第5章误差基本知识.ppt

《第5章误差基本知识.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章误差基本知识.ppt（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1,测量误差及其产生的原因 测量误差的分类与处理原则 偶然误差的特性 精度评定的指标 误差传播定律及其应用,第五章 测量误差基本知识,本章主要内容如下：,2,一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。 用数学式子表达： i = Li X (i=1,2n) L 观测值 X真值,5-1 测量误差概述,1、仪器的原因 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。,二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：,3,例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为1，难以确保分以下 估读值完全准确无

2、误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。,仪器构造本身也有一定误差。 例如： 水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。 水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。,4,2、人的原因 观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。,人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。,3、外界条件 例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸

3、缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。,5,三、测量误差的分类,先作两个前提假设： 观测条件相同. 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。,6,先看两个实例： 例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表5-1： 表5-1,可以看出： 误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。,7,例 2： 在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。 大气折光使望远镜中

4、目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。,可以看出： 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。,8,1.系统误差 - 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差具有规律性。,2.偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。,3.粗差-观测中的错误叫粗差。 例如：读错、记错

5、、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。,引进如下概念：,9,(二) 测量误差的处理原则,在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。 对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。 消除系统误差的常用的有效方法： 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 采用合理的观测方法：如对向观测。 研究偶然误差是测量学的重要课题。 消除或削弱偶然误差的有效方法： 适当提高仪器等级。 进行多余观测，求最或是值。,

6、10,若i= Li X （i=1,2,3,358）,5-2 偶然误差的特性,表5-2,11,从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性, 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小； 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。 用公式表示为： 实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。,为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(图5-1)。,12,-24-21-18-16

7、-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 图5-1 频率直方图,13,若误差的个数无限增大(n)，同时又无限缩小误差的区间d，则图6-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。 即当n时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。 正态分布曲线的数学方程式为 : (5-3) 为标准差，标准差的平方为 方差。 方差为偶然误差平方的理论平均值：,14,从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即: 1.f()是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f

8、()相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。 2.愈小，f()愈大。当=0时，f()有最大值; 反之，愈大，f()愈小。当n时，f() 0,这就是偶然误差的第一和第二特性。 3.如果求f()二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标： 拐= 如果求f()在区间 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。,15,f(),+,-,1,1,1,2,1,-,+,f(),2,+,-,2,2,1,2,2,1,16,观测条件较好，误差分布比较密集，它

9、具有较小的参数 ； 观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ； 具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降； 具有较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。,最大纵坐标点：,17,5-3 衡量观测值精度的标准,一.中误差 误差的概率密度函数为： 标准差,在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式： 标准差中误差 m 的不同在于观测个数 n 上； 标准差表征了一组同精度观测在(n)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标； 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标； 所以中误差是标准差的近似值估值；

10、随着 n 的增大，m 将趋近于。,18,必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1； 第二组： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 试求这两组观测值的中误差。 由 解得：m1=2.7 m2=3.6 可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。,19,二、容许误差（极限误差）,根据正态分布曲线，误差

11、在微小区间d中的概率： p()=f() d 设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为： 分别以k=1,2,3代入上式，可得： P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.4 P(3m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的4.6，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3。 由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即容=2m,20,三、相对误差,在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。 例如: 用钢卷尺量200米和40米

12、两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 。 上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见: 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。,21,5-4 误差传播定律,若 Z=F（x1,x2,x3,，xn） 式中xi(i=1,2,3,，n)为独立观测值，其中误差为mi (i=1,2,3,，n),求观测值函数的中误差mz。当

13、观测值xi分别具有真误差xi时，则函数z也随之产生相应的真误差z 。 由数学分析可知，变量与函数的之间的误差关系可近似用函数的全微分表达，即,22,一般函数： 倍数函数： 和差函数： 线性函数：,一、误差传播定律主要公式,23,二、误差传播定律的应用,应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下述步骤进行： 1、按问题性质先列出函数式： 2、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差之间的关系式 3、将真误差形式转换成中误差形式 注意：各观测值之间必须互相独立。,24,例题1：设有函数 式中:s =150.11m，其中误差ms =0.05m =1194500， 其中误差m=20.6；求z

