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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 12 立体几何大题部分专题 12 立体几何大题部分 【训练目标】 1、 掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积； 2、 掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假； 3、 掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法； 4、 掌握等体积法求点面距； 5、 掌握几何体体积的几种求法； 6、 掌握利用空间向量解决立体几何问题。 7、 掌握常见几何体的外接球问题。 【温馨小提示】 立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在 17 分到 22 分之间，对于大多数人来说
2、，立 体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的 求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。 【名校试题荟萃】 1、已知直三棱柱中，为中点，. 求证：平面； 求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析 】 （1）证明：连结交于点，连结， 则和分别为和的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （2）因为平面， 所以点和到平面的距离相等，从而有 . 2、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形， PAD是正三角形， E是PD的中点 （1）求证： ADPC； （2）判定CE是否
3、平行于平面PAB，请说明理由 【答案】 （1）见解析 （2）平行 （2）CE平行于平面PAB， 理由如下：取PA的中点为F，连接,EF BF 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 可知， 又， 所以四边形BCEF为平行四边形，故/ /CEBF. 又BF 平面,PAB CE 平面PAB， 所以 / /CE 平面PAB. 3、在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，且底面ABCD为边长为 2 的菱形，60BAD，2PD （1）证明：面PAC 面PDB； （2）在图中作出点D在平面PBC内的正投影M（说明作法及其理由） ，并求四面体PBDM的体积 【答案】 （1）见解析 （2） 4 3 21
4、 【解析】 （1）因为PD 平面ABCD，所以PDAC， 在菱形ABCD中，ACBD，且，所以， 又因为，所以面 （2）取BC的中点E，连接DE，PE，易得BDC是等边三角形，所以BCDE， 又因为PD 平面ABCD，所以PDBC，又，所以， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在面PDE中，过D作DMPE于M，即M是点D在平面PBC内的正投影， 则DMBC，又，所以，经计算得3DE ，在RtPDE中，2PD ， ， 4、如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上， OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。 （1）证明：直线BC面OEF； （2）在
5、线段DF上是否存在一点M，使得二面角的余弦值是 13 133 ，若不存在请说明理由， 若存在请求出M点所在的位置。 【答案】（1）见解析 （2）M为DF中点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （本题可先证明BC/EF后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。） （2） 设OD的中点为G， 以G为原点，GE、GD、GF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系。易知，)0 , 1, 0( O，)0 , 0 , 3(E，)3, 0 , 0(F,)0 , 1 , 0(D. 设 DFDM ， 1 , 0.可得， 5、如图，在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，2AB ，4AC
6、，D为BC的中点 （1）求证：ADPB； （2）若二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 （1）在ABC中，由余弦定理得，则2 7BC 因为D为BC的中点，则 因为，则 ，所以3AD 因为，则ABAD （5 分） 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为PA 底面ABC，则PAAD， 所以AD 平面PAB，从而ADPB （2）分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图 设PAa，则点2,0,0B， 0, 3,0D，0,0,Pa 所以， 6、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形
7、，DAB60，ADP90，平面 ADP平 面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点 （1）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 AF平面 PCE，并说明理由； （2）当二面角 DFCB 的余弦值为时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】 （1）点 E 为棱 AB 的中点 （2）60 【解析】 （1）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点 理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ， 由题意，FQDC 且 FQ CD，AECD 且 AE CD， 1 2 1 2 故AEFQ且AEFQ.所以
