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1、弹塑性力学,课程安排,授课方式：讲座,讨论,练习 考试方式：闭卷或开卷,参考书目,应用弹塑性力学，徐秉业、刘信声、著，北京：清华大学出版社，1995 岩土塑性力学原理，郑颖人、沈珠江、龚晓南著，北京：中国建筑工业出版社，2002 弹塑性力学引论，杨桂通编著，北京：清华大学出版社，2004 弹性与塑性力学，陈惠发、A. F. 萨里普著，北京：建筑工业出版社，2004,目录,一、绪论 二、矢量张量 三、应力分析 四、应变分析 五、本构方程 六、弹塑性力学问题 七、能量原理及变分法 八、塑性极限分析,一、绪论,1.1 基本概念 1.2 弹塑性力学的发展历史 1.3 塑性力学的主要内容 1.4 塑性力
2、学的研究方法 1.5 与初等力学理论的联系 1.6 弹塑性力学的发展趋势,1.1 基本概念,弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理论基础。,弹塑性力学的基本假设,（1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用连续函数表示。 （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。 即连续介质和小变形假设。,弹性和塑性变形
3、的特点,弹性变形的特点: 应力应变之间具有一一对应的关系， 且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。 塑性变形的特点： 应力应变关系不再一一对应， 且一般是非线性的,单轴应力应变曲线,弹性、塑性 线性、非线性,典型的塑性本构模型,理想弹塑性模型 强化弹塑性模型 软化弹塑性模型,弹塑性力学基本方程,弹塑性力学的基本方程是： （1）平衡方程； （2）几何方程。 （3）本构方程。 前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要区别在于第三类方程,1.2 弹塑性力学发展历史,1678年胡克（R. Hooke）提出弹性体的变形和所受外力成正比的定律。 19世纪20年代，法国的纳维（C. I. M. H.
4、 Navier ）、柯西（A. I. Cauchy）和圣维南（A. J. C. B. de Saint Venant）等建立了弹性理论 1864年特雷斯卡（H. Tresca）提出最大剪应力屈服条件。 1871年列维（M. Levy）将塑性应力应变关系推广到三维情况。 米赛斯（R. von Mises）提出形变能屈服条件。 普朗特（L. Prandtl）和罗伊斯（A. Reuss）提出塑性力学中的增量理论,岩土塑性理论形成,早期研究： 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为 Mohr- Coulomb准则； 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移面概念； 190
5、3年Ktter建立滑移线方法； 1929年Fellenius提出极限平衡法； 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； 19521955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。,1.3 塑性力学的主要内容,（1）建立屈服条件。 对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服 （2）判断加载、卸载。 加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。 （3）描述加载（或变形）历史。 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加载过程中必须对其历史进行记录。,1.
