《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.6 双曲线 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义：第九章 9.6 双曲线 Word版含解析.pdf（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.6 双曲线 双曲线 最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质 1双曲线定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. (1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 (a0，b0) 1 y2 a2 x2 b2 (a0，b0) 图形 范围xa 或 xa，yRx
2、R，ya 或 ya 性质 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线y x b a y x a b 离心率e ，e(1，)，其中 c c a a2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段 B1B2叫做双 曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做 双曲线的虚半轴长 a， b， c 的关系 c2a2b2 (ca0，cb0) 概念方法微思考 1平面内与两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲
3、线吗？ 为什么？ 提示 不一定当 2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当 2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当 2a0 时，动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线 2方程 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若 A0，B0，表示焦点在 y 轴上的双曲 线所以 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是 AB0，b0，二者没有大小要求， 若 ab0，ab0,0b0 时，10 时，e c a 1(b a) 2 2 (亦称等轴双曲线)，当 0.22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点
4、F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( ) (2)方程 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) x2 m y2 n (3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即 0.( ) x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 x m y n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )2 (5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 1 e2 1 1 e2 2 1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 题组二 教材改编 2若双曲线1(a0，b0)的焦
5、点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率 x2 a2 y2 b2 为( ) A. B55 C. D22 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 双曲线的渐近线方程为 0， 即bxay0， x a y b 2ab.又 a2b2c2，5a2c2. bc a2b2 e25，e. c2 a2 5 3已知 ab0，椭圆 C1的方程为1，双曲线 C2的方程为1，C1与 C2的离心 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 率之积为，则 C2的渐近线方程为( ) 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Axy0 B.xy022 Cx2y0 D2xy0 答案 A 解
6、析 椭圆 C1的离心率为， 双曲线 C2的离心率为， 所以， a2b2 a a2b2 a a2b2 a a2b2 a 3 2 即 a44b4，所以 ab，所以双曲线 C2的渐近线方程是 yx，即 xy0.2 1 2 2 4经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案 1 x2 15 y2 15 解析 设双曲线的方程为1(a0)， x2 a2 y2 a2 把点 A(4,1)代入，得 a215(舍负)， 故所求方程为1. x2 15 y2 15 题组三 易错自纠 5(2016全国)已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4， x2 m2n y2 3m2n 则 n
7、 的取值范围是( ) A(1,3) B(1，)3 C(0,3) D(0，)3 答案 A 解析 方程1 表示双曲线， x2 m2n y2 3m2n (m2n)(3m2n)0，解得m20，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( ) x2 a2 y2 b2 A. B. 7 3 5 4 C. D. 4 3 5 3 答案 D 解析 由条件知 y x 过点(3，4)，4， b a 3b a 即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2， 25a29c2，e .故选 D. 5 3 7已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为3 1 2 _ 答案 y21
8、x2 4 解析 由双曲线的渐近线方程为 y x，可设该双曲线的标准方程为 y2(0)，已知 1 2 x2 4 该双曲线过点(4，)，所以()2，即 1，故所求双曲线的标准方程为 y21.3 42 4 3 x2 4 题型一 双曲线的定义 例 1 (1)已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，N 是圆 O：x2y21 上任意一点，点 F1关于点 N 的对 称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图，连接 ON，由题意可得|ON|1，且 N 为 MF1的
