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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位 利用导数研究函数的性质， 能进行简单的定积分计算， 以含指数函数、 对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简 单的问题. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x) 在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y2x B.yx C.y2x D.yx 解析 因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数， 所以f(x)f(x)， 可得a1， 所以 f(x)x3
2、x，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0) 处的切线方程为 yx. 答案 D 2.(2017全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则 f(x)的极 小值为( ) A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 解析 f(x)x2(a2)xa1ex1， 则 f(2)42(a2)a1e30a1， 则 f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令 f(x)0，得 x2 或 x1， 当 x1 时，f(x)0；当2x1，设 tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试 证明 t0. (1)解 f(x)的定义域为(0，)， f(x)
3、 1 . 1 x2 a x x2ax1 x2 ()若 a2，则 f(x)0， 当且仅当 a2，x1 时 f(x)0， 所以 f(x)在(0，)上单调递减. ()若 a2，令 f(x)0 得， x或 x. a a2 4 2 a a2 4 2 当 x时，f(x)0. ( a a2 4 2 ，a a 24 2 ) 所以 f(x)在，上单调递减， (0， a a2 4 2 ) ( a a2 4 2 ，) 在上单调递增. ( a a2 4 2 ，a a 24 2 ) (2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当 a2. 由于 f(x)的两个极值点 x1，x2满足 x2ax10， 所以 x1
4、x21. 又x2x10，所以 x21. 又 tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2) (x1x2)a(ln x1ln x2)(a2)(x1x2) 1 x1 1 x2 aa. (ln x1 x2x 1x2) ( 1 x22ln x 2x2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 (x) x2ln x，x1. 1 x 由第(1)问知，(x)在(1，)单调递减，且 (1)0， 从而当 x(1，)时，(x)0. 1 x2 考 点 整 合 1.导数的几何意义 函数 f(x) 在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在 点 P 处的切线的斜率 k
5、f(x0)，相应的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). 易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线， 前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点. 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)cos x； (2)(cos x)sin x； (3)(ax)axln a(a0，且 a1)； (4)(logax)(a0，且 a1，x0). 1 xln a 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)x3在(，)上单 调递增，但 f(x)0. f(x)0 是 f(x)为增函数
6、的必要不充分条件， 如果函数在某个区间内恒有 f(x) 0 时，则 f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. (2)设函数 yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上必有最大值 和最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在， 某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要 而不充分条件. 热点一 导数与定积分的几何意义 【例 1】 (1)(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x
7、0 时，f(x)ln(x)3x， 则曲线 yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_. (2)(2018邯郸调研)展开式的中间项系数为 20， 如图阴影部 (x 2 a 2x) 6 分是由曲线yx2和圆x2y2a及x轴围成的封闭图形，则封闭图 形的面积 S_. 解析 (1)令 x0，则x0)，则 f(x) 3(x0). 1 x f(1)2， 在点(1，3)处的切线方程为 y32(x1)， 即 2xy10. (2)因为展开式的中间项系数为 20， 中间项为第四项， 系数为 C20， (x 2 a 2x) 6 3 6(a 2) 3 解得 a2， 所以曲线 yx2和圆 x2y22 在第一象限的交点为(
8、1，1)，所以阴影部分的面积 为 (xx2)dx . 4 1 0 4 ( 1 2x 21 3x 3)|1 0) 4 1 6 答案 (1)2xy10 (2) 4 1 6 探究提高 1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率 之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而 得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以 y 为积分变量时，应注意将曲线 方程变为
9、x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值. 【训练 1】 (1)(2018武汉调研)设曲线 y在点处的切线与直线 x 2cos x sin x ( 2，2) ay10 垂直，则 a_. (2)(2018成都质检)在平面直角坐标系内任取一个点 P(x，y)满足 则点 P 落在曲线 y 与直线 x2， y2 围成的阴 0 x 2， 0 y 2，) 1 x 影区域(如图所示)内的概率为_. 解析 (1)y（2cos x）sin x（2cos x）（sin x） sin2x ， 则曲线 y在点处的切线的斜率为 k11.因为直线 x 12cos x sin2x 2cos x sin x (
