《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.5 椭圆 第2课时 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.5 椭圆 第2课时 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 课时 直线与椭圆课时 直线与椭圆 题型一 直线与椭圆的位置关系 1若直线 ykx1 与椭圆 1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) x2 5 y2 m Am1 Bm0 C00 且 m5，m1 且 m5. 2已知直线 l：y2xm，椭圆 C： 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： x2 4 y2 2 (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组Error!Error! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将代入，整理得 9x28mx
2、2m240. 方程根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144. (1)当 0，即33时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这22 时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数 (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 题型二 弦长及中点弦问题 命题点 1 弦长问题 例 1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) x2 4 A2 B. C. D. 45 5 410 5 810 5 答
3、案 C 解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt， 由Error!Error!消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x2 t，x1x2. 8 5 4t2 1 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |AB|x1x2|1k2 1k2 x 1x224x1x2 ，2 ( 8 5t) 24 4t2 1 5 42 5 5t2 当 t0 时，|AB|max. 410 5 命题点 2 中点弦问题 例 2 已知 P(1,1)为椭圆 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦 x2 4 y2 2 所在的直线方程为_
4、答案 x2y30 解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在， 设其方程为 y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由Error!Error! 消去 y 得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0， x1x2，又x1x22， 4kk1 2k21 2，解得 k . 4kk1 2k21 1 2 故此弦所在的直线方程为 y1 (x1)， 1 2 即 x2y30. 方法二 易知此弦所在直线的斜率存在， 设斜率为 k，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 1， x2 1 4 y2 1 2 高清试
5、卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1， x2 2 4 y2 2 2 得0， x 1x2 x 1x2 4 y 1y2 y 1y2 2 x1x22，y1y22， y1y20，k ， x1x2 2 y1y2 x1x2 1 2 经检验 k 满足题意 1 2 此弦所在的直线方程为 y1 (x1)， 1 2 即 x2y30. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往 往会更简单记住必须检验 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2 x
6、1x224x1x2 (k 为直线斜率) (1 1 k2)y 1y224y1y2 (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 跟踪训练 1 设离心率为的椭圆 E：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 2 2 x2 a2 y2 b2 是 E 上一点，PF1PF2，PF1F2内切圆的半径为1.2 (1)求 E 的方程； (2)矩形 ABCD 的两顶点 C，D 在直线 yx2 上，A，B 在椭圆 E 上，若矩形 ABCD 的周长为 ，求直线 AB 的方程 112 3 解 (1)RtPF1F2内切圆的半径 r (|PF1|PF2|F1F2|)ac， 1
7、 2 依题意有 ac1.2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 ，则 a，c1，从而 b1. c a 2 2 2 故椭圆 E 的方程为 y21. x2 2 (2)设直线 AB 的方程为 yxm， 代入椭圆 E 的方程，整理得 3x24mx2m220， 由 0 得b0)，e ，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭 x2 a2 y2 b2 1 2 圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为 ，且(其中 1) 1 4 AF FB (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求实数 的值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)由椭圆的焦距为 2，知 c1，
8、又 e ，a2， 1 2 故 b2a2c23， 椭圆 C 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)由，可知 A，B，F 三点共线，AF FB 设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2) 若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意； 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时， 设 l 的方程为 yk(x1) 由Error!Error!消去 y 得 (34k2)x28k2x4k2120. 的判别式 64k44(4k23)(4k212) 144(k21)0. Error!Error! x1x22 ，k2 . 8k2 4k23 1 4 1 2 1 4 将 k2 代入方程，得 4x22x1
9、10， 1 4 解得 x. 1 35 4 又(1x1，y1)，(x21，y2)，AF FB AF FB 即 1x1(x21)，又 1，. 1x1 x21 35 2 思维升华 一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的 作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 和基本思想 跟踪训练 2 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为 B1，B2. (1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2
