三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题17椭圆理含解析73.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 17 椭圆 专题 17 椭圆 考纲解读明方向 考纲解读 考点内容解读要求常考题型预测热度 1.椭圆的定义及其标准方程掌握 选择题 解答题 2.椭圆的几何性质掌握 填空题 解答题 3.直线与椭圆的位置关系 掌握椭圆的定义、几何图 形、标准方程及简单性质 掌握解答题 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对 称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位 置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关

2、系为主,与 向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为 12 分,难度较大. 2018 年高考全景展示 1 【2018 年理数全国卷 II】已知，是椭圆的左，右焦点， 是 的左顶点， 点 在过 且斜率为的直线上，为等腰三角形，则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率. 详解：因为为等腰三角形，所以 PF2=F1F2=2c,由斜率为得， ，由正弦定理得, 所以，选 D. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 点睛 ： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不

3、等式，再根据 的关系消掉 得到的关系式， 而建立关于的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 2 【2018 年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=_时， 点B横坐标的绝对值最大 【答案】5 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助 于函数最值的探求来使问题得以解决. 3 【2018 年理北京卷】已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近 线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰

4、为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_； 双曲线N的离心率为_ 【答案】 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由 正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离 心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭 圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 倾斜角为， 点睛 ： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到的关系式， 而建立关于的方

5、程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 4 【2018 年理数天津卷】设椭圆(ab0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为， 点A的坐标为，且. （I）求椭圆的方程； （II） 设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P， 且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值. 【答案】()；() 或 【解析】分析：（）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2则椭圆的方程为 （）设点P的 坐标为（x1，y1） ，点Q的坐标为（x2，y2） 由题意可得 5y1=9y2由方程组可得 由方程组可得据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为 或 详解：（）设椭圆的焦距为

6、 2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得， ，由，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为 （）设点P的坐标为（x1，y1） ，点Q的坐标为（x2，y2） 由已知有y1y20，故 又因为，而OAB= ，故由，可得 5y1=9y2由方程组 消去x， 可得 易知直线AB的方程为x+y2=0， 由方程组消去x， 可得由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=，两边平方，整理得，解得， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 或所以，k的值为 或 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭 圆的条件 ； (2)

7、强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、 斜率、三角形的面积等问题 5 【2018 年全国卷理】已知斜率为 的直线 与椭圆交于 ， 两点，线段的中点为 （1）证明：； （2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且证明：，成等差数列，并求该数 列的公差 【答案】 （1）（2）或 （2）由题意得，设，则. 由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而， .于是.同理.所以 .故，即成等差数列. 设该数列的公差为d，则. 将代入得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得. 故，代入解得.所以该数列的公差为或. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 点睛 ：

8、本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量， 第二问由已知得到,求出 m 得到直线方程很关键， 考查了函数与方程的思想， 考察学生的计算能 力，难度较大。 2017 年高考全景展示 1.【2017 浙江，2】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】 试题分析： 945 33 e ，选B 【考点】 椭圆的简单几何性质 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于cba,的方程或不等 式，再根据cba,的关系消掉b得到ca,的关系式，建立关于cba,的方

9、程或不等式，要充分利用椭圆和双 曲线的几何性质、点的坐标的范围等 2.【2017 课标 3，理 10】已知椭圆C： 22 22 1 xy ab ，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两 种方法： 求出a，c，代入公式e c a ； 只需要根据一个条件得到关于a，b，c

10、的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等 式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围). 3.【2017 天津，理 19】设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 1 2 .已知A是 抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 1 2 . （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A） ，直线BQ与x轴相交 于点D.若APD的面积为 6 2 ，求直线AP的方程. 【答案】 （1） 2 2 4 1

11、 3 y x ， 2 4yx.（2）3630xy，或3630xy. 【解析】 试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为 1 2 ，则 1 2 ac，又椭圆的离心率为 1 2 ， 求出, ,c a b，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A，设直线AP方程为设1(0)xmym，解 出PQ、两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的坐标，最后根据APD的面积为 6 2 解方程求出m，得出直线AP的方程. 试题解析：（）解：设F的坐标为(,0)c.依题意， 1 2 c a ， 2 p

12、a， 1 2 ac，解得1a ， 1 2 c ， 2p ，于是 222 3 4 bac.所以，椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x ，抛物线的方程为 2 4yx. （）解：设直线AP的方程为1(0)xmym，与直线l的方程1x 联立，可得点 2 ( 1,)P m ，故 2 ( 1,)Q m .将1xmy与 2 2 4 1 3 y x 联立，消去x，整理得 22 (34)60mymy，解得0y ，或 2 6 34 m y m .由点B异于点A，可得点 2 22 346 (,) 3434 mm B mm .由 2 ( 1,)Q m ，可得直线BQ的方程为 2 22 62342 ()(1)(1)

