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1、整式的运算与因式分解 一、知识归纳： 1、幂运算是整式乘除的基础，有以下 4 个： a (am )n anm (ab)n an bn am an amn m a am n n ， ， ， 2、乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项 式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简 求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用； 乘法公式常用的变形有： (a b)2 (a2 b2 ) (a2 b2 ) (a b)2 (1)a2 b2 (a b)2 2ab ， ab 2 2 (2)(a b)2 (a b)2 2a2
2、 2b2 ； (3) (a b)2 (a b)2 4ab ； (a b)2 (a b) 2 a2 b2 c2 (a b c) 2(ab bc ac) 2 （4） ab ， 4 3、熟练掌握各种因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、添项拆 项法、换元法、因式定理与短除法等等；运用因式分解解决包括不定方程的整数解等问题. 二、例题选讲： 【例 1】(1)如果 x2 x 1 0，则 x3 2x2 3 (2)把(x2一 x+1)6展开后得 ，则 a12 x a x a x2 a x a 12 11 11 2 1 0 a12 a a a a a a 10 8 6 4 2 0 = 1
3、 1 【例 2】已知 25x 2000，80y 2000 ，则 等于( ) x y 1 A2 B1 C D 2 3 2 【例 3】例 3：设 a、b、c、d 都是自然数，且 a5 b4 ,c3 d 2 ,a c 17 ，求 d 一 b 的值 【例 4】 x2 xy 2y 2 x 7y 6 (x 2y A)(x y B) 求 A、B 的值 【例 5】是否存在常数 p、q 使得 x4 px2 q 能被 x2 2x 5 整除?如果存在，求出 p、q 的 值，否则请说明理由 1 【例 6】(1)已知两个连续奇数的平方差为 2000，则这两个连续奇数可以是 (2)已 知 (2000一 a)(1998 一
4、 a)=1999， 那 么 (2000一 a)2+(1998一 a)2= 【 例 7】 若 x 是 不 为 0 的 有 理 数 ， 已 知 M (x2 2x 1)(x2 2x 1)， N (x2 x 1)(x2 x 1) ，则 M 与 N 的大小是（ ） AMN B M0，bo)，丙 2 商场：第一次提价的百分率为 b，第二次提价的百分率为 a，则哪个商场提价最多?说明理由 【例 10】 已知 a、b、c 均为正整数，且满足 a2 b2 c2 ，又 a 为质数 证明：(1)b 与 c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数 【例 11】有 l0 位乒乓球选手进行单循环赛(每两人
5、间均赛一场)，用 xl，y1顺次表示第一号选 手胜与负的场数；用 x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；用 x10、y10 顺 次 表 示 十 号 选 手 胜 与 负 的 场 数 求 证 ： x 2 2 2 2 2 2 1 x x y y y 2 10 1 2 10 【例 12】因式分解： （1）125an an3 （2） 1 2 2 1 ( 2 2 )2 ax y a x y 4 16 （3） a4b a3b2 a2b3 ab4 （4） 2x2 3xy 9y2 14x 3y 20 【例 13】因式分解： 2 （ 1） 2 （ 2） x y 2xy x y 2 xy 1 (x 3)(x 1
6、)(x 2)(x 4) 24 （ 3） 4(2x2 x 1)(x2 2x 3) (3x2 3x 4)2 （ 4） p4 7 p3 14p2 7 p 1 【例 14】因式分解： （1） x4 7x2 y2 9y4 （2） (x 1)4 (x2 1)2 (x 1)4 （3） x3 9x 8 （4） x3 4x2 6x 4 【例 15】（1）多项式 2x4 3x3 ax2 7x b 能被 x2 x 2整除，求 a 的值. b （2）求方程 xy 2x 2y 7 0的整数解（ x y ）. （3）若 a 是正整数， P a4 4a3 15a2 30a 27的值为素数，试求 P 的值. （4）已知 (x
