三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题14与数列相关的综合问题理含解析67.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 14 与数列相关的综合问题 专题 14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.数列求和 掌握非等差、等比数列求和的几种常 见方法 掌握 2017 课标全国 ,12; 2016课标全国,17 解答题 2.数列的综合应用 能在具体的问题情境中识别数列的等 差关系或等比关系,抽象出数列的模 型,并能用有关知识解决相应的问题 掌握 2017 山东,19; 2015 福建,8; 2013 重庆,12 选择题 解答题 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.

2、2. 能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高 考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为 12 分,难度中等. 2018 年高考全景展示 1 【2018 年浙江卷】已知成等比数列，且若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，当时， ，因此， 若公比，则 ，不合题意；若公比，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选 B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2

3、【2018 年浙江卷】已知集合，将的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列 记为数列的前n项和， 则使得成立的n的最小值为_ 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求 满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常 见类型主要有分段型（如） ，符号型（如） ，周期型（如）. 3 【2018 年理数天津卷】设是等比数列，公比大于 0，其前n项和为，是等差数列.已知 ，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前 n 项和为， （i）求； （ii）证明. 【

4、答案】()，；()（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得 （II） （i）由（I） ，有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故 .设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II） （i）由（I） ，有，故. （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 4 【2018

5、年江苏卷】设，对 1，2，n的一个排列，如果当s0 时，所以单调递减， 从而100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂.那么 该款软件的激活码是 A440B330C220D110 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下： 1 1, 1,2, 1,2,4, 1,2,4,2k 则该数列的前 (1) 12 2 k k k 项和为 1 (1) 1 (12)(122 )22 2 kk k k Sk 要使 (1) 100 2 k k ，有14k ，此时 1 22kk ，所以2k 是之后的等比数列 1 1,2,2k的部分和，即 1 212221 tt k ， 所以2314 t k ，则5t ，此时

6、 5 2329k ， 对应满足的最小条件为 29 30 5440 2 N ，故选 A. 【考点】等差数列、等比数列的求和. 【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及 观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个 数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 2.【2017 浙江，6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】

7、试题分析：由ddadaSSS)105(221102 11564 ，可知当0d，则02 564 SSS，即 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 564 2SSS，反之，02 564 dSSS，所以为充要条件，选C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 465 2SSSd， 结合充分必要性的判断， 若qp ， 则p是q的充分条件， 若qp ， 则p是q的必要条件， 该题 “0d” “02 564 SSS” ，故为充要条件 3.【2017 山东，理 19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

8、（）求数列xn的通项公式； （）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0， 11n xx xx ,所围成的区域的面积 n T. 【答案】(I) 1 2. n n x （II） (21) 21. 2 n n n T 【解析】试题分析：(I)依题意布列 1 x和公比q的方程组. （II）利用梯形的面积公式，记梯形 11nnnn P P QQ 的面积为 n b. 求得 12 (1) 2(21) 2 2 nn n nn bn ， 应用错位相减法计算得到 (21) 21. 2 n n

9、n T 试题解析：(I)设数列 n x的公比为q，由已知0q . 由题意得 11 2 11 3 2 xx q x qx q ，所以 2 3520qq， 因为0q ,所以 1 2,1qx， 因此数列 n x的通项公式为 1 2. n n x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （II）过 123 ,P P P 1n P 向x轴作垂线，垂足分别为 123 ,Q Q Q 1n Q , 由(I)得 11 1 222. nnn nn xx 记梯形 11nnnn P P QQ 的面积为 n b. 由题意 12 (1) 2(21) 2 2 nn n nn bn ， 所以 123n Tbbb+ n b

10、 = 101 3 25 272 + 32 (21) 2(21) 2 nn nn 又 012 23 25 272 n T + 21 (21) 2(21) 2 nn nn -得 1211 3 2(222)(21) 2 nn n Tn = 1 1 32(1 2) (21) 2. 21 2 n n n 所以 (21) 21. 2 n n n T 【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”. 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列 问题中的常见题型.本题覆盖面广， 对考生计算能力要求较高.解答本题， 布列方程组， 确定通