13、()0 3434 mm xy mmmm ，令0y ，解得 2 2 23 32 m x m ，故 2 2 23 (,0) 32 m D m .所以 22 22 236 | 1 3232 mm AD mm .又 因 为APD的 面 积 为 6 2 ， 故 2 2 1626 232|2 m mm ， 整 理 得 2 32 6 | 20mm ，解得 6 | 3 m ，所以 6 3 m . 所以，直线AP的方程为3630xy，或3630xy. 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛 物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆

14、和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直 线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代 数化是解题的关键. 4.【2017 江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,离心率为 1 2 ,两准线之间的距离为 8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点 1 F作 直线 1 PF的垂线 1 l, 过点 2 F作直线 2 PF的垂线 2 l. （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线E的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下

15、载可打印 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2） 4 7 3 7 (,) 77 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为 8，所以 1 2 c a ， 2 2 8 a c ， 解得2,1ac，于是 22 3bac ， 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy . （2）由（1）知， 1( 1,0) F ， 2(1,0) F. 设 00 (,)P xy，因为点P为第一象限的点，故 00 0,0xy. 当 0 1x 时， 2 l与 1 l相交于 1 F，与题设不符. 当 0 1x 时，直线 1 PF的斜率为 0 0 1 y x ，直线

16、2 PF的斜率为 0 0 1 y x . 因为 11 lPF， 22 lPF，所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y ，直线 2 l的斜率为 0 0 1x y ， 从而直线 1 l的方程： 0 0 1( 1) x yx y ， 直线 2 l的方程： 0 0 1( 1) x yx y . 由，解得 2 0 0 0 1 , x xxy y ，所以 2 0 0 0 1 (,) x Qx y . 因为点Q在椭圆上，由对称性，得 2 0 0 0 1x y y ，即 22 00 1xy或 22 00 1xy. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又P在椭圆E上，故 22 00 1 43 xy

17、. 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，解得 00 4 73 7 , 77 xy ； 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，无解. 因此点P的坐标为 4 7 3 7 (,) 77 . 【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系 【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达 定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 2016 年高考全景展示 1.【2016 高考浙江理数】已知椭圆C1： 2 2 x m +y2=1(m1)与双曲线C2： 2 2 x n y2=1(n0)的

18、焦点重合，e1，e2 分别为C1，C2的离心率，则（ ） Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Dmn且e1e21 【答案】A 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质 【易错点睛】计算椭圆 1 C的焦点时，要注意 222 cab；计算双曲线 2 C的焦点时，要注意 222 cab 否则很容易出现错误 2.【2016 高考新课标 3 理数】已知O为坐标原点，F是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点，,A B 分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于 点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ） （

19、A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意设直线l的方程为()yk xa，分别令xc 与0x 得点|()FMk ac， |OEka，由OBECBM，得 1 | | 2 | OE OB FMBC ，即 2 (c) kaa k aac ，整理，得 1 3 c a ，所以椭 圆离心率为 1 3 e ，故选 A 考点：椭圆方程与几何性质 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得, a c的值，进而求得e的值；（2）建 立, ,a b c的齐次等式，求得 b a 或转化为关于e的等

20、式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e 3.【2016 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 22 22 1() xy ab ab 0 的右焦点，直 线 2 b y 与椭圆交于,B C两点，且90BFC ,则该椭圆的离心率是 . 【答案】 6 3 【解析】由题意得 33 (, ),C(, ), 2222 bb Baa，因此 22222 36 ()( )032. 223 b cacae 考点：椭圆离心率 【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出, a c，这注重考查 椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求, a c的比值，这注重于列式，

21、即需根据条件列出关于, a c的一 个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值. 4.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分） 设椭圆1 3 2 2 2 y a x （3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知 | 3 | 1 | 1 FA e OAOF ，其中O 为原 点，e为椭圆的离心率. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （）求椭圆的方程； （） 设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上） ， 垂直于l的直线与l交于点M， 与y轴交于点H ，若HFBF ，且MOAMAO ，求直线的l斜率的取值范围. 【答案】 （） 22 1 43 xy （）), 4 6 4 6 ,(

22、【解析】 试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 113 | c OFOAFA ，得 113 () c caa ac ， 再利用 222 3acb ，可解得 2 1c ， 2 4a （）先化简条件：MOAMAO | |MAMO ，即 M 再 OA 中垂线上，1 M x ，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B； 利用两直线方程组求 H，最后根 据 HFBF ，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设( ,0)F c，由 113 | c OFOAFA ，即 113 () c caa ac ，可得 222 3acc，又 222 3acb，所以 2 1c ，因此 2 4a