10、的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且，求直F1P F1Q 线 l 的方程 解 (1)F1B1B2为等边三角形， 则Error!Error!Error!Error!Error!Error! 椭圆 C 的方程为3y21. 3x2 4 (2)易知椭圆 C 的方程为 y21， x2 2 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x1，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)， 由Error!Error!得(2k21)x24k2x2(k21)0， 由已知得 0， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x2，x1x2， 4k2 2k21 2k2 1 2
11、k21 (x11，y1)，(x21，y2)，F1P F1Q 因为，所以0，F1P F1Q F1P F1Q 即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21 0， 7k21 2k21 解得 k2 ，即 k， 1 7 7 7 故直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.77 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1若直线 mxny4 与O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 1 x2 9 y2 4 的交点个数是( ) A至多为 1 B2 C1 D0 答案 B 解析 由题意知，2，即b0)的一条弦所
12、在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 x2 a2 y2 b2 M(4,1)，则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 1 2 2 2 3 2 5 5 答案 C 解析 设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM xM，代入 k1，M(4，1)，解得 ，e ， b2 a2k b2 a2 1 4 1(b a) 2 3 2 故选 C. 3已知椭圆 1 以及椭圆内一点 P(4,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) x2 36 y2 9 A. B C2 D2 1 2 1 2 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析
13、设弦的端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x28，y1y24，Error!Error! 两式相减，得 0， x 1x2 x 1x2 36 y 1y2 y 1y2 9 所以， 2x1x2 9 4y1y2 9 所以 k .故选 B. y1y2 x1x2 1 2 4 已知 F1(1,0)， F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点， 过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为( ) A. y21 B. 1 x 2 x2 3 y2 3 C. 1 D. 1 x2 4 y2 3 x2 5 y2 4 答案 C 解析 设椭圆 C 的方程为1(ab
14、0)， 则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 x2 a2 y2 b2 于 A，B 两点，且|AB|3，所以 ，b2a2c2，所以 a24，b2a2c2413，椭圆 b2 a 3 2 的方程为 1. x2 4 y2 3 5 (2018吉林四平质检)经过椭圆 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l， 交椭圆于 A， B x2 2 两点设 O 为坐标原点，则等于( )OA OB A3 B1 3 C 或3 D 1 3 1 3 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45(x1)，即 yx1
15、. 代入椭圆方程 y21并整理得3x24x0， 解得x0或x .所以两个交点坐标为A(0， 1)， B x2 2 4 3 ，所以(0，1) .同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得 ( 4 3， 1 3) OA OB ( 4 3， 1 3) 1 3 OA .OB 1 3 6 设F1， F2分别是椭圆y21的左、 右焦点， 若椭圆上存在一点P， 使()0(O x2 4 OP OF2 PF2 为坐标原点)，则F1PF2的面积是( ) A4 B3 C2 D1 答案 D 解析 ()()OP OF2 PF2 OP F1O PF2 0，F1P PF2 PF1PF2，F1PF290. 设|PF1|m，|
16、PF2|n， 则 mn4，m2n212,2mn4，mn2， mn1. 12 F PF S 1 2 7直线 ykxk1 与椭圆 1 的位置关系是_ x2 9 y2 4 答案 相交 解析 由于直线 ykxk1k(x1)1 过定点(1，1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭 圆必相交 8椭圆 ：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y(xc)与 x2 a2 y2 b2 3 椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 答案 13 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F26
17、0，从而MF2F130，3 所以 MF1MF2.在 RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，3 所以该椭圆的离心率 e1. 2c 2a 2c c 3c 3 9已知椭圆 C：1(ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于 A，B 两点， x2 a2 y2 b2 连接 AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF ，则椭圆 C 的离心率 e_. 4 5 答案 5 7 解析 设椭圆的右焦点为 F1，在ABF 中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF 为直角三 角形，且AFB90，又因为斜边 AB 的中点为 O，所以|OF|c5，连接 AF1，因为 A，B 关于原点对称，所
18、以|BF|AF1|8，所以 2a14，a7，所以离心率 e . 5 7 10已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M，N 两点直线 PQ 过原点 O x2 2 与 MN 平行，且 PQ 与椭圆交于 P，Q 两点，则_. |PQ|2 |MN| 答案 22 解析 不妨取直线 MNx 轴，椭圆 y21 的左焦点 F(1,0)，令 x1，得 y2 ， x2 2 1 2 所以 y，所以|MN|，此时|PQ|2b2， 2 2 2 则2. |PQ|2 |MN| 4 2 2 11.如图， 椭圆 C： 1(ab0)的右焦点为 F， 右顶点， 上顶点分别为 A， B， 且|AB|BF|. x2