6、4 塑性力学的研究方法,宏观塑性理论 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特点是： 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的主要特性。 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变形过程的物理化学本质。,细微观塑性理论 从细微观的层次来看，具有内部细微结构，如位错、微裂纹和微孔洞等。 从细微结构的改变过程推求宏观塑性变形性质,宏观塑性理论的求解方法,精确解法。满足弹塑性力学中全部数学方程的解； 近似解法。采用合理简化假设，获得近似结果。如差分法、有限元法、加权残值法等。 实验方法。采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力和应变的分布规律。,精确解法对形状简单的
7、物体比较有效，但对复杂形状的物体难以列出方程；有限元数值解法是近似方法，将列出方程的难度转移到复杂几何形状的模拟上。,1.5 与初等力学理论的联系,材料力学、结构力学 从研究对象、基本任务来看，弹塑性力学与它们都是相同的； 从处理问题的方法来看，都是从静力学、几何学、本构关系三个方面进行分析。,区别,研究问题的范围：材料力学仅研究杆状构件，结构力学主要研究杆状构件组成的结构系统，弹塑性力学涉及各种固体结构。 研究问题的深度：材料力学和结构力学主要局限于弹性阶段，而弹塑性力学研究从弹性阶段到塑性阶段，直至最后破坏的整个过程。,研究问题的简化程度：材料力学和结构力学除了采用与弹塑性力学相同的一些基
8、本假定外，还要对杆件的应力分布和变形状态作一些附加的假定。如梁横力弯曲的平截面假定等，得到的结果比较近似。而弹塑性力学则不作该假定。 总的来看，弹塑性力学的研究范围更加广泛、研究问题更加深入，得到的结果更加精确。,1.6 弹塑性力学的发展趋势,由早期的精确解法占主导地位到如今的数值近似解法占主导地位。 由线性问题向非线性问题不断扩展，并且研究开裂过程，多组分材料、多场耦合问题。 由研究型的软件逐渐发展成商品化软件，如ANSYS、ADINA等。 以后的趋势是功能更加完善，使用更加方便，与其它软件进行集成。,二、矢量和张量,2.1 基本概念 2.2 矢量 2.3 张量,2.1 基本概念,讨论应力、
9、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量符号。具有表达简洁的特点。 坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法为x1 轴、 x2轴、 x3轴。,2.2.1 矢量代数,矢量既有大小又有方向，在坐标系中通常用箭头表示。 对空间任一点，坐标是（v1， v， v），可以表示为矢量或。 由单位矢量叠加有： 或简洁写为：,2.2.2 标量积,矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。 矢量U和V的标量积定义为： |U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的夹角。,标量积的计算式为： 两个垂直矢量的点积为零。 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。 应用：力F作用
10、在一运动速度为V的物体上，功率由点积（ ）求出。,2.2.3 矢量积,两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等于 。标记为： W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。,2.2.4 三重积,三重标量积： 称为三重标量积或框积，是以U、V、W为边的平行六面体的体积或体积的负值。可用U，V，W来表示。,2.2.5 标量场和矢量场,函数 称为一个标量场，梯度 构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。,矢量的散度： 矢量的旋度：,2.3 张量,1.3.1 指标记法和求和约定 1.3.2 符号（Kronecker符号） 1.3.3 符号（交错张量） 1.3.4 坐标变换 1
11、.3.5 笛卡尔张量 1.3.6 张量性质,2.3.1 指标记法和求和约定,矢量V用指标记法为 ，指标可以自由挑选。 规则1：如果在一个表达式或方程的一项中，一种下标只出现一次，称之为“自由指标”。 规则2：如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3进行求和。,规则3：在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。 在下标中，用一个逗号表示微分，如：,2.3.2 符号（Kronecker符号）,克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即 由求和约定可得到,由于 所以，将 应用于 只是将j用i置换，因此 符号通常称为置换算子。
12、,2.3.3 符号（交错张量）,符号有33或27个元素，取值为1，-1，0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：,叉积 证明：对分量1，对于表达式 由于下标1，j，k必须互不相同，所以可能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而 同理可对其它分量计算，合并得证。,三重标量积可写为 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：,可用指标方法证明：,2.3.4 坐标变换,假设 和 是共原点的两个笛卡尔右手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中的分量分别为 和 ，则有 称为方向余弦，即 与 轴夹角的余弦。,方向