10、 2，2) ay10 的斜率 k2 ， 1 a 又该切线与直线 xay10 垂直， 所以 k1k21，解得 a1. (2)由解得 y2， y1 x，) x1 2， y2，) 所以阴影部分的面积为dx(2xln x)(22ln 2)3 2 (2 1 x) | 2 1 2) (2 1 2ln 1 2) 2ln 2，因此所求概率为. 32ln 2 2 2 32ln 2 4 答案 (1)1 (2)32ln 2 4 热点二 利用导数研究函数的单调性 考法 1 确定函数的单调性(区间) 【例 21】 (2017全国卷改编)已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a0. 高清试卷 下载可打印 高清
11、试卷 下载可打印 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)0，求 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(，)，且 a0. f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若 a0，则 f(x)e2x，在(，)上单调递增. 若 a0. (ln( a 2)，) 故 f(x)在上单调递减， (，ln( a 2) 在区间上单调递增. (ln( a 2)，) 综上所述，当 a0 时，f(x)在 R 上单调递增； 当 aa2e 时，f(x)0. 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 综上，a 的取值范围是2e ，0. 3 4 考法 2 根据函数的单调性求参数的取
12、值范围 【例 22】 (2018广州质检)已知 x1 是 f(x)2x ln x 的一个极值点. b x (1)求函数 f(x)的单调递减区间. (2)设函数 g(x)f(x)，若函数 g(x)在区间1，2内单调递增，求 a 的取值范 3a x 围. 解 (1)f(x)2x ln x，定义域(0，). b x f(x)2 . b x2 1 x 2x2xb x2 因为 x1 是 f(x)2x ln x 的一个极值点， b x 所以 f(1)0，即 2b10. 解得 b3，经检验，适合题意，所以 b3. 所以 f(x)2 ， 3 x2 1 x 2x2x3 x2 令 f(x)0)， 3a x a x
13、 g(x)2 (x0). 1 x a x2 因为函数 g(x)在1，2上单调递增， 所以 g(x)0 在1，2上恒成立， 即 2 0 在1，2上恒成立， 1 x a x2 所以 a2x2x 在1，2上恒成立， 所以 a(2x2x)max，x1，2. 因为在1，2上，(2x2x)max3，所以 a3. 所以 a 的取值范围是3，). 探究提高 1.求函数的单调区间， 只需在函数的定义域内解(证)不等式 f(x)0 或 f(x) ，则当 x时，f(x)0. 所以 f(x)在 x2 处取得极小值. 若 a ，则当 x(0，2)时，x20.所以 2 不是 f(x)的极小值点. 综上可知，a 的取值范围
14、是. ( 1 2，) 探究提高 1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行， 求 a 值，切记，需检验切线是否与 x 轴重合. 2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是 极值点时也要注意是极大值点还是极小值点. (2)求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的 函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 【训练 3】 已知函数 f(x)excos xx. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间上的最大值和最小值. 0， 2
15、解 (1)f(x)excos xx，f(0)1， f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0， yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为 y10(x0)，即 y1. (2)f(x)ex(cos xsin x)1，令 g(x)f(x)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 g(x)2sin xex0 在上恒成立，且仅在 x0 处等号成立， 0， 2 g(x)在上单调递减， 0， 2 g(x)g(0)0，f(x)0 且仅在 x0 处等号成立， f(x)在上单调递减， 0， 2 f(x)maxf(0)1，f(x)minf . ( 2) 2 考法 2 与函数极值点个数有关问题 【例
16、 32】 (2018潍坊三模)已知函数 f(x)ln x x2ax(aR)，g(x)ex x2. 1 2 3 2 (1)讨论函数 f(x)极值点的个数； (2)若对x0，不等式 f(x)g(x)成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)f(x) xa(x0). 1 x x2ax1 x 令 f(x)0，即 x2ax10，其中 a24. 当 a240 时，即2a2 时，x2ax10 恒成立. f(x)0，则 f(x)在(0，)上递增，函数无极值点. 当 a240 时，由 x2ax10， 得 x1，x2(x12，则 x10， 当 x(x1，x2)时，f(x)0). exln xx2 x h(x)(
17、ex1 x2x)xe xln xx2 x2 . ex（x1）ln xx21 x2 当 x(0，1)时，ex(x1)ln xx210， 即 h(x)0，h(x)单调递增. 因此 x1 为 h(x)的极小值点，即 h(x)h(1)e1，故 ae1. 探究提高 1.求函数 f(x)的极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根 的左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况 来求解. 【训练 4】 已知函数 f(x)ax1ln x(aR). (1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数 f(x)在 x1 处
18、取得极值，x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数 b 的最大值. 解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a . 1 x ax1 x 当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递减. f(x)在(0，)上没有极值点. 当 a0 时，由 f(x)0，得 x ， 1 a 1 a f(x)在上单调递减，在上单调递增，故 f(x)在 x 处有极小值. (0， 1 a) ( 1 a，) 1 a 综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点； 当 a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)函数 f(x)