11、项公式是基础， 准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合 起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 4.【2017 北京，理 20】设 n a和 n b是两个等差数列，记 1122 max, nnn cba n ba nba n (1,2,3,)n ， 其中 12 max , s x xx表示 12 , s x xx这s个数中最大的数 （）若 n an，21 n bn，求 123 ,c c c的值，并证明 n c是等差数列； （）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时， n c M n ；

12、或者存在正整数m，使得 12 , mmm ccc 是等差数列 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】 （）详见解析；（）详见解析. 【解析】 试题分析 ： （） 分别代入求 123 ,c c c ， 观察规律， 再证明当3n 时， 11 ()()20 kkkk bnabnan ， 所以 kk bna关于 * kN单调递减. 所以 112211 max,1 nnn cba n ba nba nba nn ，即证 明；（）首先求 n c的通项公式，分 111 0,0,0ddd三种情况讨论证明. （）设数列 n a和 n b的公差分别为 12 ,d d，则 12111121 (1)(1

13、)()(1) kk bnabkdakd nba ndndk. 所以 112121 1121 (1)(), , n ba nndnddnd c ba ndnd 当时， 当时， 当 1 0d 时，取正整数 2 1 d m d ，则当nm时， 12 ndd，因此 11n cba n. 此时， 12 , mmm ccc 是等差数列. 当 1 0d 时，对任意1n ， 1121121 (1)max,0(1)(max,0). n cba nndbanda 此时， 123 , n c c cc是等差数列. 当 1 0d 时， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 2 1 d n d 时，有 12

14、ndd. 所以 112112 1112 (1)() () n cba nndndbd nddad nnn 111212 ()|.nddadbd 对任意正数M，取正整数 121122 11 | max, Mbdaddd m dd ， 故当时， n c M n . 【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明. 【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本 题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明 方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析

15、 问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生. 5.【2017 天津，理 18】已知 n a为等差数列，前n项和为() n Sn N， n b是首项为 2 的等比数列，且 公比大于 0， 23 12bb, 341 2baa， 114 11Sb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）求数列 221 nn a b 的前n项和()n N. 【答案】 （1）32 n an.2n n b .（2） 1 328 4 33 n n n T . 【解析】 试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出等差数列首项 1 a和公差d及等比 数列的公比

16、q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确. 试题解析：（I）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q. 由已知 23 12bb，得 2 1( )12b qq，而 1 2b ，所以 2 60qq. 又因为0q ，解得2q .所以，2n n b . 由 341 2baa，可得 1 38da . 由 114 =11Sb，可得 1 516ad ， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 联立，解得 1 1a ，3d ，由此可得32 n an. 所以，数列 n a的通项公式为32 n an，数列 n b的通项公式为2n n b . （II）解：

17、设数列 221 nn a b 的前n项和为 n T， 由 2 62 n an， 1 21 2 4n n b ，有 221 (31) 4n nn a bn ， 故 23 2 45 48 4(31) 4n n Tn ， 2341 42 45 48 4(34) 4(31) 4 nn n Tnn ， 上述两式相减，得 231 32 43 43 43 4(31) 4 nn n Tn 1 1 12 (1 4 ) 4(31) 4 1 4 (32) 48. n n n n n 得 1 328 4 33 n n n T . 所以，数列 221 nn a b 的前n项和为 1 328 4 33 n n . 【考点

18、】等差数列、等比数列、数列求和 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进 而写出通项公式及前n项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位 相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. 6.【2017 浙江，22】（本题满分 15 分）已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（ Nn） 证明：当 Nn时， （）0xn+1xn； （）2xn+1 xn 1 2 nn x x ； （） 1 1 2n xn 2 1 2n 【答案】 （）见解析；（）见解析；（）见解析 【解析】 试题分

19、析：（）由数学归纳法证明；（）由（）得 2 111111 422(2)ln(1) nnnnnnnn x xxxxxxx ， 构造函数 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2 ( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x， 由函数单调性可证 ； （） 由 1111 ln(1) nnnnn xxxxx ， 得 1 1 2 2 nn nn x x xx ，递推可得 12 11 (N ) 22 n nn xn 试题解析：（）用数学归纳法证明：0 n x 当n=1 时，x1=10 假设n=k时，xk0，那么n=k+1 时，若0 1k x，则0)1ln(0 11 kkk xxx，矛盾，故0 1