13、余弦表,注意 的元素不对称。 由 的定义有： 所以,或 该式隐含6个等式：,两坐标系中的点的坐标变换为 和 i为新坐标轴，j为旧坐标轴。,2.3.5 笛卡尔张量,张量的名称起源于它与应力（张力）有关的历史。 新坐标系中每一个新矢量的分量是原来分量的一个线性组合，这种变换很规则方便且有很多用途。 根据线性变换的思想来定义张量。,标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。 满足 ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。 满足 ，称为二阶张量，分量数= 32=9。 满足 ，称为三阶张量，分量数=33=27。,如此可以推广到更高阶张量。 虽然所有的矢量都是张量，但并不是所有的矩阵都必
14、定是张量，如工程应变分量不构成一个张量。,2.3.6 张量性质,相等 当两个张量对应的分量相等时，则定义它们相等。 相加 两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，其分量为两个张量对应分量的和（或差）。,相乘 一个张量与一个标量的乘积为一同阶的张量。 张量相乘构成一个新张量，其阶数是原张量的阶数之和。如,缩并 将两个指标赋给相同的字母，则张量进行缩并。如对三阶张量 ，有 缩并后， 这是对一阶张量的变换规则。,对称与斜对称,对张量 ，如果 ，则称之为对称张量； 如果 ，则称之为斜对称张量。 任何一个二阶张量都可唯一分解成一个对称张量与一个斜对称张量之和，即,各向同性,如果一个张量的分量在所有坐标
15、系中都具有相同的值，则它是各向同性的。 张量 都是各向同性的。,商法则,对于 ，如果在任一坐标系中对任何张量 ，有： c是一标量，则 是一个张量。 证明： 由于c是标量,由于 于是 得到,对任意矢量 有 ， 为一矢量； 对任意张量 有 ， 为一张量； 那么 为一张量。 对任意矢量 有 ， c为一标量，那么 为一张量。,例题2-1,如果 是一个标量，试证明 （a） 是一个一阶张量； （b） 是一个二阶张量； （c） 是一个标量（零阶张量）；,三、应力分析,3.1 一点的应力状态 3.2 主应力 3.3 最大剪应力 3.4 Mohr应力图 3.5 偏应力张量 3.6 八面体应力,3.7 应力的几何
16、表示 3.8 平衡方程,3.1 一点的应力状态,材料质点 从宏观尺度上看它无限小； 但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子； 材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。,应力矢量,T(n) =,定义,应力张量,zy,z,y,x,xy,xz,微六面体,Cauchy公式（斜面应力公式）,已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量， 由四面体平衡条件导出。,求在,面上的法向正应力和切向剪应力,解,应力分量的坐标变换,3.2 主应力,在主平面上，无剪切应力 T( n) n 或 Tx l Ty m Tz n (x)l+yxm+zxn0 xy l+(y)m+z
17、yn0 xzl+yzm+(z)n0 l2 + m2 + n2 = 1 非零解条件,3.3 最大剪应力,以应力主轴建立坐标系，在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T( n)T(e1)l+T(e2)m+T(e3)nl1e1 + m2e2 + n3e3,3.4 Mohr应力图,每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系 截面上的应力对应坐标系的一个点 截面上的正应力和剪应力 (l1)2+( m2)2+( n3)2 截面上的正应力 n = T( n)n=l21+ m22 + n23 l2+m2+n2=1 以上三个式子联立求解方向余弦,平面应力Mohr圆,消去 ，得,用斜截面应力公式，得到法向应力和切向应
18、力，并用倍角公式变形得,3.5 偏应力张量,静水压力状态,偏应力状态,定义平均应力 0 = (x +y +z),3.6 八面体应力,3.7 应力的几何表示,将三个主应力作为坐标，某点的应力状态表示为三维应力空间中的一点。 静水状态轴：过原点且与坐标轴有相等夹角的直线。 偏平面：垂直于静水状态轴的平面。 平面：过原点的偏平面。,3.8 平衡方程,力矩平衡：绕z轴 (xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xyyx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx,xl+yxm+zxn,xyl+ym+zyn,xzl+yzm+zn,第4章 应变分析,4.1 位移和应变 4.2 应变张量 4.3
19、 应变与位移的关系 4.4 位移的分解,4.5 主应变 4.6 体积应变 4.7 应变张量的分解 4.8 应变协调方程,4.1 位移和应变,连续体内任意两点的相对位置改变时，此物体被称为有变形或有应变。 物体发生位移，应变由位移得到。 对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。,位 移,应变,考察物体内任意一微小线段 长度的相对改变 正（线）应变 方向的相对改变 剪（角）应变,4.2 应变张量,三个方向线元的应变决定该点的应变状态 取与坐标轴相平行的三个方向,4.3 应变与位移的关系（几何方程）,OA和OB两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。 设O点的位移是u(x，y)和v(x，y