7、 y 2)是二元二次式 x2 axy by2 5x y 6的一个因式，求 a b 的值. 三、课后训练： 1若 2x+5y3=0，则 4x32y 2满足(x1)2003200的 x 的最小正整数为 3 a、b、c、d 都是正数，且 a2 2,b3 3,c4 4,d 5 5 ，则 a、b、c、d 中，最大的一 个是 2 2(2 ) 1 7 4 n n 4化简 得（ ） A B C D 2n1 2n1 2(2 ) 8 8 n3 7 4 5已知 a 255 ,b 344 ,c 533 ,d 622 ，那么 a、b、c、d 从小到大的顺序是( ) Aabcd Babdc C bacd Dadbc 6已
8、知 a 是不为 0 的整数，并且关于 x 的方程 ax 2a3 3a2 5a 4 有整数根，则 a 的值 共有( ) 3 A 1 个 B3 个 C6 个 D9 个 7计算(004)2003(一 5)20032得( ) 1 A1 Bl C D 5 2003 1 5 2003 8 已 知 6x2 7xy 3y 2 14x y a (2x 3y b)(3x y c) ， 试 确 定 a、b、c 的 值 9设 a、b、c、d 都是正整数，并且 a5 b4 ,c3 d 2 ,c a 19 ，求 a-b的值 10已知四位数 2x9y 2x 9 y ，试确定 2x9y x(x2 y1 xy1 1)的值 11
9、多项式 2x3 5x2 7x 8与多项式 ax2 bx 11的 乘积中，没有含 x4 的项，也没有含 x3 的项，则 a2 b 12若多项式3x2 4x 7能表示成 a(x 1)2 b(x 1) c 的形式，则 a 13若 ，则 (2x a x a x a x a x a x a 2 a 1) 5 5 4 3 2 a 5 4 3 2 1 0 4 14如果多项式 (x a)(x 2) 1能够写成两个多 项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么 a= ， b= a b 15已知 a2 b2 4a 2b 5 0，则 = a b 16计算： (1)1.23452+0.76552+2.4690.7655=
10、 ； (2)19492一 19502+19512一 19522+19972一 19982+19992 = ； 19991998 2 (3) 19991997 2 2 199919992 17如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写 出一个关于 a、b 的恒等式 a4 a 1 2 1 18已知 a 5，则 = a a 2 19已知 a b 3,b c 5，则代数式 ac bc a2 ab 的值为( ) A一 15 B一 2 C一 6 D6 1 1 1 1 20乘积 1 2 )(1 ) ( ) 等于( ) ( 1 )(1 2 3 1999 2000 2 2 2
11、 4 1999 2001 1999 A B C D 2000 2000 4000 2001 4000 21若 x y 2, x2 y 2 4 ，则 x2002 y 2002 的值是( ) A4 B20022 C 22002 D42002 4 1 22若 x2 13x 1 0 ，则 x 的个位数字是( ) x 4 A1 B3 C 5 D7 23观察：1234 1 52 ， 23451112 ，3456 1192 ， (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； (2)根据(1)，计算 2000200120022003+1 的结果(用一个最简式子表示)(黄冈市竞 赛题) 24分解因式： （ 1）
12、 x3 x 6 ； （ 2） x3 7x 6 . 25设 m,n 是正整数，满足 m n mn ，给出的四个结论中： m,n 都不等于 1； m,n 都 不 等 于 2； m,n 都 大 于 1； m,n 至 少 有 一 个 等 于 1。 其 中 正 确 的 结 论 是 . 26 正 数 a,b,c 满 足 ab a b bc b c ac a c 5 ， 则 (a 1) (b 1) (c 1) 2 2 2 . 27若 a4 b4 a2 2a2b2 b2 6 ，则 a2 b2 . 28若多项式 x4 mx3 nx 16含有因式 x 1和 x 2，求 mn 的值. 29分解因式： （1） x2
13、xy 2x y 3 （2） (x y)3 2xy(1 x y) 1 （3） 2x4 x3 6x2 x 2 （4） x2 y2 5x 3y 4 30设长方体的三边长为 a,b,c ，满足关系式14(a2 b2 c2 ) (a 2b 3c)2 ，且已知该长 方体的体积为 48，求 a,b,c 的值. 5 31若 n 满足 (n 2013)2 (2014 n)2 1，求 (2014 n)(n 2013) 的值. 32已知 x3 bx2 cx d 的系数均为整数，且bd cd 为奇数，求证：此多项式不能分解成 两个系数均为整数的因式. 33二次三项式 x2 x 2n 能分解成两个整数系数的一次因式的乘积；（1）若 1 n 30， 且 n 是整数，则这样的 n 有多少个？（2）当 n 2005 时，求最大的整数 n 的值. 6