9、中点， 又 O 为 F1F2的中点，|MF2|2. 点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P， 由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|， |PF2|PF1|PF2|PM|MF2| 20，b0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由题意知，2b12，e ， c a 5 4 b6，c10，a8. 双曲线的标准方程为1 或1. x2 64 y2 36 y2 64 x2 36 双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12. 又 2c26，c13，b2c2a225. 双曲线的标准方程为1. y2
10、 144 x2 25 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) Error!解得Error! 双曲线的标准方程为1. y2 25 x2 75 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 思维升华 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 焦点位置不确定时，设 Ax2By21(AB0，b0)的虚轴长为 8， x2 a2 y2 b2 右顶点(a,0)到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线 C 的方程为( ) 12 5 A. 1 B. 1 x2 9 y2 16 x2 16 y2 9 C.1 D.1 x2 25 y2 16 x2 16 y2 25 答案 A 解析 由虚轴长为 8，可得 b
11、4， 右顶点 A(a,0)到双曲线 C 的一条渐近线 bxay0 的距离为，解得 a3， 12 5 ab a2b2 12 5 则双曲线 C 的方程为 1，故选 A. x2 9 y2 16 (2)(2017全国)已知双曲线 C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为 yx，且与椭 x2 a2 y2 b2 5 2 圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( ) x2 12 y2 3 A. 1 B. 1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C. 1 D. 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由 yx，可得 . 5 2 b a 5 2
12、由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)， x2 12 y2 3 可得 a2b29. 由可得 a24，b25. 所以 C 的方程为 1.故选 B. x2 4 y2 5 题型三 双曲线的几何性质 命题点 1 与渐近线有关的问题 例3 已知F1， F2是双曲线C：1(a0， b0)的两个焦点， P是C上一点， 若|PF1|PF2| x2 a2 y2 b2 6a，且PF1F2最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A.xy0 Bxy022 Cx2y0 D2xy0 答案 A 解析 由题意， 不妨设|PF1|PF2|， 则根据双曲线的定义得， |PF1|PF2|2a， 又|PF1|
13、PF2| 6a， 解得|PF1|4a， |PF2|2a.在PF1F2中， |F1F2|2c， 而 ca， 所以有|PF2|0， 双曲线的渐近线与圆(x2)2 x2 a2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 y21 相切，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 2 3 3 32 3 2 答案 A 解析 根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为 xay0，而圆(x2)2y21 的圆心为 (2,0)，半径为 1，结合题意有1，结合 a0 的条件，求得 a，所以 c2， |2 0| 1a2 331 所以有 e，故选 A. 2 3 2 3 3 思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法 求双
14、曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 于 0，即令 0，得 y x； 或令 0，得 y x.反之，已知渐近线方程为 y x， x2 a2 y2 b2 b a y2 a2 x2 b2 a b b a 可设双曲线方程为(a0，b0，0) x2 a2 y2 b2 2求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 求 a，b，c 的值，由1直接求 e. c2 a2 a2b2 a2 b2 a2 列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的 方程(或不等式)求解
15、 (2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：k . b a c2a2 a c2 a21 e21 跟踪训练 3 (2018茂名模拟)已知 F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过 F1 x2 a2 y2 b2 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 B，A，若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心 率为( ) A. B4 C. D.7 2 3 3 3 答案 A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 因为ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|BF2|AF2|m， 因为 A 为双曲线右支上一点， 所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a， 因为 B 为双曲