23、，所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . （2） （）解：设直线l的斜率为k（0k） ，则直线l的方程为)2( xky.设),( BB yxB，由方程组 )2( 1 34 22 xky yx ，消去y，整理得0121616) 34( 2222 kxkxk. 解得2x，或 34 68 2 2 k k x，由题意得 34 68 2 2 k k xB，从而 34 12 2 k k yB. 由（）知，)0 , 1 (F，设), 0( H yH，有), 1( H yFH，) 34 12 , 34 49 ( 22 2 k k k k BF.由HFBF ，得 0HFBF，所以0 34 12 34 49

24、22 2 k ky k k H ，解得 k k yH 12 49 2 .因此直线MH的方程为 k k x k y 12 491 2 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设),( MM yxM，由方程组 )2( 12 491 2 xky k k x k y 消去y，解得 ) 1(12 920 2 2 k k xM.在MAO中， |MOMAMAOMOA，即 2222 )2( MMMM yxyx，化简得1 M x，即1 ) 1(12 920 2 2 k k ，解 得 4 6 k或 4 6 k. 所以，直线l的斜率的取值范围为), 4 6 4 6 ,(. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直

25、线方程 【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 5.【2016 高考浙江理数】 （本题满分 15 分）如图，设椭圆 2 2 2 1 x y a （a1）. （I）求直线y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用a、k表示） ； （II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭

26、圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值 范围. 【答案】 （I） 2 2 22 2 1 1 a k k a k ；（II） 2 0 2 e 【解析】 试题分析：（I）先联立1ykx和 2 2 2 1 x y a ，可得 1 x， 2 x，再利用弦长公式可得直线1ykx被椭 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 圆截得的线段长；（II）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围 试题解析：（I）设直线1ykx被椭圆截得的线段为A，由 2 2 2 1 1 ykx x y a 得

27、2222 120a kxa kx， 故 1 0x ， 2 2 22 2 1 a k x a k 因此 2 22 12 22 2 11 1 a k kxxk a k A （II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点，Q，满足 QA A 记直线A，QA的斜率分别为 1 k， 2 k，且 1 k， 2 0k ， 12 kk 由（I）知， 22 11 22 1 21 1 a kk a k A ， 22 22 22 2 21 Q 1 a kk a k A ， 故 2222 1122 2222 12 2121 11 a kka kk a ka k ， 所以 2222222

28、2 121212 120kkkkaak k 由于 12 kk， 1 k， 2 0k 得 222222 1212 120kkaak k， 因此 22 22 12 11 1112aa kk ， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为式关于 1 k， 2 k的方程有解的充要条件是 22 121aa，所以2a 因此，任意以点0,1A为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为 12a， 由 2 1ca e aa 得，所求离心率的取值范围为 2 0 2 e 考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率 【思路点睛】 （I） 先联立1ykx和 2 2 2 1 x y a ， 可得交点

29、的横坐标， 再利用弦长公式可得直线1ykx 被椭圆截得的线段长；（II）利用对称性及已知条件可得任意以点0,1A为圆心的圆与椭圆至多有3个公 共点时，a的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围 6. 【2016 高考新课标 2 理数】已知椭圆:E 22 1 3 xy t 的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为 (0)k k 的直线交E于,A M两点，点N在E上，MANA （）当4,| |tAMAN时，求AMN的面积； （）当2 AMAN时，求k的取值范围 【答案】 （） 144 49 ；（） 3 2,2. 试题解析：（I）设 11 ,M x y，则由题意知 1 0y ，当4t 时，E的方程为

30、22 1 43 xy ，2,0A . 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 4 .因此直线AM的方程为2yx. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将2xy代入 22 1 43 xy 得 2 7120yy.解得0y 或 12 7 y ，所以 1 12 7 y . 因此AMN的面积 11212144 2 27749 . （II）由题意3t ，0k ， ,0At. 将直线AM的方程()yk xt代入 22 1 3 xy t 得 22222 3230tkxttk xt kt. 由 22 1 2 3 t k xt tk 得 2 1 2 3 3 ttk x tk ，故 2 2 1 2 62

31、 1 3 tk AMxtk tk . 由题设，直线AN的方程为 1 yxt k ，故同理可得 2 2 61 3 k tk AN kt ， 由2 AMAN得 22 2 33 k tkkt ，即 3 2321ktkk. 当 3 2k 时上式不成立， 因此 3 321 2 kk t k .3t 等价于 2 32 33 21 32 0 22 kk kkk kk ， 即 3 2 0 2 k k .由此得 3 20 20 k k ，或 3 20 20 k k ，解得 3 22k. 因此k的取值范围是 3 2,2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把 所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解