20、 k x 因此)(0 Nnxn，所以 111 )1ln( nnnn xxxx，因此)(0 1 Nnxx nn （）因为 1111 ln(1) nnnnn xxxxx ，所以 1 1 2 n n x 得 1 1 2 2 nn nn x x xx ， 1 1111 2() 0 22 nn xx ， 12 11 111111 2()2()2 222 nn nn xxx ， 故 2 1 2 n n x ， 12 11 (N ) 22 n nn xn 【考点】不等式证明 【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理 论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于

21、难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2） 构造函数 2 ( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明 7.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数k,若数列 n a满足 1111n kn knnn kn k aaaaaa 2 n ka对任意正整数()n nk总成立，则称数列 n a是“( )P k数列”. （1）证明：等差数列 n a是“(3)P数列”; （2）若数列 n a既是“(2)P数列” ，又是“(3)P数列” ，证明： n a是等差数列. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】 （1）见解析（2）见解析

22、 【解析】证明:（1）因为 n a是等差数列，设其公差为d，则 1 (1) n aand， 从而，当4n 时， n kn k aaa 11 (1)(1)nkdankd 1 22(1)2 n anda，1,2,3,k 所以 nnnnnnn aaaaaaa 321123 +6， 因此等差数列 n a是“ 3P数列”. （2）数列 n a既是“ P 2数列” ，又是“ 3P数列” ，因此， 当3n 时， nnnnn aaaaa 2112 4， 当4n 时， nnnnnnn aaaaaaa 321123 6. 由知， nnn aaa 321 4 1 () nn aa ， nnn aaa 231 4 1

23、 () nn aa ， 将代入，得 nnn aaa 11 2，其中4n ， 所以 345 ,a a a 是等差数列，设其公差为d. 在中，取4n ，则 23564 4aaaaa，所以 23 aad， 在中，取3n ，则 12453 4aaaaa，所以 12 2aad， 所以数列 n a 是等差数列. 【考点】等差数列定义及通项公式 【名师点睛】证明 n a为等差数列的方法： (1)用定义证明： 1 ( nn aad d 为常数） ； (2)用等差中项证明： 12 2 nnn aaa ； (3)通项法： n a为n的一次函数； (4)前n项和法： 2 n SAnBn 高清试卷 下载可打印 高清试

24、卷 下载可打印 2016 年高考全景展示 1.【2016 高考浙江理数】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且 1122 , nnnnnn A AAAAAn * N， 1122 , nnnnnn B BBBBBn * N， （PQPQ表示点 与 不重合）.若 1nnnnnnn dA BSA B B ，为的面积，则（ ） A n S是等差数列 B 2 n S是等差数列 C n d是等差数列 D 2 n d是等差数列 【答案】A 【解析】 试题分析 ： n S表示点 n A到对面直线的距离（设为 n h）乘以 1nn B B 长度一半，即 1 1 2 nnnn Sh B B ，由题 目中条件

25、可知 1nn B B 的长度为定值，那么我们需要知道 n h的关系式，过 1 A作垂直得到初始距离 1 h，那么 1,n A A和两个垂足构成了等腰梯形， 那么 11 tan nnn hhA A ， 其中为两条线的夹角， 即为定值， 那么 111 1 (tan ) 2 nnnn ShA AB B ， 11111 1 (tan ) 2 nnnn ShA AB B ，作差后： 111 1 (tan ) 2 nnnnnn SSA AB B ，都为定值，所以 1nn SS 为定值故选 A 考点：等差数列的定义 【思路点睛】先求出 1nnn A 的高，再求出 1nnn A 和 112nnn A的面积 n

26、 S和 1n S ，进而根据等 差数列的定义可得 1nn SS 为定值，即可得 n S是等差数列 2.【2016 年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研 发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始 超过 200 万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30） （ A）2018 年 （B）2019 年 （C）2020 年 （D）2021 年 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】B 【解析】 试题分析：设第n年的研发投资

27、资金为 n a， 1 130a ，则 1 130 1.12n n a ，由题意，需 1 130 1.12200 n n a ，解得5n ，故从 2019 年该公司全年的投入的研发资金超过 200 万，选 B. 考点：等比数列的应用. 【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用， 解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解 得结论 3. 【2016 高考新课标 2 理数】 n S为等差数列 n a的前n项和， 且 17 =128.aS ，记= lg nn ba， 其中 x表示不超过x的最大整数，如0.