16、线左支上一点， 所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a， 由ABF260，得F1BF2120， 在F1BF2中，由余弦定理得 4c24a216a222a4acos 120， 得 c27a2，则 e27，又 e1，所以 e.故选 A.7 高考中离心率问题 离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般 有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围， 无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其 中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率
17、问 题难点的根本方法 例 1 已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F， 短轴的一个端点为 M， 直线 l： 3x4y0 x2 a2 y2 b2 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率 4 5 的取值范围是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. (0， 3 2 (0， 3 4 C. D. 3 2 ，1) 3 4，1) 答案 A 解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则 M 到直线 l 的距离 d
18、， 4b 5 4 5 1b0，b0)， x2 a2 y2 b2 由已知，取 A 点坐标为，取 B 点坐标为，则 C 点坐标为且 F1( (c， b2 a) (c， b2 a) (0， b2 2a) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 c,0) 由 ACBF1知0，又，可得 2c20，AC BF1 AC (c， 3b2 2a) BF1 (2c， b2 a) 3b4 2a2 又 b2c2a2，可得 3c410c2a23a40，则有 3e410e230，可得 e23 或 ，又 e1， 1 3 所以 e.故选 B.3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1(2018云南民族中学月考)已
19、知双曲线1(a0，b0)，点(4，2)在它的一条渐近线 y2 a2 x2 b2 上，则离心率等于( ) A. B. C. D.65 6 2 5 2 答案 B 解析 渐近线方程为 y x，故(4，2)满足方程2 4，所以 ，所以 e a b a b a b 1 2 c a ，故选 B. a2b2 a2 1b 2 a2 5 2 (2018海淀模拟)设曲线C是双曲线， 则 “C的方程为x2 1” 是 “C的渐近线方程为y2x” y2 4 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 C 的方程为 x2 1，则 a1，b2，渐近线方程为 y x，
20、即为 y2x，充分 y2 4 b a 性成立；若渐近线方程为 y2x，则双曲线方程为 x2 (0)， y2 4 “C 的方程为 x2 1”是“C 的渐近线方程为 y2x”的充分不必要条件，故选 A. y2 4 3(2018辽宁省五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：1(a0，b0)的 x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 离心率为，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A，若AFO 的面积为 1，则5 双曲线 C 的方程为( ) A. 1 B. y21 x2 2 y2 8 x2 4 C. 1 Dx2 1 x2 4 y2 16 y2
21、4 答案 D 解析 因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以 ab2，又双曲线 C 的离心率为， 所以 ， 即 b24a2， 解得 a21， b24， 所以双曲线 C 的方程为 x251b 2 a2 5 1，故选 D. y2 4 4 (2018金华模拟)已知F1， F2为双曲线C： x2y21的左、 右焦点， 点P在C上， F1PF260， 则|PF1|PF2|等于( ) A2 B4 C6 D8 答案 B 解析 由双曲线的方程，得 a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.2 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1
22、|PF2|cos 60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2| (|PF1|PF2|)2|PF1|PF2| 22|PF1|PF2|(2)2，2 解得|PF1|PF2|4.故选 B. 5已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，双曲线的离心率为 e，若双曲线上存 y2 3 在一点 P 使e，则的值为( ) sinPF2F1 sinPF1F2 F2P F2F1 A3 B2 C3 D2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 由题意及正弦定理得 e2， sinPF2F1 sinPF1F2 |PF1| |PF2| |PF1|2|PF2|， 由双曲线的定义知|PF1|P
23、F2|2， |PF1|4，|PF2|2， 又|F1F2|4， 由余弦定理可知 cosPF2F1|PF 2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|F1F2| ， 41616 2 2 4 1 4 |cosPF2F1F2P F2F1 F2P F2F1 24 2.故选 B. 1 4 6(2018安徽淮南三校联考)已知双曲线 1 的右焦点为 F，P 为双曲线左支上一点， x2 4 y2 2 点 A(0，)，则APF 周长的最小值为( )2 A4 B4(1)22 C2() D.32662 答案 B 解析 由题意知 F(， 0)， 设左焦点为 F0， 则 F0(， 0)， 由题意可知APF 的周长 l
24、为|PA|66 |PF| |AF|， 而 |PF| 2a |PF0|， l |PA| |PF0| 2a |AF|AF0| |AF| 2a 22444(1)，当且仅当 A，F0，P 三 0 6 2 20 2 60 20 22 22 点共线时取得“” ，故选 B. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7已知离心率为的双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是双 5 2 x2 a2 y2 b2 曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF2，O 为坐标原点，若16，则双曲线的实 2 OMF S 轴长是( ) A32 B16 C84 D4 答案 B 解析 由题意知 F2(
