《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 高考专题突破五 第2课时 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 高考专题突破五 第2课时 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 课时 定点、定值问题课时 定点、定值问题 题型一 定点问题 例 1 已知椭圆 C：1(ab0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三 x2 a2 y2 b2(1， 3 2) (1， 3 2) 点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1， 证明：l 过定点 (1)解 由于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4两点 又由知，椭圆 C 不经过点 P1， 1 a2 1 b2 1 a2 3 4
2、b2 所以点 P2在椭圆 C 上 因此Error!解得Error! 故椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 (2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：xt，由题设知 t0，且|t|0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 x1,2， 8km 164k2m2 1 24k2 1 所以 x1x2，x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 而 k1k2 y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 . 2kx1x2m1x1x2 x1x2 由题设知 k1k21
3、， 故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即(2k1) (m1) 0， 4m24 4k21 8km 4k21 解得 k. m1 2 当且仅当 m1 时，0，于是 l：yxm， m1 2 即 y1(x2)，所以 l 过定点(2，1) m1 2 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何 时没有关系，找到定点 (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 跟踪训练 1 已知焦距为 2的椭圆 C：1(ab0)的右顶点为 A，直线 y 与椭圆 C2 x2 a2 y2 b2 4 3
4、 交于 P，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形 (1)求椭圆 C 的方程； (2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M，N. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若直线 l 过原点且与坐标轴不重合， E 是直线 3x3y20 上一点， 且EMN 是以 E 为直 角顶点的等腰直角三角形，求 k 的值； 若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DAAM，点 G 是 x 轴上异于点 M 的点， 且以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点 (1)解 由题意可得 2c2
5、，即 c，22 设 Q，因为四边形 ABPQ 为平行四边形， (n， 4 3) PQ2n，ABan，所以 2nan，n ， a 3 则1，解得 b22，a2b2c24， ( a 3) 2 a2 16 9 b2 可得椭圆 C 的方程为 1. x2 4 y2 2 (2)解 将直线 ykx(k0)代入椭圆方程， 可得(12k2)x24， 解得 x， 2 12k2 可设 M， ( 2 12k2， 2k 12k2) 由 E 是 3x3y20 上一点， 可设 E， (m， 2 3m)(m 0，且m 2 3) E 到直线 kxy0 的距离为 d， |kmm 2 3| 1k2 因为EMN 是以 E 为直角顶点
6、的等腰直角三角形， 所以 OEMN，OMd， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即有 ， 2 3m m 1 k ， 44k2 12k2 |kmm 2 3| 1k2 由得 m(k1)，代入式， 2k 3k1 化简整理可得 7k218k80，解得 k2 或 . 4 7 证明 由M(2,0)， 可得直线MN的方程为yk(x2)(k0)， 代入椭圆方程可得(12k2)x2 8k2x8k240， 解得 xN， 24k2 12k2 yNk(xN2)，即 N， 4k 12k2 ( 24k2 12k2， 4k 12k2) 设 G(t,0)(t2)，由题意可得 D(2,4k)，A(2,0)， 以 DN
7、 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点， 可得 ANDG，即有0，AN DG 即为 (t2，4k)0，解得 t0. ( 8k2 12k2， 4k 12k2) 故点 G 是定点，即为原点(0,0) 题型二 定值问题 例 2 (2018苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆1(ab0)的焦距为 2， x2 a2 y2 b2 离心率为，椭圆的右顶点为 A. 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求该椭圆的方程； (2)如图，过点 D(，)作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P，Q，求证：直线 AP，AQ 的斜22 率之和为定值 (1)解 由题意可知，椭圆1(ab