20、)， A点的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)， B点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。,，,，,4.4 位移的分解,A点位移是： u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)， B点位移是： u=u(x+dx、y+dy、z+dz) v=v(x+dx、y+dy、z+dz) w=w(x+dx、y+dy、z+dz),4.5 主应变,将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换， 例如求主应变的特征方程 对于非零解条件 行列式展开得,主剪应变,工程主剪应变 最大值 应变的Mohr圆图解表示,4.6 体积应变,(1+x+y+z)dxdydz,x+y+z,4.7 应变张量的分
21、解,球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变； 偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变,张量表示 对偏应变张量 也可求主值，不变量：,八面体应变,八面体正应变 八面体剪应变,等效应变,在材料不可压缩（ ）的情况下 ，,单轴拉伸实验中就是单轴应变,4.8 变形协调方程,问题 根据几何方程去求位移分量，有多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系， 位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是：,，,，,关于大变形,应变定义无限多种 但应满足两个条件 （1）物体只产生刚体位移是零 （2）在小变
22、形时，与小变形的应变定义一致,对数应变,对小应变积分得到大应变： 得到对数应变和工程应变之间的关系。,5 本构关系,5.1 弹性应力应变关系,应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) . zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx),5.1.1 一般表示,5.1.2 材料对称性,弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系,5.1.3 各向同性弹性体,广义Hooke定律 将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c
23、12) 于是，独立的弹性常数减少到2个,5.1.4 弹性常数的测定,静水压缩实验 体积模量,5.1.5 矩阵形式表达,5.1.6 弹性应变能,一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，外力功为 由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成,5.2 屈服准则,5.2.1 引言,基本概念 物体在外载荷作用下，随着载荷增大，逐步从弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡称为屈服。 物体内质点开始产生塑性变形时，应力或应变所必须满足的条件，叫屈服条件。一般情况下，它是应力、应变、时间、温度等的函数，但在不考虑时间效应和接近常温的情况下，屈服条件中不包含时间和温度。,屈服条件通常写为：
24、 在应力空间中，屈服条件可以表示为屈服曲面。屈服面在平面上的迹线一般称为平面上的的屈服曲线，屈服面与子午平面的交线称为子午平面上的的屈服曲线。,平面上屈服曲线的一般性质 1）屈服曲线是一条封闭的曲线； 2）屈服曲线是外凸的； 3）屈服曲线所围成的区域是单连通的； 4）对于各向同性材料，屈服曲线对于平面内的三个坐标轴 是对称的。在平面内的6个60度扇形区屈服曲线具有相同的形状。,5.2.2 与静水压力无关的材料,材料的屈服对静水压力不敏感，剪切应力控制着这些材料的屈服。 金属等晶体结构材料,Tresca 条件：,（1）单轴拉伸：屈服时1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件 k= s/2,（2）简
25、单剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服条件 k= s,Mises 条件：,sijeij= sijsij= J2,J2与弹性状态的形状改变能成正比,J2 的物理意义,J2也与八面体上的剪应力成比例,两种屈服条件比较,如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则Tresca六边形内接于Mises圆； 如假定简单剪切时两个屈服面重合，则Tresca六边形外切于Mises圆,5.2.3 与静水压力有关的材料,岩石、混凝土、土等摩阻材料 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合，裂纹表面的相对滑动，才可能产生类似于金属的塑性变形。,拉伸和压缩的
26、力学性能差别很大,产生应变软化现象,产生塑性体积膨胀变形,与静水压力有关,具有弹塑性耦合,Rankine条件,1876年Rankine（朗金）提出最大拉应力准则，用于确定脆性材料的拉伸破坏。 还可表达为,Mohr-Coulomb条件：,当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成,Drucker-Prager条件：,偏平面上DP条件的屈服曲线,Zienkiewicz-Pande条件：,为单轴抗压强度,广义双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1982）,两种著名的帽子模型,Druker提出的帽子模型,剑桥模型（Cam-Clay模型）,例：例5-2：一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨
27、论下列两种情况： （1） 管的两端是自由的； （2） 管的两端是封闭的； 分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）,对于Mises屈服条件: J2 = s2 对于Tresca屈服条件: 13 =k=2s p = 2st/R,（2）管段的两端是封闭的： 应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2 +6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t,对于Mises屈服条件： p = 2st/R 对于Tresca屈服条件： p = 2st/R 对管的两端为固定的情况，屈服压
28、力又如何？,5.3 塑性应力应变关系,5.3.1 加载条件 5.3.2 流动法则 5.3.3 强化法则 5.3.4 增量理论 5.3.5 全量理论 5.3.6 稳定公设 5.3.7 典型例题,5.3.1 加载条件,在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。 应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。,加载条件和加载面 在单轴试验中，当应力超过初始屈服应力后发生塑性变形，卸载后重新加载其屈服应力将提高（强化）或减小（软化）。推广到三维情况下，在空间应力条件下这就相当于是加载面的移动、扩大或缩小，,加卸载准则,在应力空间上的屈服面确定了当前弹性区的边界。 若应力状态改变时材料中有新的塑性变形产
29、生，这种应力变化称加载（loading）；而当应力变化时材料回到弹性状态，不产生新的塑性变形，这种应力变化称卸载（unloading）。,上述情况下应力应变关系是不同的。因此，要确定应力应变关系还需建立一个加载准则。对单轴受力的情况，加卸载准则可表为：,对于理想弹塑性材料，加卸载条件为,对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：,对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件在应力空间无法体现。,5.3.2 流动法则,塑性位势理论：Mises将弹性位势理论推广到塑性理论，提出塑性流动方向（塑性应变增量矢量的方向）与塑性势函数的梯度方向一致：,关联流动法则 非关联流动法则,Mises形式的塑性势能函数,由流动法
30、则得 不会产生塑性体积变化：,塑性应变增量是一个偏量,展开为 考虑弹性应变，得到： 这就是Prandtl-Reuss方程。,在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到Levy-Mises方程：,相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件） 理想弹塑性问题，考虑平衡方程几何方程物理方程屈服条件,应变Lode参数,Tresca形式的塑性势能函数,在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异点，塑性应变增量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间。,当应力点位于f1=0上,当应力点位于f2=0上,= (0 d1 d1),= (d2 0 d2),当应力点在f1=0和f2=0的交点上,可在f1=0的法线n1
31、与f2=0的法线n2之间变化， 这个变化区域称之为尖点应变锥,一般地，在几个光滑势能面相交的奇异点处，塑性应变增量表示成在该点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合：,5.3.3 强化法则,1）强化法则的概念 在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面如何进入后继屈服面的准则就是强化法则，也就是控制加载面发展的规则。,单轴拉伸下的强化,随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化 新的屈服极限： (s)new = Max() 后继屈服条件（也称加载条件） (s)new 处于屈服状态 (s)new 处于卸载状态,Max()随塑性变形历史单调增长， Max()(
32、p) 后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)0,复杂应力状态,为了描述强化性质，需要： （1）记录塑性加载的历史； （2）描述强化与塑性加载历史的关系。 表达加载历史的参量为硬化参量，它又称为内变量（internal- variable），它不能由观测仪器直接观测求出，而应力变形一类可由仪器直接测出的量称外变量。硬化参量记为,使用一组内变量（=1，2，n）描述塑性变形历史， 后继屈服条件 f (ij，)=0 随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。,施加增量dij： （1）加载：dij指向加载面外 （2）中性变载：dij沿着加载面 （3）卸载：dij指向加载面内,当应力状态