25、c,0)，不妨令点 M 在渐近线 y x 上，由题意可知|F2M|b，所 b a bc a2b2 以|OM|a.由16， 可得 ab16， 即 ab32， 又 a2b2c2， ， 所以 ac2b2 2 OMF S 1 2 c a 5 2 8，b4，c4，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B.5 8(2018泰安联考)已知双曲线 C1：1(a0，b0)，圆 C2：x2y22ax a20，若 x2 a2 y2 b2 3 4 双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点， 则双曲线C1的离心率的取值范围是( ) A. B. (1， 2 3 3) ( 2 3 3 ，) C(1,2) D(2，)
26、 答案 A 解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为 y x， 即 bxay0， 圆 C2： x2y22ax a20 b a 3 4 可化为(xa)2y2 a2， 圆心 C2的坐标为(a,0)， 半径 r a， 由双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2 1 4 1 2 有两个不同的交点，得2b，即 c24b2，又知 b2c2a2，所以 c24(c2a2)， |ab| a2b2 1 2 即 c21，所以双曲线 C1的离心率的取值范围为，故选 A. 4 3 c a 2 3 3(1， 2 3 3) 9(2016北京)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点为(，0)， x2 a2 y2
27、 b2 5 则 a_；b_. 答案 1 2 解析 由 2xy0，得 y2x，所以 2. b a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 c，a2b2c2，解得 a1，b2.5 10 已知 F1， F2分别是双曲线 x21(b0)的左、 右焦点， A 是双曲线上在第一象限内的点， y2 b2 若|AF2|2 且F1AF245， 延长 AF2交双曲线的右支于点 B， 则F1AB 的面积等于_ 答案 4 解析 由题意知 a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2， |AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|， |
28、BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等 腰直角三角形 |BA|BF1|AF1|42， 2 2 2 2 2 |BA|BF1| 224. 1 F AB S 1 2 1 2 22 11(2018安阳模拟)已知焦点在 x 轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离 x2 8m y2 4m 的取值范围是_ 答案 (0,2) 解析 对于焦点在 x 轴上的双曲线1(a0，b0)，它的焦点(c,0)到渐近线 bxay0 x2 a2 y2 b2 的距离为b.双曲线1，即1，其焦点在 x 轴上，则Error! |bc| b2a2 x2 8m y2 4m x2 8m y2 m4
29、 解得 40，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为 x2 a2 y2 b2 双曲线 C 上第二象限内一点，若直线 y x 恰为线段 PF2的垂直平分线，则双曲线 C 的离心 b a 率为( ) A. B.23 C. D.56 答案 C 解析 如图， 直线 PF2的方程为 y (xc)，设直线 PF2与直线 y x 的交点为 N，易知 N.又线 a b b a ( a2 c ，ab c) 段 PF2的中点为 N，所以 P.因为点 P 在双曲线 C 上，所以1， ( 2a2c2 c ，2ab c) 2a 2c22 a2c2 4a2b2 c2b2 即 5a2c2，所以 e .故选 C. c
30、a 5 14(2018福建六校联考)已知双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点为 F，左顶点为 A， x2 a2 y2 b2 以 F 为圆心， FA 为半径的圆交 C 的右支于 P， Q 两点， APQ 的一个内角为 60， 则双曲线 C 的离心率为_ 答案 4 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 设左焦点为 F1，由于双曲线和圆都关于 x 轴对称， 又APQ 的一个内角为 60， PAF30，PFA120，|AF|PF|ca， |PF1|3ac， 在PFF1中，由余弦定理得， |PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP， 即 3c2ac4a20，即 3
31、e2e40，e (舍负) 4 3 15已知双曲线 E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|8，P 是 E 右 x2 a2 y2 b2 支上的一点，PF1与 y 轴交于点 A，PAF2的内切圆与边 AF2的切点为 Q.若|AQ|，求 E3 的离心率 解 如图所示， 设 PF1， PF2分别与PAF2的内切圆切于 M， N， 依题意， 有|MA|AQ|， |NP| |MP|， |NF2|QF2|， |AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2，3 故 a，从而 e .3 c a 4 3 4 3 3 16已
32、知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上， x2 a2 y2 b2 且|PF1|6|PF2|，求此双曲线的离心率 e 的最大值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由定义，知|PF1|PF2|2a. 又|PF1|6|PF2|，|PF1|a，|PF2| a. 12 5 2 5 当 P，F1，F2三点不共线时， 在PF1F2中，由余弦定理， 得 cosF1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| e2， 144 25 a2 4 25a 24c2 212 5 a2 5a 37 12 25 12 即 e2cosF1PF2. 37 25 12 25 cosF1PF2(1,1)，e. (1， 7 5) 当 P，F1，F2三点共线时， |PF1|6|PF2|，e ， c a 7 5 综上，e 的最大值为 . 7 5