8、， 四边形AEQF为平行四边形.所以， AFEQ， 又EQ?平面PEC， AF?平面PEC， 所以， AF 平面 PEC. 设平面 FBC 的法向量为m m，(x，y，z) 则由得令 x1，则 y，z， 2yaz0， 3xy0，) 3 2 3 a 所以取m m，显然可取平面 DFC 的法向量n n， (1， 3， 2 3 a) (1，0，0) 由题意：，所以 a. 2 4 |cos m m，n n | 1 1312 a2 3 由于 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD， 所以PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 易知在 RtPBD 中，tanPBDa
9、，从而PBD60， PD BD 3 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60. 7、已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别是AB和BC 的中点。 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （1）证明：MN平面AACC； （2）设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论 【答案】 （1）见解析 （2） 2 （2）连接BN，设AAa，则ABa，由题意知BCa，NCBN，2a21 2 2a2 三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，平面ABC平面BBCC， ABAC，点N是BC的中点，AN平面BBCC，CNAN. 要使CN平面AMN，只需CNB
10、N即可，CN2BN2BC2，222a2?， (a 21 2 2a2) 2 当时，CN平面AMN.2 8、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形， ， ，. （1）求证：平面PBC 平面ABCD； （2）若PCPB,求点D到平面PAB的距离. 【答案】（1）见解析 （2） 2 2 【解析】 （1）证明：取BC中点M，连接,DM PM 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 可知且MDBC 又,在Rt PBC有1PM 又2PD ，,即MDPM， 又平面PBC,BC 平面PBC MD平面PBC，又MD 平面ABCD 平面PBC 平面ABCD （2）设点D到平面PAB的距离为h ， 2
11、2 h 所以点D到平面PAB的距离为 2 2 。 9、 如图,在三棱柱中,点,P G分别是 111 ,AA BC的中点,已知 1 AA 平面ABC, ,. （1）求异面直线 1 AG与AB所成角的余弦值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （2）求证： 1 AG 平面 11 BCC B. （3）求直线 1 PC与平面 11 BCC B所成角的正弦值. 【答案】（1） 7 4 （2）见解析 （3） 7 5 （2）在三棱柱中, 1 AA 平面ABC, 1 AG 平面ABC, 11 AAAG, 11 BBAG, 又, 1 AG 平面 11 BCC B. （3）解：取BC的中点H,连接,AH
12、 HG;取HG的中点O,连接 1 ,OP OC. 1 POAG,PO 平面 11 BCC B, 1 PC O是 1 PC与平面 11 BCC B所成的角. 由已知得, , , , 直线 1 PC与平面 11 BCC B所成角的正弦值为 7 5 . 10、如图，在底面是正三角形的三棱锥 PABC 中，PA=AB=2，PB=PC=22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （1）求证：PA平面 ABC； （2）若点 D 在线段 PC 上，且直线 BD 与平面 ABC 所成角为 6 ，求二面角 DABC 的余弦值 【答案】（1）见解析 （2） （2）以 A 为原点，AC 为 y 轴，AP 为
13、z 轴，建立空间直角坐标系， B（，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ， 设 D（0，b，c） ，01，则（0，b，c2）=（0，2，2） ， D（0，2，22） ，=（，21，22） ， 直线 BD 与平面 ABC 所成角为，平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ， sin=， 解得或 =2（舍） ， D（0，1，1） ，=（） ，=（0，1，1） ， 设平面 ABD 的法向量 =（x，y，z） ， 则，取 x=1，得 =（1，） ， 平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设二面角 DABC 的平面角为 ， 则 cos=
14、 二面角 DABC 的余弦值为 11、 如图， 在斜三棱柱中，ACAB ， 侧面 11BCC B 与底面ABC所成的二面角为 120，FE,分别是棱 11C B、AA1的中点 （1）求AA1与底面ABC所成的角； （2）证明/ 1E A平面FCB1； （3）求经过CBAA, , 1 四点的球的体积 【答案】 （1）60 （2）见解析 （3）a3 由于四边形 A1AGE 为平行四边形，得A1AG=60 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （）证明：设 EG 与 B1C 的交点为 P，则点 P 为 EG 的中点连接 PF 在平行四边形 AGEA1中，因 F 为 A1A 的中点，故 A1EF
15、P 而 FP平面 B1FC，A1E平面 B1FC，所以 A1E平面 B1FC 12、如图，在四面体ABCD中，BABC， （1）证明：BDAC； （2）若，2BA ，四面体ABCD的体积为 2，求二面角BACD的余弦值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】 （1）见解析 （2） 105 35 【解析】 （1）如图，作 RtABD斜边BD上的高AE，连结CE 因为BABC，所以 RtABDRtBCD可得CEBD所以BD 平面 AEC，于是BDAC 设是平面BAC的法向量，则 0 0 AB AC m m ，即，可取 设是平面DAC的法向量，则 0 0 AC AD n n ，即，可取 因为，二面角BACD的平面角为钝角，所以二面角BACD的余弦 值为 105 35 z x y A B C D E