33、ij处在加载面上， f (ij，) = 0,增量后 f (ij+dij，+d) = 0,由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外,增量前 f (ij，) = 0，,一致性条件：,随加载过程，内变量不断地增加 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变 总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。,常用的强化模型,1. 等向强化 几何特点（在应力空间）： 加载面形状和中心位置都不变，大小变化，形状相似的扩大。 物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。,数学表示： f (ij) k() = 0 等向强化可理解为材料某一方向上因加载
34、屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。,Mises初始屈服条件,函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定,加载（后继屈服）条件,数学表示： f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动的应力值，称为背应力（back stress） 提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。,Prager随动强化模型,背应力增量应平行于塑性应变增量 dij=c,式中c是材料常数，由试验确定。 对于Mises屈服条件，该模型可写成,3 混合强化 几何特点： 加载面大小、位置和中心都改变，它是前 面两种情况的综合， 数学表达： f (ijij) k()= 0 与随动强化不
35、同的是，这里k随加载的历史而变化。,说明： 以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的。 对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更方便些。,5.3.4 增量理论,描述塑性变形规律的理论大致分两大类：增量理论和全量理论。 增量理论建立了塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系，又称为流动理论。 全量理论建立了应力全量和应变全量之间的关系，又称为形变理论。,在塑性变形阶段，塑性变形与加载路径有关，因此，一般情况下，必须考虑某时刻的应变增量，再用积分或求和的办法求出整个加载历史的总应变，即塑性本构关系本质上只能采用增量的形式，这是与弹性本构关系的明显区别。,本构关系的一般形式,本构关系的推导
36、方法（用矩阵形式） 应变增量的分解： 弹性部分：,用应力增量表示应变增量：,A可通过实验测定,5.3.5 全量理论,一般来说，增量应力应变关系（本构关系）不能积分成全量关系，但在某些加载情况下，增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系，即全量理论。 应力应变一一对应的确定关系，相当于非线性弹性（不考虑卸载），求解简单。,简单加载（比例加载） 是指应力各分量之间成比例且单调增长，即 （t0，dt0）,此时，可由增量理论推导出全量理论,在平面上，该加载路径是一条=const的射线，,deij= dsij+dsij （Mises准则） dkk= dkk,eij= sij kk= kk,积分得,令
37、H=1/2G + 得： eij=Hsij eijeij=H2sijsij 得：,如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给出了一组充分条件。 （1）小变形； （2）材料不可压缩； （3）外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件； （4）材料 的曲线具有幂指数硬化形式：,这是一组苛刻的条件（不可压缩材料不多，幂次型有效应力和应变关系也难满足），揭示出全量方法在应用上的极大局限性。 在工程实际应用中，许多实例是偏离简单加载定理的，只能满足条件（1）、（3），但结果还比较满意，说明在一个较大范围内可以采用全量理论，计算结果再用实验复核。,5.3.6
38、稳定公设,（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即0，,（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，0，,（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾,从1点的应力状态 （ 是静力可能的应力）开始， 施加某种外力使其达到2点（其应力为ij）并进入屈服， 再施加应力增量dij使其加载到达3点（其应力为ij +dij )， 然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态 。,应力循环,在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij 所做的功应不小于零：,Drucker公设,在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零,Drucker公设的推论,由于路径是任意的，所以：
39、,又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑性功 ，也可写为：,外凸性和正交性,Drucker公设是一个充分非必要准则，直接导致了加载面外凸性和正交流动法则。,加载面外凸性,定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸。 由于应力增量 和塑性应变增量矢量 的标量积非负，则初始屈服面和后继加载面必然是外凸的，否则不能满足该条件。,正交性,塑性应变增量 必须沿着外法线方向n,假定屈服函数 f 与静水压力无关， 必然是一个偏张量， 因此， 也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。,加载准则,dp
