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1、8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 大一轮复习讲义 第八章 立体几何与空间向量 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.多面体的结构特征 ZHISHISHULIZHISHISHULI 名称棱柱棱锥棱台 图形 结构特征 有两个面互相_ ，其余各面都是 . 每相邻两个四边形的 公共边都互相_ 有一个面是 ， 其余各面都是有一个 公共顶点的 的 多面体 用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥， 和 之间的 部分 侧棱_ 相交于 但不一 定相等 延长线交于_ 侧面形状_ 平行且 平行四边形 平行
2、平行且相等 一点 平行四边形 截面底面 一点 多边形 三角形 三角形梯形 全等 2.旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线 互相平行且相等， 于底面 相交于_延长线交于_ 轴截面全等的_全等的_ 全等的_ 侧面展 开图 _ 一点 矩形 垂直 一点 等腰三角形等腰梯形圆 矩形扇形扇环 3.三视图与直观图 三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等 直观图 斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、 y轴的夹角为 ，z轴与x轴和y轴所在平面 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 ，平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线 段在直观图中
3、长度为 . 垂直45或135 平行于坐标轴 不变 原来的一半 1.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？ 【概念方法微思考】 提示 不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱. 2.什么是三视图？怎样画三视图？ 提示 光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投 影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和 俯视图统称为三视图.画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正； 正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
4、 (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分.( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( ) 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 123456 7 题组二 教材改编 2.P19T2下列说法正确的是 A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 123456 解析 由直观图的画
5、法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关 系不变. 7 3.P8T1在如图所示的几何体中，是棱柱的为_.(填写所有正确的序号) 123456 7 题组三 易错自纠 4.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 123456 解析 由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为 三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形. 7 5.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是 123456 解析 此几何体侧视图是从左边向右边看.故选C. 7 1234567 7.(2018全国)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三
6、视图如右图.圆柱表面上 的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B， 则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 1234567 解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的 位置如图所示. 圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN， 则图中MN即为M到N的最短路径. 1234567 2题型分类 深度剖析 PART TWO 1.以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆
7、锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 题型一 空间几何体的结构特征 自主演练自主演练 解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确. 对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和 一个圆台，不正确. 2.给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_.(填序号) 解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错； 对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错； 对于，
8、若底面不是矩形，则错； 由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确. 综上，命题不正确. 空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模 型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定. (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析. 思维升华 题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体识别三视图 例1 (2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫 榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构 件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是 多维探究
9、多维探究 解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直 观图可知其俯视图应选A. 命题点2 已知三视图，判断简单几何体的形状 例2 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图， 则这个几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 解析 由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两 个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱. 命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例3 一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯 视图的是 解析 A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相 等，故C不可能是该锥体的俯视图.
10、三视图问题的常见类型及解题策略 (1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线. (2)还原几何体.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原. (3)由部分视图画出剩余的部分视图.先猜测，还原，再判断.当然作为选择题， 也可将选项逐项代入. 思维升华 A. B.C. D. 跟踪训练1 (1)(2018杭州模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的 中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是 解析 P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投 影为，在前、后面以及左、右面的投影为. (2)(2018宁波模拟)如图，网格纸上小正
11、方形的边长为1，粗线画出的是某几何体 的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯 视图可以是 解析 该几何体为正方体截去一部分后的四 棱锥PABCD，如图所示，该几何体的俯视 图为C. 题型三 空间几何体的直观图 师生共研师生共研 例4 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB ，下底AB3，以 下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积 为_. 解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图. 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的 端点再连线. 思维升华 跟踪训练2 如图，一个水平放置
12、的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底 角为45、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示， 3课时作业 PART THREE 1.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水 平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面 12345678910111213141516 基础保分练 解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分 椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以 呈现出的几何形
13、状不可能是梯形面，故选C. 2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形， 起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用代表图形) 12345678910111213141516 A. B. C. D. 解析 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到 右下是虚线，因此正视图是， 侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是 虚线，因此侧视图是； 俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是 虚线，因此俯视图是. 12345678910111213141516 3.用任意一个平面截一个几何体
14、，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 12345678910111213141516 解析 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体. 4.某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是 12345678910111213141516 解析 若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A； 若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B； 若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D； 不可能为C，故选C. 5.(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得 到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是
15、12345678910111213141516 解析 从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的 是实线，B1C对应的是虚线.故选B. 6.(2011浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 12345678910111213141516 解析 A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D. 7.(2019台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如图所示， 则该棱柱的侧视图的面积为 12345678910111213141516 8.用一个平面去截正方体，则截面不可能是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.正方形 D.正六边
16、形 12345678910111213141516 解析 用一个平面去截正方体，则截面的情况为： 截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能 是钝角三角形、直角三角形； 截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形， 但不可能是直角梯形； 截面为五边形时，不可能是正五边形； 截面为六边形时，可以是正六边形. 9.(2018湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为 12345678910111213141516 解析 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱 锥D1
17、MNB1， 故该三棱锥中最长棱的长为3. 10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图 OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面 四边形OABC的面积为_. 12345678910111213141516 11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则 三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为_. 12345678910111213141516 1 解析 如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥PABC的正视图与侧视 图都是三角形，且面积都是 a2，故面积的比值为1. 12.给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等
18、，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是_. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一 定全等； 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角 都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； 正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1A
19、BC，四个面都是直 角三角形. 13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切， 且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切， 则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是 技能提升练 12345678910111213141516 解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切.由于两 球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两 球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B. 12345678910111213141516 14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是.他对九 章
20、算术中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引 入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内 切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分.如果“牟合方盖”的正视图和 侧视图都是圆，则其俯视图的形状为 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如 图所示，由图易得其俯视图为B，故选B. 拓展冲刺练 15.(2018嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚 线部分是 A.圆弧 B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 12345678910111213141516 解析 根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚 线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得， 故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D. 12345678910111213141516 16.(2018台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是 _. 解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中三棱锥 MA1B1N，如图所示，M是棱AB上靠近点A的一个三等分点，N是棱C1D1的中 点，所以 12345678910111213141516