19、 a2 y2 b2 5 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若斜率为 2 的直线 l 过点(0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，OPOQ，求直线 l 的方程及 椭圆 C 的方程 解 (1)由已知|AB|BF|， 5 2 即a，a2b2 5 2 4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2， e . c a 3 2 (2)由(1)知 a24b2，椭圆 C：1. x2 4b2 y2 b2 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直线 l 的方程为 y22(x0)，即 2xy20. 由Error!Error!消去 y， 得 x24(2x
20、2)24b20， 即 17x232x164b20. 3221617(b24)0，解得 b. 217 17 x1x2，x1x2. 32 17 164b2 17 OPOQ，0，OP OQ 即 x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0， 5x1x24(x1x2)40. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从而40， 5164b2 17 128 17 解得 b1，满足 b. 217 17 椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 12设椭圆1(ab0)的左焦点为 F，离心率为，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭 x2 a2 y2 b2 3 3 圆截得的线段长为. 43 3 (1)
21、求椭圆的方程； (2)设 A， B 分别为椭圆的左、 右顶点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D 两点， 若AC 8，O 为坐标原点，求OCD 的面积DB AD CB 解 (1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为， 43 3 所以. 2b2 a 43 3 因为椭圆的离心率为，所以 ， 3 3 c a 3 3 又 a2b2c2，可解得 b，c1，a.23 所以椭圆的方程为 1. x2 3 y2 2 (2)由(1)可知 F(1,0)， 则直线 CD 的方程为 yk(x1) 联立Error!Error! 消去 y 得(23k2)x26k2x3k260. 设 C(x1，y1
22、)，D(x2，y2)， 所以 x1x2，x1x2. 6k2 23k2 3k26 23k2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 A(，0)，B(，0)，33 所以AC DB AD CB (x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)3333 62x1x22y1y2 62x1x22k2(x11)(x21) 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2 68， 2k212 23k2 解得 k . 2 从而 x1x2 ，x1x20. 6 2 23 2 3 2 3 26 23 2 所以|x1x2| x 1x224x1x2 ， ( 3 2) 24 0 3 2 |CD|x1x2|1k
23、2 .12 3 2 33 2 而原点 O 到直线 CD 的距离为 d， |k| 1k2 2 12 6 3 所以OCD 的面积为 S |CD|d . 1 2 1 2 33 2 6 3 32 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 13正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆1 上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭 x2 a2 y2 b2 圆的离心率的取值范围是( ) A. B. ( 51 2 ，1)( 0， 51 2 ) C. D. ( 31 2 ，1)( 0， 31 2 ) 答案 B 解析 设正方形的边长为 2m， 椭圆的焦点在正方形的内部，mc， 又正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆1
24、 上， x2 a2 y2 b2 1e2， m2 a2 m2 b2 c2 a2 c2 b2 e2 1e2 即 e43e210，e2b0)短轴的端点为 P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为 M，AB x2 a2 y2 b2 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦， 若 PA， PB 的斜率之积等于 ， 则点 P 到直线 QM 1 4 的距离为_ 答案 b 45 5 解析 设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为(x0，y0)， 则 ，即 ， y0b x0 y0b x0 1 4 y2 0b2 x2 0 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由于1，则， x2 0 a2 y2 0 b
25、2 y2 0b2 x2 0 b2 a2 故 ， 则 ， 不妨取 M(a,0)， 则直线 QM 的方程为 bxayab0， 则点 P 到直线 QM b2 a2 1 4 b a 1 2 的距离为 db. |2ab| a2b2 2b 1(b a) 2 45 5 15平行四边形 ABCD 内接于椭圆 1，直线 AB 的斜率 k12，则直线 AD 的斜率 k2等 x2 8 y2 4 于( ) A. B C D2 1 2 1 2 1 4 答案 C 解析 设 AB 的中点为 G，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点， 则 GOAD. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有Er
26、ror!Error!两式相减得 ， x 1x2 x 1x2 8 y 1y2 y 1y2 4 整理得k12， x1x2 2y1y2 y1y2 x1x2 即 .又 G， y1y2 x1x2 1 4 ( x1x2 2 ，y 1y2 2 ) 所以 kOG ，即 k2 ，故选 C. y1y2 2 0 x1x2 2 0 1 4 1 4 16过椭圆1(ab0)上的动点 M 作圆 x2y2的两条切线，切点分别为 P 和 Q， y2 a2 x2 b2 b2 3 直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，求EOF 面积的最小值 解 设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 高清试
27、卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由题意知 PQ 斜率存在，且不为 0，所以 x0y00， 则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1xy1y，x2xy2y.因为点 M 在 MP 和 MQ 上，所以 b2 3 b2 3 有 x1x0y1y0，x2x0y2y0，则 P，Q 两点的坐标满足方程 x0xy0y，所以直线 PQ b2 3 b2 3 b2 3 的方程为 x0xy0y，可得 E和 F， b2 3 ( b2 3x0，0) (0， b2 3y0) 所以 SEOF |OE|OF|， 1 2 b4 18|x0y0| 因为 b2y a2x a2b2，b2y a2x 2ab|x0y0|， 2 02 02 02 0 所以|x0y0|，所以 SEOF， ab 2 b4 18|x0y0| b3 9a 当且仅当 b2y a2x 时取“” ， 2 02 0 a2b2 2 故EOF 面积的最小值为. b3 9a