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1、第七节 斯托克斯公式及其应用,一、斯托克斯公式,二、典型例题,第十一章,三、场,1.定向曲面边界曲线的方向,一、斯托克斯公式,(stokes),2.,斯托克斯(stokes)公式,另一种形式,便于记忆形式,表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. 是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格林公式的推广.,斯托克斯公式的实质,证, 与平行 z 轴的直线只交于,一点,三式相加,即可得公式.,证毕,二、典型例题,例1,解,例2. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界
2、, 方向如图所示.,利用对称性,例3,解,例4. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,三、场,设f(x,y,z)及 分别是定义在空间区域上的数值函数 （数量场）及矢值函数（矢量场）。,一、由微分运算决定的三个量,1、梯度：,gradf=,f(x,y,z)本身是数量场，gradf却是矢量场。,2、散度：,是矢量场，但,却是数量场。,3、旋度：,这里,（数乘）,（点乘）,（叉乘）,都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。,二、由积分运算决定的量,物理定义：左端是流速为,在单位时间内流出闭曲面,的总流量。右端为在内单位时间内产生流体的总流量。,1、流量（通量）,2、环流量,当,为流速场时，视之为环流量。,三、特殊场,1、有势场：若存在数值函数u(x,y,z)，使， 则 为有势场。 2、无源场：若 在任一点的散度 ， 则称为无源场。 3、调合场：当 即无源 ， 又无旋 则为调合场。,