28、9 =0 lg99 =1， （）求 111101 bbb，； （）求数列 n b的前 1 000 项和 【答案】 （） 1 0b ， 11 1b ， 101 2b；（）1893. 【解析】 试题分析 ： （）先用等差数列的求和公式求公差d，从而求得通项 n a，再根据已知条件 x表示不超过x 的最大整数，求 111101 bbb，； （）对n分类讨论，再用分段函数表示 n b，再求数列 n b的前 1 000 项和 试题解析：（）设 n a的公差为d，据已知有72128d，解得1.d 所以 n a的通项公式为. n an 111101 lg10,lg111,lg1012.bbb （）因为 0,

29、110, 1,10100, 2,1001000, 3,1000. n n n b n n 所以数列 n b的前1000项和为1 902 9003 11893. 考点：等差数列的的性质，前n项和公式，对数的运算. 【名师点睛】 解答新颖性的数学题， 一是通过转化， 化 “新” 为 “旧” ； 二是通过深入分析， 多方联想， 以 “旧” 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 攻“新” ；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新” ，应特别关注创新题型的切入点和生长点. 于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2. 故dm1Am1Bm1220，与dm11 矛盾 所以对于任意n1，有

30、an2，即非负整数列an的各项只能为 1 或 2. 因为对任意n1，an2a1， 所以An2. 故BnAndn211. 因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为 1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。 【名师点睛】本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信 息的的理解和接受能力，题目给出新的定义：an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记 为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn ,对于数列an给出 n d这样一个新的定 义，首先要理解定义，题目的第

31、一步1n ，前一项的最大值为 2，第一项后面的项的最小值为 1，即 11 2,1AB，则 111 dAB1，同理求出 234 ,dd d，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认 识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕 竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和 分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难. 4. 【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 的前n项和 Sn=3n2+8n， n b是等差数列，且 1.nnn abb （）求数列 n b的

32、通项公式； （）令 1 (1) . (2) n n n n n a c b 求数列 n c的前n项和Tn. 【答案】 （）13 nbn；（） 2 23 n n nT. 【解析】 试题分析 ： （）根据 1 nnn SSa及等差数列的通项公式求解 ； （）根据（）知数列 n c的通项公式， 再用错位相减法求其前n项和. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （）由（）知 1 1 (66) 3(1) 2 (33) n n n n n cn n ， 又 nn ccccT 321 ， 得 2341 3 2 23 24 2(1) 2 n n Tn ， 3452 23 2 23 24 2(1) 2

33、n n Tn ， 两式作差，得 23412 3 2 2222(1) 2 nn n Tn 2 2 4(21) 3 4(1) 2 2 1 32 n n n n n 所以 2 23 n n nT 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”. 此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确 定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能 较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算

34、能力等. 5.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分） 记1,2,100U ，.对数列 * n anN和U的子集 T，若T ,定义0 T S ;若 12 , , k Tt tt ， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 定义 12 + k Tttt Saaa .例如：= 1,3,66T时， 1366 + T Saaa.现设 * n anN是公比为 3 的等 比数列，且当= 2,4T时，=30 T S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT ，求证： 1Tk Sa ； （3）设, CD CU DU SS,求证：2 CCDD SSS .