8、0)，焦点在 x 轴上，2c2，c1， x2 a2 y2 b2 椭圆的离心率 e ，则 a，b2a2c21， c a 2 2 2 则椭圆的标准方程为 y21. x2 2 (2)证明 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，2 由题意知直线 PQ 斜率存在， 设其方程为 yk(x)，22 则Error! 整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20.22 所以 x1,2， 4 2k24 2k 4 2k2 4 2k242k214k28k2 22k2 1 所以 x1x2，x1x2， 4 2k24 2k 2k21 4k28k2 2k21 则 y1y2k(x1x2)2k2，22 2
9、22 2k 2k21 则 kAPkAQ y1 x1 2 y2 x2 2 . y1x2y2x1 2 y 1y2 x1x2 2 x 1x22 由 y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12222 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2kx1x2(k)(x1x2)，22 4k 2k21 kAPkAQy 1x2y2x1 2 y 1y2 x1x2 2 x 1x22 1， 4k 2k21 2 2 22 2k 2k21 4k28k2 2k21 2 4 2k24 2k 2k21 2 直线 AP，AQ 的斜率之和为定值 1. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值依
10、题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可 得出定值 (2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件 化简、变形求得 (3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即 可求得 跟踪训练 2 (2018南通考试)如图，已知圆 O 的方程为 x2y24，过点 P(0,1)的直线与圆 O 交于点 A，B，与 x 轴交于点 Q，设，u，求证：u 为定值QA PA QB PB 证明 当 AB 与 x 轴垂直时，此时点 Q 与点 O 重合， 从而 2，u ，u . 2 3 8 3 当点 Q 与点 O 不重合时，直线 A
11、B 的斜率存在 设直线 AB 的方程为 ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 Q. ( 1 k，0) 由题设，得 x1 x1，x2 ux2， 1 k 1 k 即 1，u1. 1 x1k 1 x2k 所以 u112， 1 x1k 1 kx2 x1x2 kx1x2 将 ykx1 代入 x2y24，得(1k2)x22kx30， 则 0，x1,2， 2k 4k2121k2 21k2 x1x2，x1x2， 2k 1k2 3 1k2 所以 u2 . 2k 1k2 k ( 3 1k2) 8 3 综上，u 为定值 . 8 3 直线与圆锥曲线的综合问题
12、数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程主要包括 ： 理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结 果等 例 椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别是 F1，F2，离心率为，过 F1且垂直于 x 轴 x2 a2 y2 b2 3 2 的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连结 PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)在(2)的条件下，过点 P 作
13、斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直 线 PF1，PF2的斜率分别为 k1，k2，若 k20，证明为定值，并求出这个定值 1 kk1 1 kk2 解 (1)由于 c2a2b2，将 xc 代入椭圆方程1，得 y.由题意知1， x2 a2 y2 b2 b2 a 2b2 a 即 a2b2. 又 e ，所以 a2，b1. c a 3 2 所以椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 (2)设 P(x0，y0)(y00)， 又 F1(，0)，F2(，0)，33 所以直线 PF1，PF2的方程分别为 ：y0x(x0)yy00， 1 PF l33 ：y0x(x0)yy00.
14、2 PF l33 由题意知. |my0 3y0| y2 0x0 32 |my0 3y0| y2 0x0 32 由于点 P 在椭圆上，所以 y 1. x2 0 4 2 0 所以. |m 3| ( 3 2 x02)2 |m 3| ( 3 2 x02)2 因为0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足 MF1MF2， x2 4 y2 b2 已知MF1F2的面积为 1. (1)求 C 的方程； (2)设 C 的上顶点为 H，过点(2，1)的直线与椭圆交于 R，S 两点(异于 H)，求证：直线 HR 和 HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值 解 (1)由椭圆定义得 MF1MF24， 由垂直得 MF MF
15、 F1F 4(4b2)， 2 12 22 2 由题意得 MF1 MF21， 1 2 MF F S 1 2 由，可得 b21，C 的方程为 y21. x2 4 (2)依题意，H(0,1)，显然直线的斜率存在且不为 0， 设直线 RS 的方程为 ykxm(k0)， 因为直线 RS 过点(2，1)， 所以12km，即 2km1， 代入椭圆方程化简得(4k21)x28kmx4m240. 由题意知，16(4k2m21)0， 设 R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x20， 故 x1,2， 8km 164k2m2 1 24k2 1 所以 x1x2，x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 kH
