式值不变.,(转置),(换法),(倍法),(消法),38,计算,例7,解 通过行变换将D化为上三角行列式,39,40,设有四阶行列式:,则展开式中x4的系数是( ). (A) 2; (B) 2; (C) 1; (D) 1.,解 含x4的项只有一项,例8,(1)(4321) a14a23a32a41=2x4,41,已知,计算,例9,42,解,由性质4,43,44,学习大学数学，要了解大学数学与中学数学的差别： 中学的数学是静态的，并且只学计算 的方法，内容少而简单； 大学的数学是变量数学，以分析为主 要特色，内容多而理解起来难，
9、老师讲课 进度快。所以，大家应该全方位地学习，要有快速接受知识的能力。尽快从中学过渡到大学，适应大学的学习 对于培养科学素质和创新能力，大学数学是最有用且最值得你努力的课程。,45,引入,下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行 列式计算的问题, 即,1.3 行列式展开定理,46,定义 在给定的n阶行列式 中,把元素,所在的i 行和j 列的元素划去,剩余元素,记作 ;,而元素 的代数余子式记作,构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式,47,48,在行列式,中,例10,49,若 D 的第 i 行(列)元素除 外都是零，,引理,则,行(列)的所有元素与其对应的代数 余子式的乘积之和, 即,定理3,n阶
10、行列式 等于它的任意一,50,51,n阶行列式 ,则,定理4,52,证,及降阶法将 G 按 j 行展开有,由,53,1.定义法利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算； 4. 加边法(升阶法); 5. 递推公式法； 6.归纳法.,总结 n行列式的计算方法,54,计算 n 阶行列式(行和相同),例1,55,解,56,57,计算 n 阶行列式（两道一点）,例2,解,58,计算n+1阶行列式(爪形),其中,例3,59,解,60,当 全不为零时,61,证明n阶(三对角)行列式,例4,其中,62,对行列式阶
11、数n用数学归纳法证明,n=2 时，,结论成立.,证,n=1 时，,结论成立.,63,则对于n阶行列式 按第一行展开有,设n-1, n-2时结论成立,64,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,例5,65,用数学归纳法证明,证,n=2 时，,结论成立.,假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立,从第 n 行开始, 每一行减去前一行的 x1倍, 目的是把第一列除1以外的元素都 化为零.然后按第一列展开, 并提取各列的公因子, 可以得到:,66,67,或者利用递推公式,由上述递推结果即可得到结论.,68,1.4 克莱姆（Cramer)法则,(Cramer法则)如果n元线性方程组,的系数行列式
12、不等于零，,(1),定理5,下面给出利用n阶行列式求解方程个 数与未知量个数都是n而且系数行列式不 为零的线性方程组的求解公式.,69,即,则方程组(1)只有唯一解,且其解为,70,其中 是把的 的第j 列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即,71,如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即,推论1,则此方程组只有唯一零解,即,72,如果n元齐次线性方程组,推论2,有非零解,则系数行列式等于零,即,73,求解线性方程组,例1,线性方程组的系数行列式,解,所以方程组有唯一解.,74,所以方程组的唯一解为,75,典型例题,76,练 习,1.,77,不计算行列式值，利用性
13、质证明,证 令,4.,78,79,因此有,注 的系数为1.,80,计算行列式的值,5,81,解,82,计算行列式:,6.,83,解,此行列式用加边法计算,即,84,85,86,已知,计算（1）,7.,（2）,87,解,=3,=25,88,分析: a相当于第2行的元素乘上的第4 行的代数余子式,根据行列式的性 质,应该为0,答案为(C).,设a=4A41+8A42+5A43+6A44, 则a的值为: (A) -2; (B) -1; (C) 0; (D) 2.,8. 设有四阶行列式,89,计算行列式,9.,90,解,91,92,10.,多项式,如果存在 n 个互不相同的数,使,证明:,证 设,由已知,93,这是关于,的n元一次,线性方程组,其系数行列式,得,94,所以方程组只有唯一零解,即,故,95,预 习 第 二 章,