35、【答案】 （1） 1 3n n a （2）详见解析（3）详见解析 【解析】 试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系 24111 32730 r Saaaaa，解出首项 1 1a ，根据等 比数列通项公式写出通项公式（2）数列不等式证明，一般是以算代征，而非特殊数列一般需转化到特殊数 列，便于求和，本题根据子集关系，先进行放缩为一个等比数列 1 12 1 33k rk Saaa ， 再利用等比数列求和公式得 1 (31)3 2 kk r S （3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大 小关系：设(),B(), CD ACCDCCD则B,A因此由 CDAB SSSS，因此AB中最大项

36、必 在 A 中，由（2）得22()2 ABCCDDCDCCDD SSSSSSSSS ， （2）为（3）搭好台阶，只不 过比较隐晦，需明晰其含义. 试题解析：（1）由已知得 1* 1 3, n n aanN . 于是当2,4T 时， 24111 32730 r Saaaaa. 又30 r S ，故 1 3030a ，即 1 1a . 所以数列 n a的通项公式为 1* 3, n n anN . （2）因为1,2, Tk， 1* 30, n n anN ， 所以 1 12 1 1 33(31)3 2 kkk rk Saaa . 因此， 1rk Sa . （3）下面分三种情况证明. 若D是C的子集，

37、则2 CCDCDDDD SSSSSSS . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若C是D的子集，则22 CCDCCCD SSSSSS . 若D不是C的子集，且C不是D的子集. 令 U ECC D， U FDC C则E，F，EF. 于是 CECD SSS ， DFCD SSS ，进而由 CD SS，得 EF SS. 设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则1,1,klkl. 由（2）知， 1Ek Sa ，于是 1 1 33 lk lFEk aSSa ，所以1lk ，即lk. 又kl，故1lk， 从而 1 12 1131 1 33 222 l l kE Fl aS Saaa ， 故21 E

38、F SS，所以2() 1 CCDDCD SSSS ， 即21 CCDD SSS . 综合得，2 CCDD SSS . 考点：等比数列的通项公式、求和 【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式 求解， 二是利用放缩法求证不等式， 放缩目的， 是将非特殊数列转化为特殊数列， 从而可利用特殊数列性质， 以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用. 6. 【2016 高考天津理数】已知 n a是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是 n a和 1n a 的等差中项 ()设 22* 1 , nnn cbb

39、nN ，求证： n c是等差数列； ()设 2 2* 1 1 ,1, n n nn k ad TbnN ，求证： 2 1 11 . 2 n k k Td 【答案】 （）详见解析（）详见解析 【解析】 试题分析：（）先根据等比中项定义得： 2 1nnn ba a ，从而 22 11211 2 nnnnnnnn cbbaaa ada ， 因此根据等差数列定义可证： 2 121 22 nnnn ccd aad （） 对数列不等式证明一般以算代证先 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 利用分组求和化简 2 2 1 1 n n nn k Tb 222222 1234212nn bbbbbb 2

40、21d n n，再利用裂项 相消法求和 222 111 11111111 1 212121 nnn kkk k Tdk kdkkdn ，易得结论. 试题解析：（I）证明：由题意得 2 1nnn ba a ，有 22 11211 2 nnnnnnnn cbbaaa ada ，因此 2 121 22 nnnn ccd aad ，所以 n c是等差数列. （II）证明： 222222 1234212nnn Tbbbbbb 222 242 2221 2 n n n aa d aaadd n n 所以 2222 111 111111111 1 2121212 nnn kkk k Tdk kdkkdnd

41、. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型 (1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和 (2)通项公式为anError!Error!的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 7. 【2016 高考新课标 3 理数】已知数列 n a的前 n 项和1 nn Sa ，其中0 （I）证明 n a是等比数列，并求其通项公式； （ II）若 5 31 32 S ，求 【答案】 （） 1 ) 1 ( 1 1 n n a ；（）1 【解析】 试题分析：（）首先利用公式 1 1 1 2 n

42、nn Sn a SSn ，得到数列 n a的递推公式，然后通过变换结合等 比数列的定义可证 ； （）利用（）前n项和 n S化为的表达式，结合 5 S的值，建立方程可求得的值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （）由（）得 n n S) 1 (1 ，由 32 31 5 S得 32 31 ) 1 (1 5 ，即 5 ) 1 ( 32 1 ， 解得1 考点：1、数列通项 n a与前n项和为 n S关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为 n S 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 1n n a q a （常数） ；（2）中项法，即 证明 2 12nnn aa a 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形， 转化为等比数列或等差数列来求解 8. 【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分） 设数列 A： 1 a ， 2 a , N a (N ).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有 k a n a ， 则称n是数 列 A 的一个“G 时刻”.记“)(AG是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出)(AG的所有元素； （2）证明