16、RkHS y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2k(m1)2k(m1) x1x2 x1x2 8km 4m24 2k1. 2km m1 2k m1 故 kHRkHS为定值1. 3(2018苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3,4)，B(9,0)，C，D 分别为线段 OA，OB 上的动点，且满足 ACBD. (1)若 AC4，求直线 CD 的方程； (2)求证：OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O) (1)解 由题意可知 OA5， 因为 AC4，所以 OC1，所以 C， ( 3 5， 4 5) 由
17、题意可知 D(5,0)， 显然，直线 CD 的斜率存在， 设直线 CD 的方程为 ykxb， 将 C，D 两点坐标代入方程得直线 CD 的方程为 x7y50. (2)证明 设 C(3m,4m)(00， x1， k24k4 k2 同理 x2， k24k4 k2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x1x2，x1x2 ， 2k28 k2 8k k2 8 k y1y2k(x11)2k(x21)2 k(x1x2)2k k 2k ， 2k28 k2 8 k kAB1， y1y2 x1x2 8 k 8 k 直线 AB 的斜率为定值1. 5 设椭圆 C：1(ab0)的离心率 e， 左顶点 M 到直线
18、 1 的距离 d， O x2 a2 y2 b2 3 2 x a y b 4 5 5 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点 O 到 直线 AB 的距离为定值 (1)解 由 e，得 ca，又 b2a2c2， 3 2 3 2 所以 b a，即 a2b. 1 2 由左顶点 M(a,0)到直线 1， x a y b 即到直线 bxayab0 的距离 d， 4 5 5 得，即， |baab| a2b2 4 5 5 2ab a2b2 4 5 5 把 a2b 代入上式，得，解得 b1. 4b2 5b 4 5 5
19、 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 a2b2，c . 3 所以椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 (2)证明 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线 AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知 x1x2，y1y2. 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，故 0，OA OB 即 x1x2y1y20，也就是 x y 0， 2 12 1 又点 A 在椭圆 C 上，所以 y 1， x2 1 4 2 1 解得|x1|y1|. 2 5 5 此时点 O 到直线 AB 的距离 d1|x1|. 2 5 5 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 ykxm， 与椭圆方
20、程联立有Error! 消去 y，得(14k2)x28kmx4m240， 所以 x1,2， 8km 64k2m2414k24m2 4 214k2 所以 x1x2，x1x2. 8km 14k2 4m24 14k2 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O，所以 OAOB， 所以 x1x2y1y20，OA OB 所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以(1k2) m20， 4m24 14k2 8k2m2 14k2 整理得 5m24(k21)， 所以点 O 到直线 AB 的距离 d1. |m| k21 2 5 5 综上所述，点 O 到直线 AB 的
21、距离为定值. 2 5 5 6.已知椭圆 C：1(ab0)经过与两点 x2 a2 y2 b2 (1， 3 2)( 6 2 ， 30 4) (1)求椭圆 C 的方程； (2)过原点的直线l与椭圆C交于A， B两点， 椭圆C上一点M满足MAMB.求证 ： 1 OA2 1 OB2 为定值 2 OM2 (1)解 将与两点代入椭圆 C 的方程， (1， 3 2)( 6 2 ， 30 4) 得Error!解得Error! 所以椭圆 C 的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)证明 由 MAMB，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点 A，B 关于原 点对称 若点 A，B 是椭圆的短轴顶点
22、，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 2 . 1 OA2 1 OB2 2 OM2 1 b2 1 b2 2 a2 ( 1 a2 1 b2) 7 6 同理，若点 A，B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 是椭圆的一个短轴顶点，此时 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 OA2 1 OB2 2 OM2 2 . 1 a2 1 a2 2 b2 ( 1 a2 1 b2) 7 6 若点 A，B，M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 ykx(k0)， 则直线 OM 的方程为 y x， 1 k 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error! 解得 x ，y ， 12 12 34k2 12 12k2 34k2 所以 OA2OB2x y ， 1212 121k2 34k2 同理，OM2. 121k2 43k2 所以 1 OA2 1 OB2 2 OM2 2 . 34k2 121k2 243k2 121k2 7 6 综上，为定值 . 1 OA2 1 OB2 2 OM2 7 6