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1、第3课时 证明与探索性问题 大一轮复习讲义 第九章 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题 NEIRONGSUOYIN 内容索引 题型分类 深度剖析 课时作业 题型分类 深度剖析1 PART ONE 题型一 证明问题 师生共研师生共研 (1)求点P的轨迹方程； 解 设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为M(x0，y0)在C上， 因此点P的轨迹方程为x2y22. 证明 由题意知F(1，0). 又由(1)知m2n22，故33mtn0. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 设Q(3，t)，P(m，n)， 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等
2、，有时也涉及 一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法. 思维升华 (1)求椭圆T的方程； 又a2b2c2， 联立解得a23，b21. (2)求证：PMPN. 纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN. 又kPM，kPN为方程的两根， 所以PMPN. 综上知PMPN. 纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN. 联立得(13k2)x212k(sin kcos )x12(sin kcos )230， 令0， 即144k2(sin kcos )24(13k2)12(sin kcos )230， 所以PMPN. 综上知PMPN. 化简得(34cos2)k24sin 2k1
3、4sin20， 题型二 探索性问题 师生共研师生共研 (1)求椭圆E的方程； (2)若过点F作与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存 在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解 在线段OF上存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形. 因为直线l与x轴不垂直， 则可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2， 因为以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形， 所以|MP|MQ|， 所以在线段OF上存在点M(m，0)， 解决探索性问题的注意事项 探索性问
4、题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若 结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外 合适的方法. 思维升华 (1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？请说明理由. 解 存在符合题意的点，证明如下： 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 将ykxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x2
5、4k，x1x24a. 当ba时，有k1k20， 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意. 课时作业2 PART TWO 基础保分练 123456 (1)求椭圆C的方程； 123456 (2)过点A(2，0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆 C上一点，且AQOP， 123456 证明 显然直线AQ斜率存在，设直线AQ：yk(x2)，R(0，2k)，P(xP，yP)， 123456 令直线OP为ykx且令xP0. 123456 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过点P(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：
6、x x0(x02)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足 恒成立，若存在，求 出x0的值；若不存在，请说明理由. 123456 解 若直线l的斜率不存在，则直线l0为任意直线都满足要求； 当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x11x2)， 则dAx0x1，dBx0x2， 123456 由题意知，0显然成立， 综上可知，存在直线l0：x4， 123456 123456 3.已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y 上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(1，0)对称. (1)求E和的标准方程； 因为E，F关于M(1，
7、0)对称， 所以的标准方程为x24y. 因为E与x轴相切，故半径r|a|1， 所以E的标准方程为(x2)2(y1)21. 123456 123456 证明 由题意知，直线l的斜率存在， 设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1)(k0)， 因为l与E交于A，B两点， 123456 16k216k0恒成立， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x24k，x1x24k， 123456 4.已知椭圆 1(ab0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦 点F1，F2的距离之和为4. (1)求椭圆的标准方程； 123456 解 由题意，2a4，2a2b6， a2，b1. (2)若直线AB：yxm与椭圆交于A，B两点，C，D在椭圆上，且C，D两 点关于直线AB对称，问：是否存在实数m，使|AB| 若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由. 123456 解 C，D关于直线AB对称， 设直线CD的方程为yxt， 64t245(4t24)0， 解得t20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 123456 123456 所以x1x2y1y2(y1y2)10， 123456 化简得k42k210，解得k21，k1，此时0，符合题意. 此时0，符合题意. 综上所述，存在满足题意的直线l，且直线l的条数为4.