40、与n两者方向一致，则Drucker公设变为 dn 0 只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。,（1） 对于不稳定材料（即有应变软化存在）的情况，应力循环不可能构成，因此，Drucker公设不适用于软化材料。 （2）以上关于材料性质的Drucker公设并不是从热力学定律导出的，而是在大量宏观实验基础上总结出来的，它们对许多材料都适用。,Drucker公设的两点说明,5.3.7 典型例题,例5-3：对Mises屈服条件，证明：,证： Mises屈服条件为,=mknl,mknlsmn=skl,例5-4：对于强化材料，其初始拉伸屈服极限为s，若材料处于平面应力状态，即3=0，当加上1
41、=2=s时，材料屈服，然后再施加应力增量d1与d2，且d1= d2，试按Mises屈服条件与Tresca条件判断材料所处的状态。 解（1）应力状态是否在屈服面上,（2） 加、卸载或中性变载取决(f/ij)dij的符号。,对于Mises屈服条件： dij=sijdij=s1d1+ s2d2=0 材料处于中性变载。 按Tresca屈服条件： dij= d1+ 0d2= d1 显然，当d10材料处于加载，反之材料处于卸载。,例5-5：已知处于平面应变状态（z=0）中的一个材料单元，它的应力分量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑性，Poisson比1/2，单轴拉伸屈服极限为s
42、，试利用Mises屈服条件求出该材料单元达到屈服时的值。 记屈服时的值为0，屈服后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。,Mises屈服条件 0= （2）在施加dx=d时材料处于加载状态，对于理想弹塑性则要求 dij=0 sxdx+ sydy+szdz=0 由于dy=0，最后得：,板分成以下三种类型：,薄板：（1/801/100）（1/51/8）。,薄板弯曲,板所承受的荷载： 作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板将产生弯曲，板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题,薄膜： 其抗弯的能力很低，可认为其抗弯刚度为零，横向荷载由板面内的
43、轴向力和板面内的剪切力来承担；必须考虑大变形的影响。 厚板： 其内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以进行简化，应按照三维问题处理；对于厚度比较小的薄板。,薄板的基本假定： （1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直； （2）中面法线变形后既不伸长也不缩短； （3）中面各点没有平行于中面的位移。,由假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似） z=0 w=w(x,y),由假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似） zx=zy=0，,积分得,使用假定（3），z=0时，u,v=0，得： f1(x,y)=0， f2(x,y)=0,薄板的应变,x=Kxz yKyz xy2
44、Kxyz z = yz = zx 0,于是应变全部给出,两个曲率和一个扭率,薄板的应力分量,( x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出 ( z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出,应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、xy）很小， 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计， 但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。,特点： 均沿厚度呈线性分布，在中面处为零， 在板的上、下板面达到最大。,应力分量（x、y、xy）,考虑平衡微分方程 ，有 其中，体力简化为面荷载。 考虑薄板上、下板面的边界条件,利用z方向的平衡条件求z,将z方向所有力作用等效移置到板面上，
45、,板上、下表面的边界条件变成,z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。,利用板下面的边界条件 ， f(x,y)=0,利用板上面的边界条件 ，得：,D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似,薄板的平衡微分方程,薄板横截面上的内力,剪应力互等定理 xy = yx， Mxy=Myx,正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正。 内力是作用在每单位宽度上的力，例如： 弯矩和扭矩的量纲应是力，而不是通常的力/长度。,内力由挠度表示,将应力的表达式代入积分得到,（x，y，xy）qb2/t2 （xz，yz）qb/t zq,应力与内力的关系,由内力表示的平衡微分方程,(1),(2),(3),将（2）和（3）代入（1），得,D4w=q,侧边边界条件由圣维南原理满足 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力,用挠度表示,可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替,可用2个大小相等为 ，方向相反，相距dx的垂直力代替，广义剪力,此外，还有两端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A， RB(Myx)B,最终角