14、的中误差mz 解：因为 所以：,例：有函数式如下，若x的中误差mx为已知，求mz。,方法一:,方法二:,注意：在应用误差传播定律时函数式中各观测值之间必须 相互独立,26,误差传播定律的应用,水准测量的高差中误差： 若 hAB=h1+h2+hn 设每站高差中误差均为m站，则有 mhAB=n m站 即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比。 若水准路线为平坦地区，则每测站间距离S大致相等，设AB路线总长为L，则测站数n=L/S，则： 即水准测量高差中误差与距离的平方根成正比。,27,由三角形闭和差求测角中误差,根据中误差的定义：,28,5-5 算数平均值及其中误差,一、算术平均值,即，n 趋近

15、无穷大时，算术平均值即为真值,设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1, L2, L3 , Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。设未知量的真值为X ，以L表示上式观测值的算术平均值，则有,式中：i = LiX,取极限：,29,现在来推导算术平均值的中误差公式。,式中，1 / n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则算术平均值的中误差为,30,二、观测值的改正数,观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用v表示。当观测次数为n时，有,将,代入上式，得,观测值改正数的重要特性: 即对于一组等精度观测，其观测值

16、改正数的总和为零。,31,三、观测值的精度评定,由真误差与观测值改正数的定义可知：,两边同时平方并相加，得,因为,，令,，代入上式，得,32,因为,所以,33,因为,所以,整理后，得,这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。,34,例1：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。,35,【例2】 ：用J6型光学经纬仪观测角度，其1测回方向中误差为6，对该角度观测3个测回。求(1)观测1测回角度中误差m；(2) 3测回角度平均值的中误差 m均；(3)欲使角度中误差为3需要观测几个测回。,解： (1)观测1测回角度中误差m =b-a,(2

17、) 3测回角度平均值的中误差 m均,(3)根据题意有：,5-6不等精度直接观测平差,一、有关概念,设对某未知量分两组进行观测，第一组测4次，观测值为L1、L 2、L 3、L 4，第二组测2次，观测值为L 1、L 2，它们都是等精度观测，则,表示各观测值可靠程度的数值（p）。,权的定义,权的确定,设不等精度观测值的中误差分别为m1，m2，mn,【例】设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为：m1=1，m2=2，m3=3，则它们的权各为,单位权与单位权中误差,等于1的权称为单位权，与这个单位权相对应的中误差称为单位权中误差，一般用m0表示。对于中误差为mi的观测值，其权pi为,二、不等精度

18、观测值的最或然值,设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为L1，L 2，Ln，其对应的权为p1，p2，pn，则加权平均值即为不等精度观测值的最或然值。计算公式为：,三、评定精度,【例】水准测量中从已知高程点A、B、C出发得O点的三个 高程观测值Hi及各水准路线的长度Li，求O点高程的最或然值Ho及其中误差M,42,本章小结： 1.测量误差及其产生的原因 仪器的原因 人的原因 外界环境的影响 2.测量误差的分类与处理原则 系统误差 - 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 偶然误差-在相同的观测条

19、件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。,43, 误差的处理原则 系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。 消除系统误差的常用的有效方法： 检校仪器： 求改正数 采用合理的观测方法。 研究偶然误差是测量学的重要课题。 消除或削弱偶然误差的有效方法： 适当提高仪器等级 进行多余观测，求最或是值。,44, 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小； 绝对值相等的正

20、、负误差具有大致相等的频率； 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。,3. 偶然误差的特性,45,4. 观测成果的精度评定指标,中误差 观测个数n总是有限的 中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。 极限误差 偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5，故以2倍中误差作为允许的误差极限，允=2m 相对中误差 用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量,即m/L=1/N。,46,5、误差的传播规律及应用 一、和差函数的中误差 二、线性函数和倍数函数的中误差,47,三、一般函数的中误差,48,1、偶然误差和系统误差有什么不同?偶然误差有哪些特性? 2、为什么说观测值的算术平均值是最可靠值? 3、某直线段丈量了4次，其结果为：98.427m，98.415m，98.430m，98.426m。计算其算术平均值、观测值中误差，并计算算术平均值中误差和相对误差。 4、用经纬仪测水平角，一测回的中误差m=15，欲使测角精度达到m=5，需观测几个测回？ 5、进行三角高程测量，按h=Dtan计算高差，已知=20，m=1，D=250m，mD=0.13m，求高差中误差mh。,第5章 作业,