19、在 x1 处取得极值， f(1)a10，则 a1，从而 f(x)x1ln x. 因此 f(x)bx21 b， 1 x ln x x 令 g(x)1 ，则 g(x)， 1 x ln x x ln x2 x2 令 g(x)0，得 xe2， 则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增， g(x)ming(e2)1 ，即 b1 . 1 e2 1 e2 故实数 b 的最大值是 1 . 1 e2 1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个， 这些单调区间不能用 “”连接， 而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的 最大值与最
20、小值. 3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于 极大值； (2)对于可导函数 f(x)，“f(x)在 xx0处的导数 f(x0)0”是“f(x)在 xx0处取得极值” 的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的 极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点. 4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个 数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论. 5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或 不等式问题
21、来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维 已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的 思想. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一、选择题 1.曲线 yex2x 在点(0，1)处的切线方程为( ) A.yx1 B.yx1 C.y3x1 D.yx1 解析 求导函数yex2， 当x0时， ye023， 所以曲线yex2x在点(0， 1) 处的切线方程为 y3x1. 答案 C 2.(2018安徽江淮十校联考)设函数 f(x) x29ln x 在区间a1，a1上单调递 1 2 减，则实数 a 的取值范围是( ) A.(1，2 B.4，) C.(，2 D
22、.(0，3 解析 易知 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)x . 9 x 因为函数 f(x)在区间a1，a1上单调递减，所以 f(x)0 在a1，a1上恒 成立，即 0 0， a1 3，) 答案 A 3.函数 f(x)3x2ln x2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1C.2 D.无数 解析 函数定义域为(0，)， 且 f(x)6x 2， 1 x 6x22x1 x 由于 x0，g(x)6x22x1 的 200 恒成立，故 f(x)0 恒成立， 即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 答案 A 4.函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是
23、 ( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0 的解集对应 yf(x)的增区间， f(x)0 的解集对应 yf(x)的减区间，验证只有 D 选项符合. 答案 D 5.(2018郑州质检)若函数 yf(x)存在 n1(nN*)个极值点，则称 yf(x)为 n 折 函数， 例如 f(x)x2为 2 折函数.已知函数 f(x)(x1)exx(x2)2， 则 f(x)为( ) A.2 折函数 B.3 折函数 C.4 折函数 D.5 折函数 解析 f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令 f(x)0，得 x2 或 ex3x2
24、. 易知 x2 是 f(x)的一个极值点， 又 ex3x2， 结合函数图象， yex与 y3x2 有两个交点.又 e23(2)2 4. 函数 yf(x)有 3 个极值点，则 f(x)为 4 折函数. 答案 C 二、填空题 6.(2018全 国 卷 )曲 线 y 2ln(x 1)在 点 O(0， 0)处 的 切 线 方 程 为 _. 解析 由题意得 y.在点 O 处切线斜率 ky|x02.曲线 y2ln(x1)在 2 x1 点(0，0)处的切线方程为 y02(x0)，即 y2x. 答案 y2x 7.(2018郴州三模)已知奇函数 f(x)则函数 h(x)的最大值为 ex x 1（x 0）， h（
25、x） （x 0 时，f(x) 1，f(x)， ex x ex（x1） x2 当 x(0，1)时，f(x)1 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增. x1 时，f(x)取到极小值 e1，即 f(x)的最小值 e1. 又 f(x)为奇函数，且 x1 时，(x)0，(x)在(1，)上是增函数. 因此 (x)极小值为 (1) .在同一坐标系中作 y(x) 1 e 与 ya 的图象， 又当 x0，均有 x(2ln aln x)a 恒成立，求正数 a 的取值范围. 解 (1)f(x) ，x(0，). 1 x a x2 xa x2 当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)为增函数，无极值. 当 a0
26、时，x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)为增函数， f(x)在(0，)有极小值，无极大值， f(x)的极小值 f(a)ln a1. (2)若对任意 x0， 均有 x(2ln aln x)a 恒成立， 即对任意 x0， 均有 2ln a ln a x x 恒成立， 由(1)可知 f(x)的最小值为 ln a1，问题转化为 2ln aln a1，即 ln a1，故 00. 当 x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增. 当 00，f(x)单调递增； x(ln 2a，0)时，f(x)0，f(x)单调递增. 当 a 时，x(，)时，f(x)0 时，f(x)单调递增. 1 2 (2)由题意知 g(x)exx2x. g(x)ex2x1，令 (x)g(x)， 则 (x)ex2. 当 x(0，ln 2)时，(x)0，(x)单调递增； x(ln 2，)时，(x)0， 4e 0，g(x)单调递增； x(x0，)时，(x)0，g(x)单调递减； mg(x0)ex0x x0(2x01)x x0 2 02 0 x x01 . 2 0 (x 01 2) 2 5 4 又 x0，所以 m. (1， 3 2) (1， 1 4) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以，不超过 m 的最大整数为1.